//Preuve que Mn est une martingale : normalement c'est facile
//Preuve de la conv : Puisque la serie Sigma E(Deltan^2)=sigma(1/(n+1)^2) converge, 
//on en deduit que E[Mn^2] converge donc E[Mn^2] bornee, 
//donc Mn bornee dans L2, donc Mn converge ps et L2 (et L1)

Z=zeros(1,5000);
X=grand(1,2000,'nor',0,1);
M=zeros(1,1999);
M(1)=X(1)*X(2);
for i=1:1998
    M(i+1)=M(i)+X(i+1)*X(i+2)/(i+1);
end
plot2d(M)
//On observe une convergence ps

for j=1:5000
X=grand(1,5000,'nor',0,1);
//M=zeros(1,4999);
M=X(1)*X(2);
for i=1:4998
    M=M+X(i+1)*X(i+2)/(i+1);
end
Z(j)=M;
end;

//Convergence L1 et L2 : donc la loi limite a pour esperance 
//lim E(Mn)= E(M1)=0 (pas besoin d'estimation en fait)
//et pour variance lim E(Mn^2)=pi^2/6
Zq=-gsort(-Z);
clf
plot2d(Zq,[1:5000]/5000);

a=[-4:0.02:4];
plot2d(a,pnorm(a,0,%pi/sqrt(6)),2)
u=mean(Z);
s=stdev(Z);
a=[-4*s:0.02*s:4*s];
plot2d(a,pnorm(a,u,s),3)