Prenons de la hauteur sur les points entiers

Pascal Autissier 13 novembre 2008

2

Table des matières

A Une introduction 5

B Les points entiers 7 B.1 Un peu de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 B.2 De l’hyperbolicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B.3 Un aperçu de la démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

C De l’équidistribution 15

D La hauteur de Faltings 19 D.1 Une formule en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 D.2 La contribution locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 D.3 Les surfaces jacobiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre A

Une introduction

Ce mémoire présente une synthèse de mes travaux mathématiques effectués depuis 2003, dans le domaine de la géométrie arithmétique. Le fil conducteur de ces travaux est la théorie des hauteurs sous diverses formes. Rappelons le principe que la hauteur d’un point algébrique x sur une variété définie par un système d’équations polynomiales (à coefficients dans \overline{ℚ}) mesure d’une certaine manière la “complexité arithmétique” de la solution x du système en question.

Ce texte est divisé en trois parties :

Au chapitre B, on s’intéresse aux points entiers sur des variétés affines : je prouve qu’une variété projective privée de suffisamment d’hypersurfaces n’a pas beaucoup de points entiers. La notion de hauteur n’apparaît pas dans les énoncés, mais intervient dans les démonstrations via un théorème d’approximation diophantienne (c’est ce qu’illustre la section B.3).

Je montre également les résultats analogues en géométrie hyperbolique : une telle variété n’a pas de courbe entière non dégénérée.

On considère ensuite, dans le chapitre C, la hauteur de Néron-Tate de sous-variétés des variétés abéliennes (qui étend le concept de hauteur des points). Plus précisément, on y décrit des résultats d’équirépartition des sous-variétés de petite hauteur. Notons que pour les démontrer, j’utilise la théorie des hauteurs d’Arakelov.

Enfin, le chapitre D est consacré à la hauteur de Faltings des variétés abéliennes. On étudie d’une part sa variation en moyenne dans une classe d’isogénie. On établit d’autre part comment elle est reliée à la hauteur de Néron-Tate, qui est pourtant de nature différente a priori.

6 CHAPITRE A. UNE INTRODUCTION

Conventions : On appelle variété sur un corps K tout schéma quasi-projectif et géométriquement intègre sur K. Le mot “diviseur” sous-entend “diviseur de Cartier”.

Chapitre B

Les points entiers

Soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K. On note O_{K;S} l’anneau des S-entiers de K. On s’intéresse dans ce chapitre aux solutions dans O_{K;S}^{r} de systèmes d’équations du type

∀i ∈ {1; ⋯; n} F_{i}(x_{1}; ⋯; x_{r}) = 0 , (∗)

où les F_{i} sont des polynômes à r variables et à coefficients dans O_{K;S}. Pour formaliser cette étude, on utilise le langage de la géométrie algébrique : désignons par Y la “variété algébrique” sur K définie par F_{1} = 0, ⋯, F_{n} = 0 ; tout ensemble de solutions de (∗) dans O_{K;S}^{r} définit alors un ensemble (de points) S-entier sur Y.

Le problème est de donner des conditions géométriques suffisantes sur Y pour qu’aucun ensemble S-entier ne soit Zariski-dense dans Y.

Dans la suite, on se donne Y sous la forme Y = X − D, où X est une variété projective sur K de dimension d ≥ 1 et D un diviseur effectif sur X. L’esprit de la conjecture de Lang et Vojta (cf conjecture 4.2 de [29] p. 223) est qu’une telle condition suffisante s’exprime en termes de “positivité” de D :

Conjecture (Lang, Vojta) : Soit X une variété projective lisse sur K de diviseur canonique K_{X}. Soit D un diviseur effectif sur X, à croisements normaux. Posons Y = X − D. On suppose K_{X} + D gros (par exemple ample) sur X. Alors aucun ensemble S-entier sur Y n’est Zariski-dense dans Y.

Les théorèmes de Siegel et de Faltings [21] montrent cette conjecture lorsque X est une courbe. Plus généralement, cet énoncé est connu de Faltings [23] lorsque X est une sousvariété de variété abélienne. Par ailleurs, c’est un corollaire direct du théorème du sous-espace lorsque X = ℙ_{K}^{d} et D égale la somme de d + 2 hyperplans en position générale.

Notons cependant que la conjecture est encore largement ouverte : le cas où X = ℙ_{K}^{2} n’est par exemple pas connu.

Dans l’article [11] (cf aussi [10]), je démontre des cas particuliers de cette conjecture, lorsque D a “suffisamment” de composantes irréductibles. Plus précisément, je prouve le résultat suivant (cf section B.1 pour les définitions) :

Théorème B.0.1 : Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 2. Soient D_{1}, ⋯, D_{dδ} des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux à deux, avec δ ≥ 2. On suppose que toute intersection de δ + 1 quelconques d’entre eux est vide. Posons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{dδ}. Alors Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique. En particulier, tout ensemble E ⊂ Y (K) S-entier sur Y est non Zariski-dense dans Y.

