\documentclass[11pt,french]{article}
\usepackage{S1SM}

\newcommand{\dis}{\displaystyle}

\begin{document}
\feuille{2}

\exo Mettre sous forme de fractions irr\'eductibles les nombres rationnels
suivants, donn\'es par leurs d\'eveloppements d\'ecimaux p\'eriodiques :
$$ x_1 = 3,14\overset{\frown}{14}\dots\ ; \quad
x_2 = 0,9\overset{\frown}{9}\dots\ ; \quad
x_3 = 3,149\overset{\frown}{9}\dots $$

\exo
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $n\geq 1$, on a :
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dis{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$.

\item Montrer que pour tout entier $n\geq 1$, on a \[
2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< {\frac{1}{\sqrt{n}}}<
2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) \]

\item En d\'eduire un encadrement de la somme
$\sum_{n=1}^{N}\dis{\frac{1}{\sqrt{n}}}$, pour tout $N\geq 1$.
\item Quelle est la partie enti\`ere de
$\dis 1 +
 \frac{1}{\sqrt{2}} +
 \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + 
 \frac{1}{\sqrt{10000}}$ ?
\newline\smallskip
\hint{Encadrer s\'epar\'ement la somme de $n = 2$ \`a $N=10000$, puis de $n =
1$ \`a $N-1$.}
\end{enumerate}

\exo On note $E (x)$ la partie enti\`ere d'un r\'eel $x$, c'est
\`a dire $E(x)$ est l'unique entier relatif v\'erifiant
$E(x)\leq x < E(x)+1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout r\'eels $x$ et $y$, on a
$E(x) + E(y) \leq E(x + y) \leq E(x) + E(y) + 1$.
\item Calculer $E(x) + E(-x)$ pour $x$ r\'eel.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 1$ et pour tout r\'eel $x$,
$E(x) = E\big(E (nx) / n\big)$.
\end{enumerate}

\exo Comparer $6\sqrt{5}$ et $8\sqrt{3}$, puis
$\dis{\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}}$ et
$\dis{\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}+\dis{\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$.

\exo  Soient $x$ et $y$ des r\'eels tels que $-5\leq x\leq 4$ et
$-10\leq y\leq -6$.\newline
Trouver des encadrements de $x+y$, $x-y$, $xy$, $x / y$ et  $\sqrt{x^2}$. Que
peut-on dire de $1 / x$ ?
\begin{itemize}
\item \hint{facultatif} m\^eme question pour $-7\leq x\leq 9$ et $-2\leq y
\leq -1$.\newline
R\'eponse : $-9\leq x+y\leq 8 \ ;\  -6\leq x-y\leq 11 \ ; \ -18\leq xy\leq
14\ ; -9\leq x / y \leq 7 \ ; \ 0\leq \sqrt{x^2}\leq 9$
%
 \item \hint{facultatif} m\^eme question pour $-12\leq x\leq 1$ et $-3\leq y
\leq 4$.\newline
R\'eponse : $-15\leq x+y\leq 5$; $-16\leq x-y\leq 4$; $-48\leq xy\leq
36$; $\ 0\leq \sqrt{x^2}\leq 12$.
\newline $ x / y$ n'est pas d\'efini pour $y=0$ et $\{x / y\ ;\ -12\leq
x\leq 1 \ \mathrm{et}\ -3\leq y \leq 4\ \mathrm{et}\ y\neq 0\}$ est non
born\'e.

\item \hint{facultatif} m\^eme question pour $3\leq x\leq 4$ et $-5\leq y
\leq -3$
\newline R\'eponse : $-2\leq x+y\leq 1$; $6\leq x-y\leq 9$; $-20\leq
xy\leq -9$; $-\frac{4}{3}\leq x / y \leq -\frac{3}{5}$;
$3\leq \sqrt{x^2}\leq 4$.
\end{itemize}

\exo
Dans cet exercice, on demande d'utiliser les propri\'et\'es de la relation
d'ordre dans $\R$ et non d'\'etudier les variations d'une fonction.
R\'esoudre dans $\R$ les in\'equations suivantes :
\begin{eqnarray*}
&a)& |x-3|+|x+4|\leq 7 \\
&b)& 0\leq \sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1}\leq 1 \\
&c)& \sqrt{x^2-4x+4}\geq |{\frac{3x}{2}}-1| \\
&d)& 0 < \dis{\frac{x}{x^2-1}} < 1
\end{eqnarray*}

\exo  R\'esoudre sur $\R$ le syst\`eme d'in\'equations
$$ \left\{\begin{array}{rcl} 
  |x+1| & < & \frac{5}{2} \\
\sqrt{x^2+x-2} & > & 1 + \frac{x}{2}.\end{array} \right. $$

\exo D\'emontrer l'implication suivante :
$$ |x| \leq 1 \Longrightarrow
\abs{ \frac{x+\sin x}{x^7+x-3} } \leq 2$$

\exo Pour tout r\'eel $a$ non nul, on note $I_a = \{ x\in\R \;| \;
|x-a| < |a| / 2 \}$.
\begin{enumerate}
\item D\'ecrire en termes d'encadrement, puis en termes d'intervalle,
l'ensemble $I_a$. Hachurer sur la droite r\'eelle l'ensemble $I_a$ pour
$a=-2$ et $a=1$. V\'erifier que pour tout $x\in I_a$, alors $x$ est non nul
et a m\^eme signe que $a$.

