Hauteur moyenne de variétés abéliennes isogènes

Pascal Autissier

25 octobre 2004

Résumé : On montre ici une formule sur la hauteur de Faltings moyenne de variétés abéliennes isogènes à une variété abélienne principalement polarisée donnée. Ceci étend aux dimensions supérieures un résultat de Szpiro et Ullmo sur les courbes elliptiques (obtenu par une autre méthode).

English title : Average height of isogenous abelian varieties.

Abstract : Here we prove a formula on the average Faltings height of abelian varieties that are isogenous to a given principally polarized one. This extends a result by Ullmo and Szpiro on elliptic curves (obtained by another method) to higher dimensions.

Introduction

Soient g un entier ≥ 1 et p un nombre premier. Posons e_{g;p} = ∏_{i=1}^{g}(p^{i} + 1).

Lorsque A est une variété abélienne de dimension g sur \overline{ℚ}, on note ĥ(A) la hauteur de Faltings (stable) de A. On montre ici le résultat suivant :

Théorème (5.1) : Il existe un unique entier naturel m = m_{g;p} (ne dépendant que de (g; p)) vérifiant :

Pour toute \overline{ℚ}-variété abélienne (A; λ) de dimension g, principalement polarisée et à bonne réduction ordinaire en p, en notant G_{1}; ⋯; G_{e} les e = e_{g;p} sous-groupes isotropes de A[p] de rang p^{g} et en posant A_{i} = A/G_{i}, on a

\frac{1}{e} ∑_{i=1}^{e} ĥ(A_{i}) = ĥ(A) + (\frac{g}{2} − \frac{m}{e}) ln p .

Corollaire 0.1 : Avec les notations précédentes, si (A; λ) est définie sur un corps de nombres K ⊂ \overline{ℚ} tel que le groupe Gal(\overline{ℚ}/K) agisse transitivement sur l’ensemble \{G_{1}; ⋯; G_{e}\}, alors on a ĥ(A_{i}) = ĥ(A)+(\frac{g}{2} − \frac{m}{e}) ln p pour tout i.

À titre de comparaison, rappelons l’estimation de Raynaud (cf corollaire 2.1.4 de [11]) : Avec les notations du théorème, on a |ĥ(A_{i}) − ĥ(A)| ≤ \frac{g}{2} ln p pour tout i.

Les énoncés 5.1 et 0.1 étendent aux variétés abéliennes un résultat de Szpiro et Ullmo sur les courbes elliptiques (cf théorème 1.1 et proposition 8.1 de [13]). Ces auteurs ont montré plus précisément que m_{1;p} = 1 pour tout premier p et que l’hypothèse de bonne réduction ordinaire est superflue dans le cas g = 1.

De plus, lorsque A est une courbe elliptique sans multiplication complexe, le théorème de l’image ouverte de Serre (cf [12]) assure que l’hypothèse de transitivité dans 0.1 est vérifiée pour tout premier p sauf un nombre fini.

Je remercie Laurent Moret-Bailly pour de fructueuses discussions concernant les schémas de modules fins apparaissant dans la section 4. Je remercie également le rapporteur pour ses remarques avisées.

1 Définitions

Soient g et n des entiers ≥ 1 et p un nombre premier. Notons C_{n} le ℤ-schéma en groupes constant de valeur ℤ/nℤ et μ_{n} le ℤ-schéma en groupes des racines n-ièmes de l’unité.

On pose G_{n} = C_{n} × μ_{n} et on munit G_{n}^{g} de l’accouplement symplectique standard G_{n}^{g} × G_{n}^{g} → μ_{n}. Pour tout entier m ≥ 1, on note ϕ_{m} : G_{n}^{g} → G_{n}^{g} le ℤ-morphisme défini par ϕ_{m}(a_{1}; ζ_{1}; ⋯; a_{g}; ζ_{g}) = (ma_{1}; ζ_{1}; ⋯; ma_{g}; ζ_{g}).

Soient A → S un schéma abélien de dimension relative g et 0_{A} ∈ A(S) sa section neutre. On pose ω_{A} = 0_{A}^{∗}Λ^{g}Ω_{A/S} (c’est un faisceau inversible sur S).