Cet énoncé améliore un résultat récent de Levin (cf théorème 10.4A de [31]). En fait, Levin a besoin de 2⌊\frac{δ + 1}{2}⌋d + 1 diviseurs au lieu de dδ (cf aussi remarque B.2.3 pour une comparaison des travaux).

Je démontre en outre l’énoncé suivant (où λ_{d} est une constante ≤ \frac{12}{7} explicite ne dépendant que de d, cf page 11) :

Théorème B.0.2 : Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 2. Soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs non nuls et nefs sur X qui se coupent proprement, avec

r > λ_{d}d. Posons L = ∑_{i=1}^{r} D_{i} et Y = X −D_{1}∪⋯∪D_{r}. On suppose que le ℚ-diviseur L−λ_{d}dD_{i}

est ample pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. Alors Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique.

L’hypothèse sur les L − λ_{d}dD_{i} est vérifiée lorsque les D_{i} vivent dans un cône “suffisamment étroit” du groupe de Néron-Severi de X. L’intérêt de ce résultat réside dans le nombre (potentiellement linéaire en d) de diviseurs à considérer.

Remarquons que les théorèmes B.0.1 et B.0.2 s’inscrivent bien dans le cadre de la conjecture de Lang et Vojta, puisque si X est lisse sur K de diviseur canonique K_{X} et les D_{i} sont amples sur X, alors K_{X} + D_{1} + ⋯ + D_{r} est ample sur X dès que r ≥ d + 2 (c’est une conséquence du théorème du cône de Mori, cf exemple 1.5.35 de [30] p. 87).

Les démonstrations reposent sur une extension (théorème B.2.1) de travaux de Corvaja-Zannier [19] et de Levin [31], qui donne des conditions géométriques de non-Zariski-densité des points S-entiers, et sur un bon choix (théorème B.1.1) de multiplicités associées aux diviseurs D_{i}.

L’ingrédient arithmétique principal est la version de Vojta [46] du théorème du sousespace de Schmidt [40] et Schlickewei [39] (c’est un énoncé d’approximation diophantienne qui généralise le théorème de Roth).

Par ailleurs, Vojta [45] a développé un “dictionnaire” entre la géométrie diophantienne et la théorie de Nevanlinna : l’étude des points S-entiers sur les variétés sur K est mise en analogie avec l’étude des courbes entières sur les variétés complexes. À titre d’exemple, le théorème de Siegel sur les courbes est l’analogue du théorème de Picard.

Pour l’étayer, je montre aussi les énoncés qui, dans ce dictionnaire, correspondent aux théorèmes B.0.1 et B.0.2 :

Théorème B.0.3 : Soit X une variété complexe projective de dimension d ≥ 2. Soient D_{1}, ⋯, D_{dδ} des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux à deux, avec δ ≥ 2. On suppose que toute intersection de δ +1 quelconques d’entre eux est vide. Posons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{dδ}. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique. En particulier, toute courbe entière f : ℂ → Y (ℂ) est d’image non Zariski-dense dans Y.

Théorème B.0.4 : Soit X une variété complexe projective de dimension d ≥ 2. Soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs non nuls et nefs sur X qui se coupent proprement, avec

r > λ_{d}d. Posons L = ∑_{i=1}^{r} D_{i} et Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r}. On suppose que le ℚ-diviseur

L − λ_{d}dD_{i} est ample pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.

B.1 Un peu de géométrie

Soit K un corps de caractéristique nulle. Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. Lorsque L est un diviseur sur X, on désigne par B_{L} le lieu de base de Γ(X; L). Pour tout diviseur effectif D sur X, on note 1_{D} la section globale de O_{X}(D) qu’il définit.

Définition : Un diviseur L sur X est dit libre lorsque B_{L} est vide.

Définition : Un diviseur L sur X est dit gros lorsque lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n^{d}} h^{0}(X; nL) > 0.

Définition : Soit L un diviseur gros sur X. On dit que L est presque ample lorsqu’il existe un entier n ≥ 1 tel que nL soit libre.

Définition : Un ℝ-diviseur L sur X est dit nef lorsque pour tout 1-cycle effectif C sur X, on a ⟨L.C⟩ ≥ 0 (où ⟨L.C⟩ désigne le nombre d’intersection).

Définition : Soient D_{1} et D_{2} deux diviseurs effectifs sur X. On dit que D_{1} et D_{2} se coupent proprement lorsque O_{X}(−D_{1} − D_{2}) = O_{X}(−D_{1}) ∩ O_{X}(−D_{2}).

