Workshop « Physique
Mathématique et Analyse Non Linéaire »
Dates : jeudi 12 et vendredi 13 septembre 2013
Lieu : salle de conférence de l'Institut de
Mathématiques de Bordeaux (IMB),
bâtiment A33,
Université Bordeaux 1, 351 cours de la
Libération 33405 TALENCE
Objet de la rencontre : présenter quelques travaux récents dans le domaine des équations aux dérivées partielles non-linéaires issues de la physique mathématique
Contact organisation : Rafik Imekraz (rafik.imekraz[à]math.u-bordeaux1.fr)
Soutiens de la rencontre : CNRS, GDR DynQua, GDR EDP, Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB), Université de Bordeaux I
Programme à venir :
Jeudi 12 septembre 2013
15h00-15h50 : Evelyne Miot
16h00-16h30 : pause
16h30-17h20 : Sandrine Grellier
17h30-18h20 : Rafik Imekraz
19h45 : dîner
Vendredi 13 septembre 2013
9h00-9h50 : Ramona Anton
10h00-10h20 : pause
10h20-11h10 : Florian Mehats
11h20-12h10 : Erwan Faou
12h30 : déjeuner
Participants :
Nom |
Prénom |
Provenance |
Anton |
Ramona |
Paris VI |
Bachelot |
Alain |
Bordeaux |
Bouthelja |
Mouddafhar |
Nantes |
Bruneau |
Vincent |
Bordeaux |
El Maati |
Ouhabaz |
Bordeaux |
Faou |
Erwan |
INRIA, Rennes |
Grébert |
Benoît |
Nantes |
Grellier |
Sandrine |
Orléans |
Imekraz |
Rafik |
Bordeaux |
Mehats |
Florian |
Rennes |
Miot |
Evelyne |
CNRS, Paris XI |
Paturel |
Eric |
Nantes |
Informations pratiques : comment
venir à l'IMB ? On prendra garde au fait que
l'Université de Bordeaux 1 est dans la ville de Talence et non
Bordeaux, de plus la ville de Bordeaux a aussi un « cours
de la libération » ! On pourra aussi consulter
le site du réseau de transports (tram et bus)
http://www.infotbc.com/.
Logement : les participants seront
logés pour la nuit du 12 au 13 septembre à l'Hôtel
Victoria Garden (05
56 33 48 48) situé au 127,
cours de la
Somme 33 800 Bordeaux.
La réception de l'Hôtel est
ouverte après 13h30 et les participants pourront y déposer
leurs bagages (même si la chambre est indisponible).
Comme
point de repère, l'hôtel est à proximité
de la place Victoire (arrêt de Tramway de la ligne B).
Pour
venir à l'IMB à partir de l'hôtel, il y a une
solution simple qui prend une vingtaine de minutes :
remonter
le cours de la Somme jusqu'à la place Victoire, prendre le
tramway de la ligne B en direction de Pessac, s'arrêter à
Forum, l'Université de Bordeaux est à 7 min à
pied en continuant dans la direction du tramway
Dîner : le
repas aura lieu au restaurant ''Le petit mignon" à 19h45,
situé au 33, rue Saint-Rémi 33000 Bordeaux (téléphone
: 05 56 81 06 83).
A partir de l'hôtel, il y a deux
solutions (qui prennent une vingtaine de minutes chacune) pour
rejoindre le restaurant :
Solution
1 (à pied)
remonter le cours de la somme pour arriver à
la place Victoire,
remonter presque entièrement la rue
Sainte-Catherine (plus longue rue commerçante d'Europe avec
1250m),
au niveau du McDonald's (pas celui de la place Victoire!),
tourner à droite à la rue Saint-Rémi ,
Solution
2 (en tramway)
remonter le cours de la somme pour arriver à
la place Victoire,
prendre le tramway B (direction Claveau) pour
s'arrêter à l'arrêt ``Grand Théâtre'',
rejoindre
l'Apple-Store et descendre un peu la rue Sainte-Catherine,
tourner
à gauche à la rue Sainte-Catherine.
Titre et résumé des exposés
Sandrine
Grellier :
Résolution complète d'un double
problème spectral inverse pour des opérateurs de Hankel
compacts :
On établit un théorème
spectral inverse pour les opérateurs de Hankel compacts. Dans
le cas d'opérateurs de Hankel auto-adjoints compacts et pour
des valeurs propres simples, le résultat s'énonce de la
manière suivante: étant données deux suites de
nombres réels distincts tendant vers 0 et dont les termes sont
intercalés en valeur absolue, il existe un unique symbole réel
tel que l'opérateur de Hankel et l'opérateur de Hankel
décalé possèdent respectivement ces suites comme
valeurs propres. Ce symbole est décrit explicitement.
