\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{S1SM}

\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow}

\begin{document}
\feuille{3}

\partie{Logique et raisonnements}

\exo Ecrire les contraposées des implications suivantes et les démontrer. $n$ est un entier naturel, $x$ et $y$ sont des
nombres réels.

\begin{enumerate} 
\item $n$ premier $\imp$ $n=2$ ou $n$ est impair , 
\item $xy \not= 0 \imp x \not= 0$ et $y \not= 0$ ,
\item $ x \not= y \imp (x+1)(y-1) \not= (x-1)(y+1)$ .
\end{enumerate}


\exo Ecrire les réponses aux questions suivantes, portant sur des entiers naturels, sous la forme d'assertions mathématiques 
     (écrites avec les symboles ``$\forall$'', ``et'', ``ou'', ``$\imp$'', ``$\equi$'') et les prouver.

\begin{enumerate}
\item Le produit de deux nombres pairs est-il pair ?
\item Le produit de deux nombres impairs est-il impair ?
\item Le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est-il pair ou impair ?
\item Un nombre entier est-il pair si et seulement si son carré est pair ? 
\end{enumerate}

\exo Soient les quatre assertions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\exists \; x \in \R $,  $\forall \; y \in \R$, $x + y > 0$ ,
\item $\forall \; x \in \R $,  $\exists \; y \in \R$, $x + y > 0$ , 
\item $\exists \; x \in \R $,  $\forall \; y \in \R$, $y^2 > x$ , 
\item $\forall \; \varepsilon \in \R^{+*} $,  $\exists \; \alpha \in \R^{+*} $, $| x | < \alpha \imp | x^2 | < \varepsilon \quad$ .
\end{enumerate}
Les assertions 1, 2, 3 et 4 sont elles vraies ou fausses ? 
Donner leurs négations.

\exo 
\begin{enumerate}
\item Soit $n \geq 2$ un entier. Montrer par l'absurde que, si $n$ n'est pas premier, il admet un diviseur
premier $p$ qui est inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ .
\item A l'aide de ce critère, déterminer si les nombres 89, 167 et 191 sont premiers.
\end{enumerate}

\exo   Montrer que $\sqrt{89}$ est irrationnel. 

\exo Soit $n \in \N$. Montrer que soit $4$ divise $n^2$, soit $4$ divise  $n^2 -1 $.

\exo* Démontrer que pour tout $n \in \N$ :
\begin{enumerate}
\item $n^3-n$ est divisible par $6$ ,
\item $n^5-n$ est divisible par $30$ ,
\item $n^7-n$ est divisible par $42$ .
\end{enumerate}
\hint{Indication : Pour 1, on peut factoriser $n^3-n$ pour voir que ce
nombre est multiple de 2 et de 3. Les cas 2 et 3 peuvent se traiter de façon
analogue.} 

\exo Démontrer par récurrence que :
$$ \forall \; n \in \N - \{0,1,2,3\}, \quad n^2 \leq 2^n \; .$$ 

\exo Pour $n \in \N$, on définit deux propriétés :

 $$P_n \; \mbox{:} \; 3 \; \mbox{divise} \; 4^n-1 \quad \mbox{et} \quad Q_n \; \mbox{:} \; 3 \; \mbox{divise} \; 4^n+1 \; .$$

\begin{enumerate}
\item Prouver que pour tout $n \in \N$, $P_n \imp P_{n+1}$ et  $Q_n \imp Q_{n+1}$ . 
\item Montrer que $P_n$ est vraie pour tout $n \in \N$ .
\item Que penser, alors, de l'assertion : $\quad$ $\exists \; n_0 \in \N, \; \forall \;  n \in \N, \quad  n \geq n_0 \imp Q_n$ $\quad$ ?
\end{enumerate}

\partie{Fonctions}

\exo Donner un exemple de fonction $f$ définie sur $I=[0,2]$ telle que : 
\begin{itemize}
\item $f(I)$ ne soit pas un intervalle.
\item $ f(I)$ soit un intervalle fermé borné.
\item $f(I)$ soit un intervalle ouvert borné.
\item $ f(I)$ soit un intervalle non borné.
\end{itemize}

\exo Donner un exemple de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ telles
que $f \; o \; g  \not= g \; o \;f$. 

