\documentclass[11pt,french]{article}
\usepackage{S1SM}

\newcommand{\Lim}[2]{\lim_{#1\rightarrow #2}}
\newcommand{\of}[1]{\left( #1 \right)}
\newcommand{\Cc}[1]{{\cal C}^{{ #1 }}}
\begin{document}\feuille{6}

\partie{Convexit\'e}
\exo 
Soit $f(x)=\ln(\tan x)$.
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de d\'efinition de $f$.
\item Montrer que $f$ est $\pi$-p\'eriodique. 
\item Etudier les variations et la convexit\'e de $f$ sur $]0,\pi/2[$. 
\item En d\'eduire que pour tout $x\in\,]0,\pi/2[$, $\abs{f(x)}\geqslant 2\abs{(x-\pi/4)}$. 
\item Montrer que la courbe repr\'esentative de $f$ est sym\'etrique
par rapport au point de coordonn\'ees $(\pi/4,0)$ et tracer la courbe.
\end{enumerate}


\exo
Soit $g(x)=\ln\of{\ln\of{x}}$.
\begin{enumerate}
\item Donner le domaine de d\'efinition de $g$.
\item Montrer que $g$ est concave sur son domaine de d\'efinition.
\item En d\'eduire l'in\'egalit\'e $$\forall a>b>1,\quad \ln\of{\frac{a+b}{2}}>\sqrt{\ln\of{a}\ln\of{b}}.$$ 
\end{enumerate}

\exo 
Soient $p$ et $q$ deux r\'eels strictement  positifs tels que
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
En utilisant la concavit\'e de la fonction logarithme,  montrer que
$$\forall (x,y)\in\of{\R^{*+}}^2,\quad xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{x^q}{q}.$$
\partie{Bijection}
\exo 
  D\'eterminer les plus grands sous-ensembles $A$ et $B$ de $\R$ pour 
  que la fonction $f$ d\'efinie par $$f(x) =\frac{2x+1}{x+1}$$ constitue une 
  bijection entre $A$ et $B$ et d\'eterminer la bijection r\'eciproque.
  
  M\^eme question avec la fonction $$g(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}.$$
\exo
  Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ par
  $$f(x)=\cos x+x.$$ 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $f$ d\'efinie une bijection entre
    $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ et un intervalle $I$ que l'on
    pr\'ecisera.  
  \item On note $g=f^{-1}$ la bijection r\'eciproque de $f$. Quel est le sens
    de variation de $g$. 
  \item Montrer que $g$ est de classe ${\cal C}^{\infty}$ sur $I$ sauf en un
    point que l'on pr\'ecisera. 
  \item Calculer $g(1)$, $g'(1)$, $g''(1)$. En d\'eduire une formule de
Taylor-Lagrange \`a l'ordre $2$, pour la fonction $g$, au point $1$.
  \end{enumerate}
\partie{Fonctions trigonom\'etriques r\'eciproques}
\exo
 Exprimer sans fonctions trigonom\'etriques directes ou r\'eciproques
les expressions :
\begin{enumerate}
 \item  $\Arccos(\cos x)$ pour $x\in~[0,4\pi]$;
\item $\Arctan\of{\tan 2x}$ pour $x\in[0,\pi]$; 
\item $\Arccos\of{\sin x}$ pour $x\in[0,4\pi]$.
\end{enumerate}


\exo
\begin{enumerate}
\item  Montrer que si $ab<1$, $$\Arctan a+\Arctan
  b=\Arctan\of{\frac{a+b}{1-ab}}.$$ \hint{On pourra poser $\theta=\Arctan a$ et
  $\phi=\Arctan b$ et calculer $\tan(\theta+\phi)$}.
\item Retrouver ces r\'esultats en d\'erivant la fonction
  $$f(x)=\Arctan\of{\frac{a+x}{1-ax}}.$$
\item Qu'en est-il si $ab> 1$ ? 
\item Montrer que pour tout $x>0$, $\Arctan
x+\Arctan\of{\frac{1}{x}}=\frac{\pi}{2}$. En d\'eduire la limite
$$\Lim{x}{\infty}x\of{ \Arctan x-\frac{\pi}{2}}.$$
\end{enumerate}

