\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{S1SM}

\begin{document}
\examen{19 janvier 2004}{3h}
\bareme{3, 3, 5, 6, 4.}

\cours
D\'emontrer qu'une fonction $f$ d\'erivable sur un intervalle ouvert
$I$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)$ est positive
pour tout $x\in I$.

\exo D\'eterminer les limites suivantes:
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+ 2x)- 2\sin x}{ 1-e^x+\sin x},
\]
\[
\lim_{x\to 0^{+}}({\rm Arctan}x)^{x^{-2}},
\]
\[
\lim_{x\to 0}(\cos x)^{x^{-2}}.
\]

\exo Soit $f$ la fonction d\'efinie par
\[
f(x)= x^{2}-2x+ 1 -\frac{1}{4}\cos x.
\]
\begin{enumerate}
\item Enoncer la formule de Taylor-Lagrange \`a l'ordre $n$ , le th\'eor\`eme
des valeurs interm\'ediaires et le th\'eor\`eme de Rolle.

\item Calculer $f'(x)$ et $f"(x)$ pour $x\in ]0, 2[$.

\item Montrer que $|f"(x)|\leq \frac{9}{4}$ pour tout $x\in ]0,
2[$.

\item Montrer que $f(x)\leq \frac{3}{4}-2x
+\frac{9}{8}x^{2}$, pour tout $x\in ]0, 2[$. En d\'eduire que
$f(1)<0$. 

\item Montrer que la fonction $f$ s'annule au moins une fois sur chacun
des intervalles $]0, 1[$ et $]1, 2[$.

\item En d\'eduire que $f'$ s'annule au moins une fois sur l'intervalle
$]0,2[$.
\end{enumerate}

\exo Soit $f:\R\to \R$ la fonction d\'efinie par
\[
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
(x^{2}+ 3x+\frac{1}{4})^{1/2}, \: x\geq 0,\\[2mm]
\frac{1}{2} + x + \ln(1+ x^2), \: x<0.
\end{array}\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est continue sur $\R$. Est elle d\'erivable en $0$?
 
\item Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ et sur
$]-\infty, 0]$. 

\item D\'eterminer les limites
\[
\lim_{x\to + \infty}f(x), \lim_{x\to -\infty}f(x).
\]
Montrer que $f:\R\to \R$ est une bijection. 

\item D\'eterminer les directions asymptotiques et asymptotes du graphe
de $f$ en $\pm \infty$ si elles existent.

\item On note par $g:\R\to \R$
la fonction r\'eciproque de $f$. Calculer $g(\sqrt{2})$ et $g'(\sqrt{2})$.
\end{enumerate}

\exo Soit $f:\R^* \to \R$ la fonction d\'efinie par 
$f(x) = \frac{\sin(2x^2)}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Donner le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 5 de $f$ en $0$. La
fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction continue et d\'erivable sur
$\R$? Si oui d\'eterminer la tangente au graphe de $f$ au point d'absisse $0$
et la  position du graphe de $f$ par rapport \`a celle-ci.

\item Calculer la d\'eriv\'ee de $f$. La fonction $f'$ est elle continue
sur $\R$?
\end{enumerate}
\end{document}