\exo 
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $\forall \; a,b \in \R, \quad 4ab \leq (a+b)^2 \quad $.
\item Déterminer les domaines de définition des fonctions :

$$ f(x) = 2 \sqrt{x(1-x)} +1 \quad \mbox{et} \quad g(x) = 2 \sqrt{(x-1)(2-x)} +3 \quad , $$
que l'on note $D_f$ et $D_g$. 
\item En utilisant 1, donner un encadrement des éléments de $f(D_f)$. Faire de même pour $g(D_g)$.
\item Montrer que  $g \; o \;f$ est bien définie sur $D_f$. Qu'en est-il pour $f \; o \; g$ ?
\end{enumerate}


\partie{Notion de limite}

\exo 
\begin{enumerate}
\item Ecrire la division euclidienne de $(x^3 - 13x +18$) par $ (x-2)$.
\item On considère la fonction $ f : x \mapsto \frac{x^3 + 3 x sin(x) - 13x +6}{x sin(x) - 4 }$ .
Montrer que $f$ est définie au voisinage de 2 et montrer, en utilisant les théorèmes sur les limites, que 
$\underset{x \rightarrow 2}{\mbox{lim}} \; f(x) = 3$. 
\item En revenant à la définition de la limite, montrer, à l'aide d'une majoration de $|f(x) - 3|$, que la limite de $f$ en $2$ existe et vaut $3$.
\end{enumerate}

\def\L#1{\displaystyle\lim_{x\rightarrow #1}\;}
\exo 
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R^+$ telles que :
$$( \forall \; x \in \R^+ ,  \quad g(x) > 0) \quad \quad \mbox{et} \quad \quad (\exists \; l \in \R^{\times} \; / \quad  
\L{+\infty } \frac{f(x)}{g(x)} = l) \quad .$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
$\L{+\infty} f(x)  = 0 $ si et seulement si 
$\L{+\infty} g(x)  = 0 $.
\item Montrer que si $l >0$, alors : 
$\L{+\infty} f(x) = +\infty$ si et seulement si
$\L{+\infty} g(x) = +\infty $.
\end{enumerate}

\partie{Calculs de limites}

\exo Soient $P$ et $Q$ deux polynômes à coefficients réels de degrés respectifs $n$ et $m$. Etudier, suivant les valeurs de $n$, $m$ et de
certains coefficients de $P$ et $Q$, la limite de $\frac{P(x)}{Q(x)}$ en $+\infty$.

\exo Soit $n\in\Z$. On rappelle les limites suivantes (à connaître) : 
$$\L{0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \quad \mbox{et} \quad 
\L{0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \quad.$$

Lorsque les limites suivantes existent, les déterminer:
$$\begin{array}{llcll}
   a. & \L{+\infty} \sqrt{x^2+1} - x & \quad \quad &
   b. & \L{1} \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} \\
   c. & \L{n} \sin(\pi(x - E(x)))	    & \quad \quad  &
   d. & \L{n} (1 - x E(x))(x -  E(x)) \\
   e. & \L{0^+} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} -  \sqrt{\frac{1}{x}}  & \quad \quad  &
   f. & \L{7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49} \\
   g.  & \L{1} \frac{(x^2)^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} +1}{(x-1)^2} & \quad \quad &
   h. & \L{+\infty} \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1} \\
   i. & \L{-\infty} x(\sqrt{1+x^2} +x) & \quad \quad &
   j. & \L{0^+} \sqrt{x} \; \sin(\frac{1}{\sqrt{x}}) \\ 
   k. & \L{0} \frac{\sin (2x)}{\sin(3x)} & \quad \quad  & 
   l. & \L{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(x) -\cos(x)}{1-\tan(x)} \\
   m. & \L{1} \frac{\sin (\pi x)}{\sin(3 \pi x)} & \quad \quad &
   n. & \L{0} \frac{ x \sin(x)}{1 - \cos(x)}  \\
   o. & \L{0} \frac{ \sin(x) - \sin(2x)}{x^2}  & \quad \quad &
   p. & \L{0} \frac{ x \tan(x) }{\cos^2(x) - 1 }  \\ 
\end{array}$$ 
\end{document}