Définition : On dit que A est un S-schéma abélien p-ordinaire lorsque toutes les fibres géométriques de A → S de caractéristique p sont des variétés abéliennes ordinaires.

Soit λ : A → A^{∨} une S-polarisation principale de A. Pour tout entier m ≥ 1, on munit A[m] de l’accouplement de Weil β_{m} : A[m] × A[m] → μ_{m;S}.

Définitions : Une S-structure symplectique de niveau n sur (A/S; λ) est un S-isomorphisme α : G_{n;S}^{g} ⟶^{∼} A[n] qui identifie l’accouplement symplectique standard sur G_{n;S}^{g} à l’accouplement de Weil sur A[n]. On dit alors que (A/S; λ; α) est un S-schéma abélien de type (g; n).

On peut remarquer que si p divise n et si (A/S; λ) admet une S-structure symplectique de niveau n, alors A est p-ordinaire.

Soit r un entier ≥ 1. On suppose dans toute la suite de cette section que p ne divise pas n.

Définition : Soient (A_{1}/S; λ_{1}) et (A_{2}/S; λ_{2}) des S-schémas abéliens de dimension relative g et principalement polarisés. Une S-isogénie f : A_{1} → A_{2} de rang p^{rg} est dite de type P lorsque f^{∨} ∘ λ_{2} ∘ f = [p^{r}] ∘ λ_{1}.

Définition : Soient (A_{1}/S; λ_{1}; α_{1}) et (A_{2}/S; λ_{2}; α_{2}) des S-schémas abéliens de type (g; n). Une S-isogénie f : A_{1} → A_{2} de rang p^{rg} est dite de type PN lorsque f est de type P et f ∘ α_{1} = α_{2} ∘ ϕ_{p^{r}}.

Remarque 1.1 : Soient (A_{1}/S; λ_{1}; α_{1}) un S-schéma abélien de type (g; n), (A_{2}/S; λ_{2}) un S-schéma abélien principalement polarisé, et f : A_{1} → A_{2} une S-isogénie de rang p^{rg} et de type P. Il existe alors une unique S-structure symplectique α_{2} de niveau n sur (A_{2}/S; λ_{2}) telle que f devienne une S-isogénie de type PN.

Soient maintenant \overline{K} un corps algébriquement clos et (A_{0}; λ_{0}) une \overline{K}-variété abélienne de dimension g et principalement polarisée.

Définition : Un sous-groupe (automatiquement fermé) G de A_{0}[p^{r}] de rang p^{rg} est dit isotrope lorsque la restriction à G × G de l’accouplement de Weil β_{p^{r}} est triviale.

Remarque 1.2 : Soit G un sous-groupe de A_{0}[p^{r}] de rang p^{rg}. Alors G est isotrope si et seulement s’il existe une (unique) \overline{K}-polarisation principale de A_{0}/G telle que la \overline{K}-isogénie A_{0} → A_{0}/G devienne de type P (cf [8] p. 231).

2 Intersection

Soit p un nombre premier. On désigne par ℤ_{(p)} le localisé de ℤ en l’idéal (p) et on pose B_{0} = Spec(ℤ_{(p)}).

Définitions : Une variété arithmétique sur ℤ_{(p)} est un schéma X réduit, quasi-projectif et plat sur ℤ_{(p)}.

Un point entier de X est un fermé intègre de X qui est fini et plat sur ℤ_{(p)}. Un diviseur de Cartier D sur X est dit vertical lorsque D_{ℚ} = 0 sur l’ouvert X_{ℚ} de X.

Soit X une variété arithmétique sur ℤ_{(p)}. On note Z_{1}^{h}(X) le groupe des combinaisons ℤ-linéaires de points entiers de X, Z_{0}(X) le groupe des 0-cycles sur X, et D^{v}(X) le groupe des diviseurs de Cartier verticaux sur X.

Soient D un diviseur de Cartier vertical sur X et E un point entier de X. On désigne par ⟨D; E⟩ le diviseur de Weil associé au diviseur de Cartier D_{|E} sur E.

Cette construction s’étend par ℤ-linéarité en une forme bilinéaire “d’intersection” ⟨ ; ⟩ : D^{v}(X) × Z_{1}^{h}(X) → Z_{0}(X).

