\documentclass[11pt,french]{article}
\usepackage{S1SM}
\begin{document}\feuille{5}

\partie{D\'erivabilit\'e}

\exo 
Calculer les d\'eriv\'ees des fonctions (on donnera les domaines de
d\'efinition)~:
$$
f(x)=\sqrt{1+(x\cos x)^2},\qquad
g(x)=\frac{\exp\left(\frac{1}{x}\right)+1}{\exp\left(\frac{1}{x}\right)-1},
$$
$$
h(x)=\ln (\tan x),\qquad
%\left(\frac{1+\sin (x)}{1-\sin(x)}\right),\qquad
k(x)=\frac{x^4}{(1+x)^4}.
$$

\exo
Soit $f$ une fonction d\'erivable sur $\R$.\\
a) Calculer la d\'eriv\'ee de $x\mapsto \sin (f(x)^2)$ et
$x\mapsto \sin (f(x^2)).$\\
b) On suppose que $f(x)\not =0$ pour tout $x\in \R$. Calculer la
d\'eriv\'ee de $x\mapsto \ln(\vert f(x)\vert ).$

\exo
En utilisant la d\'efinition, calculer la d\'eriv\'ee de $f(x)=x^2-4x+5$ au
point $x_0=2$.


\exo
\'Etudier la d\'erivabilit\'e sur $\R$ des
applications suivantes~:
$$
f(x)=x\vert x\vert,\quad g(x)=\frac{x^2}{1+\vert x\vert},\quad
 h(x)=\frac{1}{1+\vert x\vert}.
$$

\exo
La fonction $x \mapsto \cos \sqrt{x} $ est-elle d\'erivable en $0 $ ?

\exo 
Soit $a,b$ deux r\'eels et $f$ la fonction d\'efinie sur $\R^+$ par :
$$ 
f(x)=\sqrt{x} \text{ si }  0\leq x \leq 1\quad \text{et}\quad f(x) = a(x^2-1)
+b\text{ si }x>1.
$$
D\'eterminer $a$ et $b$ de mani\`ere \`a ce que $f$ 
soit de classe ${\cal C}^1$ sur $\R^{+*}$.

\exo
Soit $n\in\N^*$.
Calculer la fonction d\'eriv\'ee d'ordre $n$ de
$f(x) = \sin x$.

\exo 
\'Etudier la fonction $f: x\mapsto x^5-5x+1$ sur $\R$ et en d\'eduire que
l'\'equation
 $ x^5-5x+1=0 $ a trois solutions r\' eelles.

\exo\\
a) Montrer que l'on a $x\cos x - \sin x< 0 $ si $x\in ]0, \pi[$.\\
b) \'Etudier le sens de variation de la fonction $x\mapsto  \displaystyle
\frac{\sin x}{x}$ sur l'intervalle $]0, \pi]$.\\
c) D\'emontrer que pour tout $x\in ]0, \frac{\pi}{2}[$ on a 
$\frac{2x}{\pi }<\sin x < x$.

\bigskip\partie{Th\'eor\`eme de Rolle et accroissements finis}

\exo \\
a) Calculer la d\'eriv\'ee de $x\mapsto (x^2+1)\sin x$.\\
b) Montrer que l'\'equation $(x^2+1)\cos x+2x\sin x=0$ admet au moins une
solution dans $[0,\pi]$.

\exo \\
a) Soit $ f $ une fonction de classe ${\cal C}^2$ sur $]0,1[$ s'annulant en
3 points de $]0,1[$. Montrer qu'il existe un point $x_0$ de $]0,1[$
tel que $f''(x_0)=0$.\\
b) Soit $n\in\N^*$ et $f$ une fonction de classe ${\cal C}^n$ sur
$]0,1[$ s'annulant en $n+1$ points de $]0,1[$. 
Montrer qu'il existe un point $x_0$ de $]0,1[$ tel que $f^{(n)}(x_0)=0$.

\exo
Montrer que 
$\forall x\in \R, \forall y\in \R,\; \; \;  |\sin x -\sin y |\leq |x-y| $
et $|\cos x - \cos y|\leq |x-y| $.