\item Peut-on dire qu'il existe une constante $m > 0$ ind\'ependante de $a$
telle que pour tout $x$ appartenant \`a l'ensemble $I_a$, on ait $|x| > m$ ?
\end{enumerate}

\exo D\'eterminer si les ensembles suivants sont born\'es et en
donner eventuellement des bornes.
$$ \set{ \frac{n-1}{n+1}\; |\; n\in \N}, \quad
   \set{ (-1)^n n\; |\; n\in \N}, \quad
   \set{ (-1)^n+\frac{1}{n}\; |\; n\in\N^*}. $$

\exo Soit $z\in\C$ tel que $2\leq |z| \leq 4$. Montrer que
$$\frac{1}{5}\leq \left|\frac{5-z}{i+z}\right|\leq 9.$$

\exo Trouver les racines carr\'ees complexes des nombres complexes suivants :
$$Z_1=-1\ ,\quad Z_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\ , \quad Z_3=1+i\ , \quad
Z_4=5-12i\ , \quad Z_5=\frac{2-i\sqrt{5}}{3}\ .$$
Pour les trois premiers, on donnera le r\'esultat sous forme alg\'ebrique et
trigonom\'etrique; pour $Z_4$ et $Z_5$, sous forme alg\'ebrique.

\exo R\'esoudre dans $\C$ les \'equations suivantes :
\smallskip

\begin{tabular}{ll}
a) $z^2+(1-2i)z+1+5i=0$, & b) $z^4+(1-2i)z^2-3-i=0$, \\
c) $(z+1)^4+16(z-1)^4=0$, &
d) $\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3 + \left(\frac{z-1}{z+1}\right)^3 = 0$.
\end{tabular}

\exo \'Enoncer la formule du bin\^ome $(z_1+z_2)^n$ et l'expliciter
pour $n=5$. A l'aide de la formule d'Euler et de la formule pr\'ec\'edente,
exprimer $\cos^5(\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$, $\cos(3\theta)$ et
$\cos(5\theta)$.\newline Plus difficile : essayer de g\'en\'eraliser la
formuler pour $\cos^n(\theta)$. \newline Remarque : cette m\'ethode sera
r\'eutilis\'ee pour le calcul d'int\'egrales de fonctions trigonom\'etriques.

\exo Somme g\'eom\'etrique :
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre complexe $z\neq 1$,
$\dis{\sum_{k=0}^n} z^k=\dis{\frac{1-z^{n+1}}{1-z}}$. \hint{Formule \`a
conna\^itre.}

\item Soit $\theta$ un nombre r\'eel. on pose
$Z_n=1+e^{i\theta}+e^{2i\theta}+\cdots+e^{n i\theta}=\dis{\sum_{k=0}^n} e^{i
k\theta}$. Simplifier l'expression de $Z_n$. En d\'eduire des expressions
simples de :
\begin{itemize}
\item
$C_n = 1+\cos(\theta)+\cos(2\theta)+\cdots+\cos(n\theta) =
\dis \sum_{k=0}^n \cos(k\theta)$

\item
$S_n = \sin(\theta)+\sin(2\theta)+\cdots+\sin(n\theta) =
\dis \sum_{k=0}^n \sin(k\theta)$

\item
$D_n(\alpha) = \cos(\alpha)+\cos(\alpha+\theta)+\cos(\alpha+2\theta) + \cdots +
\cos(\alpha+n\theta) =
\dis \sum_{k=0}^n \cos(\alpha+k\theta)$.
\end{itemize}
\hint{Pour $D_n$, utiliser les formules pr\'ec\'edentes}

\item D\'eduire \'egalement de la question 1) que la somme des
racines $n$-i\`emes de l'unit\'e est nulle.
\end{enumerate}

\exo \begin{enumerate}
\item D\'emontrer par r\'ecurrence par les formules suivantes :
\begin{itemize}
\item $S_1(n)=\dis{\frac{n(n+1)}{2}}$ avec
$S_1(n)=\dis{\sum_{k=0}^n k},$

\item $S_2(n)=\dis{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ avec
$S_2(n)=\dis{\sum_{k=0}^n k^2}.$
\end{itemize}

\item Retrouver la valeur de $S_2(n)$ par une preuve constructive.
\hint{Ajouter membre \`a membre les d\'eveloppements de
$(1+1)^3, (2+1)^3,\cdots,(n+1)^3$ obtenus par la formule du
bin\^ome et utiliser la valeur de $S_1(n)$.}

\item \hint{facultatif} Montrer (par r\'ecurrence ou de mani\`ere
constructive) que
$$ S_3(n) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = S_1(n)^2\quad
\text{avec}\quad  S_3(n)=\sum_{k=0}^n k^3.$$
\end{enumerate}
\end{document}