Lorsque x est un point fermé de X, on pose deg_{p}(x) = [k(x) : 𝔽_{p}]. Ceci définit par linéarité un homomorphisme deg_{p} : Z_{0}(X) → ℤ.

Pour tout D ∈ D^{v}(X) et tout E ∈ Z_{1}^{h}(X), on pose ⟨D.E⟩_{p} = deg_{p}⟨D; E⟩. On définit ainsi une forme bilinéaire ⟨ . ⟩_{p} : D^{v}(X) × Z_{1}^{h}(X) → ℤ.

Soient X et Y des variétés arithmétiques sur ℤ_{(p)}. Soit f : X → Y un morphisme. On dispose des homomorphismes “images directes” f_{∗} : Z_{1}^{h}(X) → Z_{1}^{h}(Y) et f_{∗} : Z_{0}(X) → Z_{0}(Y) (cf [4] §1.4), et “image inverse” f^{∗} : D^{v}(Y) → D^{v}(X) (cf [6] §21.4, [4] §2.2).

On a alors une formule de projection : ⟨D; f_{∗}E⟩ = f_{∗}⟨f^{∗}D; E⟩ pour tout D ∈ D^{v}(Y) et tout E ∈ Z_{1}^{h}(X).

En particulier, en notant π_{0} : X → B_{0} le morphisme structural et X_{p} la fibre de π_{0} au-dessus de b = pℤ_{(p)} (ie X_{p} = π_{0}^{∗}b), on a ⟨X_{p}.E⟩_{p} = [k(E) : ℚ] pour tout E ∈ Z_{1}^{h}(X).

Soit maintenant f : X → Y un morphisme fini et plat de rang n ≥ 1. On dispose des homomorphismes “image inverse” f^{∗} : Z_{1}^{h}(Y) → Z_{1}^{h}(X) (cf [4] §1.7) et “norme” N_{f} : D^{v}(X) → D^{v}(Y) (cf [6] §21.5).

Notons que l’on a f_{∗}f^{∗}E = nE pour tout E ∈ Z_{1}^{h}(Y) (cf exemple 1.7.4 de [4]), et N_{f}(f^{∗}D) = nD pour tout D ∈ D^{v}(Y) (cf proposition 21.5.6 de [6]).

Proposition 2.1 : Pour tout D ∈ D^{v}(X) et tout E ∈ Z_{1}^{h}(Y), on a l’égalité f_{∗}⟨D; f^{∗}E⟩ = ⟨N_{f}(D); E⟩, et donc aussi ⟨D.f^{∗}E⟩_{p} = ⟨N_{f}(D).E⟩_{p}.

Démonstration : Par linéarité, il suffit de considérer le cas où E est un point entier. Désignons par E′ le schéma f^{−1}(E) et par f′ : E′ → E la restriction de f à E′.

Soient (F_{i}) les composantes irréductibles de E′. Pour tout i, notons η_{i} le point générique de F_{i} et m_{i} la longueur du O_{E′;η_{i}}-module O_{E′;η_{i}}. Par définition,

on a f^{∗}E = ∑_{i} m_{i}F_{i}.

D’après le lemme 1.7.2 de [4], on a alors la relation

⟨D; f^{∗}E⟩ = ∑_{i} m_{i}div(D_{|F_{i}}) = div(D_{|E′}) .

Par ailleurs, on a f_{∗}div(D_{|E′}) = div(N_{f′}(D_{|E′})) grâce à la proposition 21.10.17 de [6]. Or on a N_{f′}(D_{|E′}) = N_{f}(D)_{|E}. On en déduit le résultat. □

3 Hauteur et isogénies

Soient g et r des entiers ≥ 1 et p un nombre premier. Soit S une variété arithmétique sur ℤ_{(p)}. Soient A et A′ des S-schémas abéliens de dimension relative g. Soit f : A → A′ une S-isogénie de rang p^{r}.

