\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{S1SM}
\begin{document}\feuille{4}

\exo
Montrer que chacune des équations suivantes admet au moins une solution 
dans l'intervalle indiqué :
\begin{enumerate}
\item $x^5-x^4+1=0$ sur $I=[-1,0]$
\item $\sin(x)+1=x$ sur $I=]\frac{\pi}{2},\pi[$
\end{enumerate}

\exo
Soit $I$ un intervalle de $\R$. Soit $f:I \rightarrow \R$
continue et ne s'annulant pas sur $I$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que
$$\forall x\in I, f(x)>0\quad\text{ou}\quad\forall x \in I, f(x)<0.$$
\item Dans le cas où $I=[a,b]$ et $\forall x\in I, f(x)>0$, montrer que
$$\exists \lambda >0, \forall x \in I, f(x)\geq\lambda.$$
\end{enumerate}

\exo
Trouver dans chacun des cas une fonction $f:[0, 1]\rightarrow \R$ 
continue vérifiant $f(0)f(1)<0$ et :
\begin{enumerate}
\item n'ayant qu'une seule racine en $x=\frac{1}{2}$
\item ayant 2 racines distinctes
\item ayant une infinité de racines
\end{enumerate}
Un dessin du graphe de la fonction suffira.

\exo
Soit $f:[0, 1]\rightarrow [0,1]$ continue. Montrer que $f$ admet un point fixe,
c'est-à-dire $\exists x\in [0, 1], f(x)=x$. Si on suppose de plus que $f$ est 
décroissante, montrer que ce point fixe est unique. Qu'en est-il si $f$
n'est pas décroissante ?

\exo
Soit $f:\R\rightarrow \R$ continue sur $\R$ et périodique. Montrer que $f$
est bornée et atteint ses bornes une infinité de fois.
 
\exo Montrer que les fonctions suivantes définies sur $\R^{*}$ sont continues
sur $\R^{*}$ et étudier si on peut les prolonger par continuité sur $\R$. 
\begin{itemize}
\item $f(x)=\sin (\frac{1}{x})$
\item $g(x)=\frac{(1+x)^3-1}{x}$
\item $h(x)=\sin(x)\sin(\frac{1}{x})$
\item $\displaystyle l(x)=\frac{|\sin(x)|}{x}$
\item $\displaystyle m(x)=\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}$
\end{itemize}

\exo
Soit $(a,b)\in \R^2$ et $f$ la fonction définie sur $\R$ par: 
\begin{itemize}
\item $f(x)=x^2+b$ si $x\leq 0$ 
\item $f(x)=\frac{\sin(ax)}{x}$ si $x>0$
\end{itemize}
Étudiez la continuité de $f$ sur $\R$ en fonction des paramètres $a$ et $b$.
\end{document}
