\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{S1SM}
\begin{document}\feuille{1}

\partie{\'ECRITURES ALG\'EBRIQUE ET TRIGONOM\'ETRIQUE}
\exo Calculer le module des nombres complexes suivants:
\begin{gather*}
Z_1 = -i\quad;\quad
Z_2 = 1+i\quad;\quad
Z_3 = 2i(3+i)(1+i)\\
Z_4 = \frac{(2+3i)(1+2i)}{(-1+i)(1+i)}\quad;\quad
Z_5 = \frac{(1+i)^4}{2+i}\quad;\quad
Z_6 = \frac{2+i}{1-i} + \frac{2i}{1+i}
\end{gather*}

\exo Placer sur le cercle trigonom\'etrique les nombres complexes suivants:
$$
Z_1 = e^{i0}\quad;\quad
Z_2 = e^{i\pi/6}\quad;\quad
Z_3 = e^{i\pi/4}\quad;\quad
Z_4 = e^{i\pi/2} $$

\exo Mettre sous forme trigonom\'etrique les nombres complexes suivants:
$$
1+i \quad;\quad
1-i\sqrt{3} \quad;\quad
-\sqrt{3}+i \quad;\quad
\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i} $$

\exo Mettre sous forme alg\'ebrique, c'est-\`a-dire sous la forme $a+ib$
($a,b \in \R$), les nombres complexes suivants:
\begin{gather*}
Z_1 = \frac{3+6i}{3-4i}\quad;\quad
Z_2 = \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i} \quad;\quad
Z_3 = \frac{2+5i}{1-i} + \frac{2-5i}{1+i}\\
Z_4 = \left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \quad;\quad
Z_5 = \frac{(1+i)^9}{(1-i)^7}
\end{gather*}

\partie{TRIGONOM\'ETRIE}
Le but des exercices suivants est de retrouver les formules usuelles de
trigonom\'etrie \`a partir des propri\'et\'es de l'exponentielle complexe. On
rappelle les propri\'et\'es suivantes ($x,\,y \in \R$):
$$|e^{ix}|=1 \quad;\quad
e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy} \quad;\quad
e^{ix}=\cos x + i\sin x\,.$$

\exo a) Montrer que $(e^{i\theta})^{-1}=\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
$(\theta \in \R)$.

b) Etablir les formules d'Euler:
$$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \quad\text{et}\quad
  \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.$$

\exo a) Calculer $\sin(x+y)$, $\cos(x+y)$ et $\tan(x+y)$ en fonction des
sinus, cosinus et tangente de $x$ ou de $y$; en d\'eduire les formules de
calcul pour $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ et $\tan (2x)$ ($x,\,y \in \R$).

b) Calculer $\cos x$ et $\sin x$ en fonction de $\tan {\frac{x}{2}}$ pour $x
\neq \pi + 2k\pi\,,\; k \in \Z$.

\exo En utilisant les formules d'Euler,

a) exprimer $\cos a \cos b$, $\sin a \sin b$ et $\cos a \sin b$ \`a l'aide de
somme de cosinus et/ou sinus,

b) lin\'eariser $\cos^2 a$ et $\sin^2 a$.

\exo Etablir la formule de Moivre ($\theta\in\R$, $n\in\N$):
$$ (\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta). $$

\exo Calculer $Z = (1+i\sqrt{3})^{2003}$.

\exo Calculer $\cos(\pi/12)$. \hint{D\'evelopper $\cos(x-y)$ pour de
\guill{bonnes} valeurs de $x$ et $y$.}

\exo R\'esoudre dans $\R$ les \'equations suivantes et placer les images des
solutions sur le cercle trigonom\'etrique:
$$\sin x = \frac{\sqrt 3}{2} \quad;\quad \tan x = -1\,.$$

\exo R\'esoudre dans $\R$ l'\'equation
$$\cos (5x) = \cos\left(\frac{2\pi}{3} - x\right)\,.$$

\partie{INTERPR\'ETATION G\'EOM\'ETRIQUE}
\exo a) R\'esoudre dans $\C$ l'\'equation $z/(z-1)=i$. Donner la solution
sous forme alg\'ebrique.

b) Soient $M$, $O$ et $A$ les points d'affixes respectives $z$, 0, 1; on
suppose que ces trois points sont distincts. Interpr\'eter
g\'eom\'etriquement le module et un argument de $z/(z-1)$ et retrouver la
solution de l'\'equation du a).

\exo* Trouver les nombres complexes $z$ tels que
$$ a)\;\frac{z-1}{z+1} \in \R \quad;\quad b)\;\frac{z-1}{z+1} \in i\R. $$

\partie{ENSEMBLES}
\exo On pose
$A = \{(x,y)\in\R^2\,;\; y>x^2-1\}$ et
$B = \{(x,y)\in\R^2\,;\; y<1-x^2\}$. Repr\'esenter graphiquement $A$, $B$,
$A\cap B$, $A\cup B$,
$\complement A$,
$\complement B$,
$\complement A \cup \complement B$ et
$\complement (A\cap B)$.
\hint{Tous les compl\'ementaires sont pris ici dans $\R^2$.} Ecrire chacun de
ces ensembles sous la forme $\{(x,y)\in\R^2\,;\; \dots\}$.

\exo Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Exprimer
$\complement (A\cap B)$ et
$\complement (A\cup B)$ \`a l'aide de $\complement A$ et $\complement B$.

\exo Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle,
\'eventuellement vide,
\begin{gather*}
I_1 = \bigcup_{n=1}^{10} \left[1-\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}\right] \quad;\quad
I_2 = \bigcap_{n=1}^{10} \left[1-\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}\right] \\
I_3 = \bigcap_{n=1}^{+\infty} [n,+\infty[ \quad;\quad
I_4 = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \left[\frac{1}{n},+\infty\right[\;.
\end{gather*}
\end{document}