\exo
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que si $x\in\,]0,1[$, $\Arcsin x <\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. 
  \item Montrer que $\forall x\in\,]0,\infty[, \Arctan x\geqslant
    \frac{x}{1+x^2}.$   
%  \item Montrer que $\forall x\in \,]0,2\pi[, \Arctan x>\frac{x}{1+x^2}$.
 \item Montrer que si $x\in\,]0,1[$, $\Arcsin x + \Arcsin\of{\sqrt{1-x^2}} =
    \pi/2$. 
 \end{enumerate}

\exo
 On pose $$f(x)=\Arcsin\of{2x\sqrt{1-x^{2}}}.$$
  \begin{enumerate}
  \item Pr\'eciser le domaine de d\'efinition de $f$ et les points o\`u
    \'eventuellement il y a un probl\`eme de d\'erivabilit\'e.
  \item Calculer et simplifier $f^{'}$ sur son domaine de d\'erivabilit\'e. 

    En d\'eduire une expression simple de $f$ sur son domaine de d\'efinition. 
    \item Retrouver, \`a l'aide d'un changement de variable, l'expression
    simplifi\'ee de $f$.
  \end{enumerate}
\partie{Croissance compar\'ee}
\exo  D\'eterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs. 
 
$$1)\Lim{x}{0^+}\frac{x+2}{x^2 \ln x};\quad 
  2)\Lim{x}{0^+}2x\ln\of{x+\sqrt{x}};\quad 
  3)\Lim{x}{+\infty}\frac{x^3-2x^2+3}{ x \ln x};$$ 

$$4)\Lim{x}{+\infty}\frac{e^{\sqrt x+1}}{x+2};\quad
  5)\Lim{x}{-\infty}\frac{2}{x+1}\ln\of{\frac{x^3+4}{1-x^2}};\quad 
  6)\Lim{x}{+ \infty}\frac{e^x-e^{x^2}}{ x^2-x};$$
$$7)\Lim{x}{0^+}(1+x)^{\ln x}; \quad 
  8)\Lim{x}{+ \infty}\of{\frac{x+1}{x-3}}^x;\quad
  9)\Lim{x}{+\infty}\of{\frac{x^3+5}{x^2+2}}^{\frac{x+1}{ x^2+1}};$$  
  $$10\Lim{x}{+\infty}\frac{x \sqrt{\ln(x^2+1)}}{1+e^{x-3}}.$$ 



\exo Soit $\alpha$ un r\'eel strictement positif.
Montrer que 
$$\forall x>0,\quad \frac{\ln (x)}{x^{\alpha}} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}}$$ 
En d\'eduire que 
$$\Lim{x}{+\infty} \frac{\ln (x)}{x^\alpha} = 0,\quad  \alpha>0.$$ 

\exo
Soit $f(x)=\exp\of{\frac{-1}{x^2}}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est prolongeable par continuit\'e en $0$. Soit
$\tilde{f}$ le prolongement par continuit\'e de $f$ sur $\R$.
\item Montrer que, pour tout $x\in\R^*$, la d\'eriv\'ee
$\text{n}^{\text{i\`eme}}$ de $f$ est de la forme
$$f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\exp\of{\frac{-1}{x^2}}$$ o\`u $P_n$
est un polyn\^ome.
\item Montrer que $\tilde{f}$ est de classe $\Cc{\infty}$ sur $\R$ et
donner la valeur de $f^{(n)}(0)$.
\item Donner le d\'eveloppement de Taylor de la fonction $\tilde{f}$
en $0$ \`a l'ordre $n$ sur l'intervalle $[0,x]$. 
\end{enumerate}

%\partie{D\'eveloppements limit\'es}

\end{document}