Définition : Plus généralement, soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs sur X. On dit que D_{1}, ⋯, D_{r} se coupent proprement lorsque pour toute partie I non vide de {1; ⋯; r}, la section globale (1_{D_{i}})_{i∈I} de ⨁_{i∈I} O_{X}(D_{i}) est régulière (autrement dit, pour tout x ∈ ⋂_{i∈I} D_{i},

en notant φ_{i} une équation locale de D_{i} en x, les (φ_{i})_{i∈I} forment une suite régulière de l’anneau local O_{X;x}).

Remarque : Supposons X de Cohen-Macaulay (par exemple lisse sur K) ; alors d’après le lemme A.7.1 de [24] p. 418, les diviseurs D_{1}, ⋯, D_{r} se coupent proprement si et seulement si pour toute partie I non vide de {1; ⋯; r}, le fermé ⋂_{i∈I} D_{i} est purement de codimension

#I dans X (éventuellement vide).

Soit L un diviseur sur X tel que h^{0}(X; L) ≥ 1. Soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X (avec r ≥ 1). Notons P l’ensemble des parties I non vides de {1; ⋯; r} telles que ⋂_{i∈I} D_{i} soit non vide. Pour I ∈ P, \underline{a} = (a_{i})_{i} ∈ ℕ^{I} et k ∈ ℕ^{∗}, on définit le sous-espace

vectoriel V_{I;\underline{a};k} de Γ(X; L) par

V_{I;\underline{a};k} = ∑_{\underline{b}} Γ(X; L − ∑_{i∈I} b_{i}D_{i}) où la somme porte sur les \underline{b} ∈ ℕ^{I} tels que ∑_{i∈I} a_{i}b_{i} ≥ k .

Définition : On pose ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) = inf_{I∈P} inf_{\underline{a}∈ℕ^{I}−\{0\}} \frac{∑_{k≥1} dim V_{I;\underline{a};k}}{h^{0}(X; L) ∑_{i∈I} a_{i}}.

Je démontre dans [11] (j’ai traité d’abord, dans [10], le cas particulier des surfaces) le résultat suivant :

Théorème B.1.1 : On suppose d ≥ 2. Soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux à deux ; supposons que toute intersection de δ + 1 quelconques d’entre eux est vide (avec 2 ≤ δ ≤ r). Il existe alors (m_{1}; ⋯; m_{r}) ∈ ℕ^{∗r} tel

qu’en posant L = ∑_{i=1}^{r} m_{i}D_{i}, on ait lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}ν(nL; m_{1}D_{1}; ⋯; m_{r}D_{r}) > \frac{r}{dδ}.

Posons λ′_{d} = [1 − (1 − \frac{1}{d})^{d+1}]\frac{d}{d + 1} et λ_{d} = \frac{1}{λ′_{d}}. Je prouve l’énoncé suivant :

Théorème B.1.2 : Soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs non nuls et nefs sur X qui

se coupent proprement. On suppose que L = ∑_{i=1}^{r} D_{i} est ample. Soit θ > 1 un réel tel que le

ℝ-diviseur L − dθD_{i} soit nef pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. On a alors la minoration

lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}ν(nL; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ λ′_{d}θ .

Remarque : La suite (λ_{d})_{d≥2} est décroissante. En outre, λ′_{d} converge vers 1 − e^{−1} lorsque d tend vers +∞.

B.2 De l’hyperbolicité

Lorsque K est un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K, on note O_{K;S} l’anneau des S-entiers de K, i.e. l’ensemble des x ∈ K tels que |x|_{v} ≤ 1 pour toute place finie v ∉ S.

Soit K un corps de nombres.

Définition : Soient Y une variété sur K, K′ une extension finie de K et S un ensemble fini de places de K′. Un ensemble E ⊂ Y (K′) est dit S-entier sur Y lorsqu’il existe un O_{K′;S}-schéma intègre et quasi-projectif Y de fibre générique Y_{K′} tel que E ⊂ Y(O_{K′;S}).

Définition : Soient Y une variété sur K et K′ une extension finie de K. Un ensemble E ⊂ Y (K′) est dit quasi-entier sur Y lorsqu’il existe un ensemble fini S de places de K′ tel que E soit S-entier sur Y.

Définition : Soit Y une variété sur K. On dit que Y est arithmétiquement quasihyperbolique lorsqu’il existe un fermé Z ≠ Y tel que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble quasi-entier E ⊂ Y (K′) sur Y, l’ensemble E − Z(K′) soit fini.

Définition : Soit Y une variété complexe. Une courbe entière sur Y est une application holomorphe f : ℂ → Y (ℂ) non constante.

Définition : Soit Y une variété complexe. On dit que Y est Brody quasi-hyperbolique lorsqu’il existe un fermé Z ≠ Y tel que pour toute courbe entière f sur Y, on ait f(ℂ) ⊂ Z(ℂ).