Le O_{S}-morphisme naturel j : ω_{A′} → ω_{A} est un isomorphisme sur la fibre générique S_{ℚ} puisque f est étale sur A_{ℚ}. Il existe donc un unique diviseur de Cartier D_{f} effectif vertical sur S tel que j induise un O_{S}-isomorphisme

ω_{A′} ⊗ O_{S}(D_{f}) ⟶^{∼} ω_{A}.

Remarquons que la formation de D_{f} commute à tout changement de base : Si T est une variété arithmétique sur ℤ_{(p)} et π : T → S un morphisme, alors on a D_{f_{T}} = π^{∗}D_{f}.

Lorsque A_{0} est une variété abélienne de dimension g sur \overline{ℚ}, on note ĥ(A_{0}) la hauteur de Faltings (stable) de A_{0}.

On suppose maintenant que S = Spec(R) avec R ⊂ \overline{ℚ} une ℤ_{(p)}-algèbre intègre, finie et plate. Notons K le corps des fractions de R (c’est un corps de nombres).

Proposition 3.1 : On a

ĥ(A′ ; \overline{ℚ}) = ĥ(A\overline{ℚ}) + [\frac{r}{2} − \frac{⟨D_{f}.S⟩_{p}}{[K : ℚ]} ] ln p .

Démonstration : On choisit un corps L ⊂ \overline{ℚ} contenant K tel que A_{L} et A′_{L} soient semi-stables sur L. Soient A et A′ les modèles de Néron respectifs de A_{L} et A′_{L} sur O_{L}.

Notons R_{1} la fermeture intégrale de R dans L. Posons T = Spec(R_{1}) et B = Spec(O_{L}). L’inclusion R ⊂ R_{1} définit un morphisme π : T → S. Par la propriété de Néron, le T -morphisme f_{T} s’étend en un B-morphisme f_{1} : A → A′.

Le O_{B}-morphisme naturel j_{1} : ω_{A′} → ω_{A} est un isomorphisme sur l’ouvert U = Spec(O_{L}[1/p]) car f_{1} est étale sur A_{U}. Il existe donc un unique diviseur effectif Δ sur B vertical au-dessus de p tel que j_{1} induise un O_{B}-isomorphisme

ω_{A′} ⊗ O_{B}(Δ) ⟶^{∼} ω_{A}. On a alors Δ_{T} = D_{f_{T}} = π^{∗}D_{f}.

D’après la proposition 1.4.1 de [11], on a

ĥ(A′ ; \overline{ℚ}) = ĥ(A\overline{ℚ}) + [\frac{r}{2} − \frac{⟨π^{∗}D_{f}.T ⟩_{p}}{[L : ℚ]} ] ln p .

On conclut par la formule de projection (cf section 2). □

4 Schémas de modules

Soient g ≥ 1 et n ≥ 3 des entiers et p un nombre premier ne divisant pas n.

On note A_{g;n}^{(p)} le ℤ_{(p)}-schéma de modules fin des schémas abéliens p-ordinaires et de type (g; n).

Le schéma A_{g;n}^{(p)} est une variété arithmétique intègre lisse sur ℤ_{(p)} (cf [9] §7.3 théorème 7.9 et remarque qui le suit, [7] §VII.3 théorème 3.2), à fibres géométriquement irréductibles (d’après le corollaire IV.6.8 de [3], en notant ζ_{n} ∈ \overline{ℚ} une racine n-ième primitive de l’unité, les fibres géométriques du ℤ_{(p)}[ζ_{n}]-schéma A_{g;n}^{(p)} ⊗ ℤ_{(p)}[ζ_{n}] sont irréductibles (cf aussi [10] corollaire 1.4)).

On note T_{p} le ℤ_{(p)}-schéma de modules fin des isogénies de rang p^{g} et de type PN entre schémas abéliens p-ordinaires et de type (g; n). Le schéma T_{p} est une variété arithmétique (intègre) sur ℤ_{(p)} (cf [3] §VII.3, en particulier : page 251 lignes 30-35, page 253 lignes 26-32, page 259 lignes 6-9).