\exo
En utilisant le th\'eor\`eme des accroissements finis
et en distinguant \'eventuellement les cas $x>0$ et $x<0$ d\'emontrer que\\
a) pour tout r\'eel $x$ on a $e^x \geq 1+x$;\\
b) pour tout $x>-1$ on a $\ln (1+x) \leq x$.

\exo\\
a) A l'aide du th\'eor\`eme des accroissements finis
montrer que
$\displaystyle
\forall x>0,\; \; \;  \frac{1}{x+1} <\ln (x+1) - \ln x < \frac 1x$.\\
b) Calculer
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \sqrt{x}(\ln (x+1) - \ln x ) \; \; \; $
et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x(\ln (x+1) - \ln x ) $.\\
c) En d\'eduire que 
${\displaystyle \lim_{x\to +\infty}} \left(1+\frac 1x\right)^x = e$.\\
d) Calculer ${\displaystyle \lim_{x\to +\infty}} \left(1-\frac 1x \right)^x$.

\exo 
A l'aide du  th\'eor\`eme des accroissements finis, calculer
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2\left(e^{\frac{1}{x+1}} - e^{\frac 1x} \right)$.

\exo*
\'Etant donn\'e $\alpha$ dans $]0,1[$, montrer que pour
tout entier naturel $n$
$$
\frac{\alpha}{(n+1)^{1-\alpha}} \leq (n+1)^\alpha - n^\alpha \leq \frac{\alpha}{n^{1-\alpha}}.
$$
En d\'eduire la limite
$\displaystyle\lim_{N\to +\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^\alpha}$.

% \exo
% Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ 
% et d\'erivables sur $]a,b[$.
% On suppose que $g'$ ne s'annulle pas sur $]a,b[$.
% Montrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que
% $$
% \frac{f(a) - f(b)}{g(a)- g(b)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.
% $$
% (Indication: On peut appliquer le th\'eor\`eme de Rolle \`a la fonction 
% $$h(x) = (g(b)-g(a))(f(x)-f(a)) - (f(b)-f(a))(g(x) - g(a)).\; \; )$$ 

\medskip\partie{Formule de Taylor}

\exo\\
a) \'Ecrire la formule de Taylor \`a l'ordre 2 et au point 0 
pour la fonction sinus.\\
b) Montrer que l'on a 
$|\sin x - x | \leq \frac{|x|^3}{6}$ pour tout r\'eel $x$.


\exo\\
a) \'Ecrire la formule de Taylor \`a l'ordre 7 et au point $0$ 
pour la fonction cosinus.\\
b) \'Ecrire la formule de Taylor \`a l'ordre 2 et au point $1$ pour la
fonction $x\mapsto \sqrt{x}$.

\exo
\'Ecrire la formule de Taylor \`a l'ordre 1, 2 et 3 pour le polyn\^ome 
$2+3x-4x^2+2x^3$ au point $x=1$.

% Montrer que pour $x\in [0, \frac{\pi}{2}]$ on a 
% $$
% x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} 
% \leq \sin x \leq 
% x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!}.
% $$

\exo
Montrer les encadrements suivants:\\
a) $\displaystyle\forall x\in \R,\quad 1+x \leq e^x \leq 1+x + \frac{x^2}{2}e^{|x|}$.\\
b) $\displaystyle\forall x>0,\quad x- \frac{x^2}{2}
<\ln (1+x) < x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.

\exo
En \'ecrivant la formule de Taylor \`a l'ordre $n$ au point 0 pour la fonction
$x\mapsto e^x$ montrer que l'on a
$$
e = 1+ \frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} + \dots + 
\frac{1}{n!} +  r_n \; \; \; \; \; 
\mbox{ o\`u } |r_n| < \frac{e}{(n+1)!}.
$$

\exo*
Soit $f$ une fonction de classe ${\cal C}^2$ sur un intervalle 
$]a-\delta, a+\delta[$, $\delta>0$. Calculer
$$
\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) +f(a-h) -2f(a)}{h^2}.
$$
\end{document}