Pour
une suite de nombres positifs non nécessairement distincts
deux à deux, on obtient une description complète des
symboles des opérateurs de Hankel compacts ayant pour valeurs
singulières cette suite (les répétitions
éventuelles dans la suite correspondent à la
multiplicité des valeurs singulières).
Ces
résultats nous permettent d'établir des propriétés
qualitatives sur la dynamique d'un système hamiltonien
complètement intégrable: l'équation de Szegö
cubique.
Travail effectué en collaboration avec Patrick
Gérard (université Paris sud). "
Rafik
Imekraz
Autour des équations semi-linéaires de
Klein-Gordon sur une variété compacte :
On se propose de faire un panorama des résultats connus pour
les temps d'existence (ou plutôt de bornitude) pour les petites
solutions des équations semi-linéaires de Klein-Gordon
dans des espaces de Sobolev H^s de grande régularité.
Pour
une non-linéarité semi-linéaire d'ordre n+1 et
une solution d'ordre epsilon, la méthode d'existence locale
montre que le temps minimal de bornitude est epsilon^{-n}.
Beaucoup
de travaux ont montré que l'on peut considérablement
augmenter ce temps jusqu'à epsilon^{-An} pour tout A>1
lorsque les valeurs propres du laplacien sont bien séparées
(typiquement des sphères ou des variétés de Zoll
dans les travaux de Bambusi, Bourgain, Delort, Grébert,
Szeftel).
Dans le cas où la séparation des valeurs
propres est moins bonne mais avec un certain contrôle, Delort a
introduit une nouvelle argumentation de petits diviseurs qui suggère
que le temps de bornitude est au moins epsilon^{-An} pour un A>1
explicitement calculable (on ignore si tout A>1 est convenable).
Cette stratégie a déjà été
employée sur le tore par Delort et Zhang. En utilisant des
estimées multilinéaires que Delort et Szeftel ont
introduites dans les cas à spectre séparé, on
montre comment l'argumentation de Delort permet de traiter les cas où
toutes les valeurs propres sont des entiers (par exemple des produit
de sphères ou des groupes de Lie, à coefficient
multiplicatif près du spectre).
Erwan Faou
Trois
lemmes liés à la turbulence faible :
Dans cet exposé, j'essaierai de montrer quelques problèmes
mathématiques issus de la théorie de la "turbulence
d'ondes" à la Kolmogorov-Zakharov. Je tenterai de montrer
quelles difficultés cela soulève, puis discuterai d'un
résultat obtenu en collaboration avec P. Germain et Z. Hani
(tous les deux de New-York university) qui étudie un passage à
la "limite continue" pour l'équation de Schrödinger
nonlinéaire sur un grand tore avec des données petites.
On verra que ça permet de trouver des solutions de NLS (sur un
tore fixe) d'un nouveau genre par rapport aux solutions "proches
d'un petit tore" (à la Kuksin-Pöschel) et "à
la CKSTT".
Si j'ai le temps je parlerai de trois outils
qu'on utilise et qui ont un intérêt assez général :
- Formes normales pour justifier le système résonant:
ça grosso modo on connaît mais le scaling est original
-
Limite continue du système résonant: ça c'est de
l'arithmétique
- Estimations a posteriori liée aux
estimations de Strichartz: ça c'est juste dur!
Evelyne
Miot
Existence globale et propagation des moments pour une
équation de Vlasov-Poisson avec une charge ponctuelle :
On
considère un système couplé de type
Vlasov-Poisson en dimension trois, introduit par Caprino et Marchioro
pour décrire l'interaction d'un ensemble de particules
électriques légères (un plasma) avec une charge
ponctuelle lourde. Cette dernière est à l'origine d'un
champ de force additionnel s'exerçant sur le plasma, fortement
singulier au voisinage de la charge.
On présente un
résultat d'existence globale d'une solution faible pour
laquelle la densité de plasma possède des moments en
vitesse d'ordre plus grand que 6 pour tout temps, ce qui étend
à ce cadre singulier le résultat démontré
par Lions et Perthame pour l'équation de Vlasov-Poisson
usuelle. On démontre également que la croissance des
moments est au plus polynomiale en temps.
Il s'agit d'un travail
en collaboration avec L. Desvillettes (CMLA, ENS Cachan) et C.
Saffirio (Institut Hausdorff, Bonn).
Ramona Anton
Sur le
minimiseur de l'énergie de Ginzburg Landau à
l'extérieur de la boule unité dans R^3 :
On
démontre l'existence et l'unicité du minimiseur de
l'énergie de Ginzburg Landau à l'extérieur de la
boule unité dans R^3 sous la condition de Dirichlet au bord.
Tout minimiseur est à symétrie radiale et la preuve de
l'unicité repose sur des arguments d'ODE, comme la méthode
de tire et le théorème de Sturm-Liouville. On obtient
aussi la stabilité orbitale du minimiseur.