Soit π_{1} - respectivement π_{2} - le morphisme T_{p} → A_{g;n}^{(p)} induit par le foncteur qui à une isogénie A_{1} → A_{2} associe A_{1} - respectivement A_{2} -. Les morphismes π_{1} et π_{2} sont finis et plats de rang e_{g;p} = #(Γ_{0}(p)\Sp_{2g}(ℤ)) = #(Sp_{2g}(ℤ)/Γ_{0}(p)) (cf [3] §VII.4 proposition 4.1 (i)), où Γ_{0}(p) désigne le groupe des matrices

[ \begin{matrix}M_{1} & M_{2} \\ M_{3} & M_{4} \end{matrix} ] ∈ Sp_{2g}(ℤ) telles que M_{3} est congru à 0 modulo p.

Lemme 4.1 : On a e_{g;p} = ∏_{i=1}^{g}(p^{i} + 1).

Démonstration : On munit le 𝔽_{p}-espace vectoriel V = 𝔽_{p}^{2g} de l’accouplement symplectique standard. L’entier e_{g;p} vaut le nombre de sous-espaces vectoriels isotropes de V de dimension g.

Notons d le cardinal de GL_{g}(𝔽_{p}) et c le nombre de familles libres orthogonales de V à g éléments. On a alors e_{g;p} = \frac{c}{d}. Un argument combinatoire montre

que c = ∏_{i=0}^{g−1}(p^{2g−i} − p^{i}) et que d = ∏_{i=0}^{g−1}(p^{g} − p^{i}). D’où la formule énoncée. □

5 Hauteur moyenne

Soient g un entier ≥ 1 et p un nombre premier.

Définition : Une variété abélienne A de dimension g sur \overline{ℚ} est dite à bonne réduction ordinaire en p lorsqu’il existe une ℤ_{(p)}-algèbre R ⊂ \overline{ℚ} intègre, finie et plate et un R-schéma abélien p-ordinaire A′ tels que A′ ; \overline{ℚ} = A.

Théorème 5.1 : Il existe un unique entier naturel m (ne dépendant que de (g; p)) vérifiant :

Pour toute \overline{ℚ}-variété abélienne (A; λ) de dimension g, principalement polarisée et à bonne réduction ordinaire en p, en notant G_{1}; ⋯; G_{e} les e = e_{g;p} sous-groupes isotropes de A[p] de rang p^{g} et en posant A_{i} = A/G_{i}, on a

\frac{1}{e} ∑_{i=1}^{e} ĥ(A_{i}) = ĥ(A) + (\frac{g}{2} − \frac{m}{e}) ln p .

Démonstration : On choisit un entier n ≥ 3 tel que p ne divise pas n et on pose X = A_{g;n}^{(p)}. Notons f_{un} : A_{un} → A′_{un} la T_{p}-isogénie universelle de rang p^{g} et de type PN (entre schémas abéliens p-ordinaires et de type (g; n)).

Le diviseur de Cartier D_{f_{un}} (défini dans la section 3) est effectif vertical sur T_{p}. Posons D_{0} = N_{π_{1}}(D_{f_{un}}) ; c’est un diviseur de Cartier effectif vertical sur X. Or la fibre spéciale X_{p} est intègre et X est normal (cf section 4), donc D_{0} est nécessairement de la forme D_{0} = mX_{p} pour un m ∈ ℕ.

Soit maintenant (A; λ) une \overline{ℚ}-variété abélienne de dimension g, principalement polarisée et à bonne réduction ordinaire en p. Soient G_{1}; ⋯; G_{e} les sousgroupes isotropes de A[p] de rang p^{g}. Pour tout i, on note f_{i} : A → A_{i} = A/G_{i} la \overline{ℚ}-isogénie de type P induite (cf remarque 1.2).

Il existe une ℤ_{(p)}-algèbre R ⊂ \overline{ℚ} intègre, finie et plate et un R-schéma abélien (A′; λ′; α′) de type (g; n) et p-ordinaire tels que (A′ ; \overline{ℚ}; λ′ ; \overline{ℚ}) = (A; λ).

Par définition de X, au R-schéma abélien (A′; λ′; α′) correspond un point E′ ∈ X(R). Désignons par E l’image de E′ dans X; c’est un point entier de X.

De même, pour chaque i, la \overline{ℚ}-isogénie f_{i} (automatiquement de type PN, cf remarque 1.1) définit un point x_{i} ∈ T_{p}(\overline{ℚ}) ; on désigne par F_{i} l’adhérence de Zariski de x_{i} dans T_{p}.

