\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{S1SM}

\begin{document}

\partiel{2}{29 novembre 2003}{1h}
\bareme{3,4,6,3,4}

\cours
D\'emontrer en s'appuyant sur la d\'efinition de la limite, que si les
fonctions $f$ et $g$ d\'efinies dans un voisinage d'un nombre r\'eel
$x_{0}$ (sauf peut \^{e}tre en $x_{0}$) admettent respectivement les
limites finies $l$ et $l'$ quand $x$ tend vers $x_{0}$, alors la
fonction $f+g$ tend vers $l+l'$ quand $x$ tend vers $x_{0}$.

\exo
Soit $f$ la fonction d\'efinie par
\[
f(x)= \frac{x^{2}}{ 4+ \sin 2x +\cos 3x}.
\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer son domaine de d\'efinition $D$. Montrer que pour tout
$x\in D$ on a
\[
0\leq f(x)\leq \frac{x^{2}}{2}.
\]
\item Soit $\epsilon>0$ un nombre r\'eel. Trouver un nombre $\alpha>0$
tel que
\[
(x\in D,\: |x|<\alpha)\Rightarrow |f(x)|<\epsilon.
\]
Conclure en terme de limites.
\end{enumerate}

\exo\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de d\'efinition de la fonction
\[
x\mapsto \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}?
\]
Peut on la prolonger par continuit\'e en $0$?

\item D\'eterminer 
\[
\lim_{x\to -\infty}x(\sqrt{x^{2}+1}-x),\:
\lim_{x\to+\infty}x(\sqrt{x^{2}+1}-x).
\]
\item La fonction \[
x\mapsto \frac{x}{|x|+\sin x}
\]
a-t-elle une limite en $0$?
\end{enumerate}

\exo Montrer que l'\'equation
\[
x(\cos x)^{9}+ x^{2}\sin x+1=0 
\]
poss\`ede au moins une solution sur $\R$. On \'enoncera avec soin le
th\'eor\`eme utilis\'e.

\exo On consid\`ere la fonction d\'efinie par
\[
f(x)= 2x^{4}+ 3x^{3}+ 4x^{2}+x-2.
\]
\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement de $f(x)$ quand $x$ appartient \`a
l'intervalle $]1,2[$. 

\item D\'eterminer le minimum et le maximum de $f(x)$
sur l'intervalle $[1,2]$. D\'eterminer l'ensemble $f([1,2])$. On
\'enoncera avec soin les
th\'eor\`emes utilis\'es.
\end{enumerate}
\end{document}