Soit K un corps de nombres contenant tous les corps k(F_{i}). Posons de plus a_{i} = [K : k(F_{i})], a = [K : k(E)] et d = [k(E) : ℚ]. Les F_{i} sont des points entiers

de T_{p} et on a la relation π_{1}^{∗}(aE) = ∑_{i=1}^{e} a_{i}F_{i} (∗).

Par ailleurs, d’après la proposition 3.1, on a pour tout i la formule :

ĥ(A_{i}) = ĥ(A) + [\frac{g}{2} − a_{i} \frac{⟨D_{f_{un}}.F_{i}⟩_{p}}{[K : ℚ]} ] ln p .

En combinant ceci avec la relation (∗), on obtient

∑_{i=1}^{e} ĥ(A_{i}) = ĥ(A)e + (\frac{eg}{2} − \frac{1}{d}⟨D_{f_{un}}.π_{1}^{∗}E⟩_{p}) ln p .

Or, par la proposition 2.1, on a ⟨D_{f_{un}}.π_{1}^{∗}E⟩_{p} = ⟨D_{0}.E⟩_{p} = md ln p. On en déduit le résultat. □

6 Variante

Soient g et r des entiers ≥ 1 et p un nombre premier. La même démonstration permet d’étendre le résultat précédent aux sous-groupes isotropes de A[p^{r}] de rang p^{rg} :

Variante 6.1 : Il existe un unique entier naturel m (ne dépendant que de (g; p^{r})) vérifiant :

Pour toute \overline{ℚ}-variété abélienne (A; λ) de dimension g, principalement polarisée et à bonne réduction ordinaire en p, en notant G_{1}; ⋯; G_{e} les e = e_{g;p^{r}} sous-groupes isotropes de A[p^{r}] de rang p^{rg} et en posant A_{i} = A/G_{i}, on a

\frac{1}{e} ∑_{i=1}^{e} ĥ(A_{i}) = ĥ(A) + (\frac{rg}{2} − \frac{m}{e}) ln p .

Démonstration : Notons T_{p^{r}} le ℤ_{(p)}-schéma de modules fin des isogénies de rang p^{rg} et de type PN entre schémas abéliens p-ordinaires et de type (g; n). Le schéma T_{p^{r}} est alors une variété arithmétique sur ℤ_{(p)}.

Il suffit alors de reprendre la démonstration du théorème 5.1 en remplaçant T_{p} par T_{p^{r}}. □

Références

[1] S. Bosch, W. Lütkebohmert, M. Raynaud : Néron models. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 21 (1990).

[2] G. Cornell, J.H. Silverman : Arithmetic Geometry. Springer-Verlag (1986).

[3] G. Faltings, C.L. Chai : Degeneration of abelian varieties. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 22 (1990).

[4] W. Fulton : Intersection theory (second edition). Springer-Verlag (1998).

[5] B. van Geemen, F. Oort : A compactification of a fine moduli space of curves. Progress in Math. 181 (2000), p. 285-298.

[6] A. Grothendieck, J. Dieudonné : Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV. Publications Math. de l’IHES 32 (1967).

[7] L. Moret-Bailly : Pinceaux de variétés abéliennes. Astérisque 129 (1985).

[8] D. Mumford : Abelian varieties. Tata Institute of Fundamental Research Studies in Math. 5 (1970).

[9] D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan : Geometric invariant theory (third edition). Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 34 (1994).

[10] F. Oort : A stratification of a moduli space of abelian varieties. Progress in Math. 195 (2001), p. 345-416.

[11] M. Raynaud : Hauteurs et isogénies. Astérisque 127 (1985), p. 199-234.

[12] J.P. Serre : Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques. Inventiones Math. 15 (1972), p. 259-331.

[13] L. Szpiro, E. Ullmo : Variation de la hauteur de Faltings dans une classe de \overline{ℚ}-isogénie de courbe elliptique. Duke Math. Journal 97 (1999), p. 81-97.

Pascal Autissier. I.R.M.A.R., Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.

pascal.autissier@univ-rennes1.fr