L’intérêt de la définition de ν réside dans les critères suivants, qui sont des extensions de résultats de Levin (cf théorèmes 8.3A et 8.3B de [31]), eux-mêmes inspirés de travaux de Corvaja et Zannier (cf théorème principal de [19] p. 707-708) :

Théorème B.2.1 : Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. Soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux à deux.

Posons Y = X −D_{1}∪⋯∪D_{r}. Soit m ≥ 1 un entier. On suppose que le diviseur L = m ∑_{i=1}^{r} D_{i}

est libre et gros sur X et que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > m. Alors Y est arithmétiquement quasihyperbolique.

Théorème B.2.2 : Soit X une variété complexe projective de dimension d ≥ 1. Soient D_{1}, ⋯, D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux à deux.

Posons Y = X −D_{1}∪⋯∪D_{r}. Soit m ≥ 1 un entier. On suppose que le diviseur L = m ∑_{i=1}^{r} D_{i}

est libre et gros sur X et que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > m. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.

On en déduit le théorème B.0.1 —respectivement B.0.3— en appliquant le théorème B.1.1 (avec r = dδ) puis le théorème B.2.1 —respectivement B.2.2—.

On en déduit de même les théorèmes B.0.2 et B.0.4 en appliquant le théorème B.1.2.

Remarque B.2.3 : Notons ici L l’ensemble des bases de Γ(X; L), P l’ensemble des parties I non vides de {1; ⋯; r} telles que ⋂_{i∈I} D_{i} soit non vide, et posons

ν′(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) = \frac{1}{h^{0}(X; L)} inf_{I∈P} sup_{B∈L} inf_{i∈I} ∑_{s∈B} μ_{i}(s) ,

où μ_{i}(s) désigne le plus grand entier μ tel que le diviseur div(s) − μD_{i} soit effectif (i.e. μ_{i}(s) est “l’ordre d’annulation de s en D_{i}”). Levin (cf section 8 de [31]) donne ces résultats de quasihyperbolicité lorsque X est lisse et ν′(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > m. Les énoncés ci-dessus sont plus généraux, puisqu’un peu d’algèbre linéaire montre que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ ν′(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) (et X n’est pas supposée lisse).

Appliquons, à titre d’exemple, le théorème B.0.2 au cas où X = (ℙ_{K}^{1})^{d} (avec d ≥ 2) : Soit r un entier > λ_{d}d. Pour i ∈ {1; ⋯; r}, soit D_{i} un diviseur effectif non nul sur (ℙ_{K}^{1})^{d},

de d-degré (e_{i1}; ⋯; e_{id}).

Corollaire B.2.4 : Supposons que les diviseurs D_{1}, ⋯, D_{r} se coupent proprement et que

λ_{d}d max_{i} e_{ij} < ∑_{i=1}^{r} e_{ij} pour tout j ∈ {1; ⋯; d}. Alors (ℙ_{K}^{1})^{d} − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r} est arithmétique-

ment quasi-hyperbolique.

Observons qu’une application directe du corollaire 0.3 de Vojta [47] ne donne ce résultat que pour r ≥ 2d + 1.

B.3 Un aperçu de la démonstration

Soient K un corps de nombres et X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. Soit L un faisceau inversible sur X. On munit L d’une métrique adélique (∥ ∥_{v})_{v} et on pose L̂ = (L; (∥ ∥_{v})_{v}) (pour des précisions sur les métriques adéliques, on pourra consulter le paragraphe 1.2 de [49]).

Soient K′ une extension finie de K et P ∈ X(K′). On définit la hauteur (normalisée) hL̂(P) de P relativement à L̂ de la façon suivante :

On choisit une section rationnelle s de L définie et non nulle en P. On pose

hL̂(P) = −\frac{1}{[K′ : ℚ]} ∑_{v} ln ∥s(P)∥_{v} ,

où v parcourt l’ensemble des places de K′. Ce réel ne dépend pas du choix de s.

On va utiliser la version suivante du théorème du sous-espace de Schmidt, Schlickewei et Vojta (cf théorème 0.3 et reformulation 3.4 de [46]) :

Théorème du sous-espace : Supposons L libre et gros. Notons q = h^{0}(X; L). Soient s_{1}, ⋯, s_{N} des sections non nulles engendrant Γ(X; L). Soit ε > 0. Il existe alors un fermé Z ≠ X tel que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble fini S de places de K′, l’ensemble des points P ∈ (X − Z)(K′) vérifiant

∑_{v∈S} max_{J∈L} ∑_{j∈J} ln ∥s_{j}(P)∥_{v}^{−1} ≥ (q + ε)[K′ : ℚ]hL̂(P) (1)

est fini, où L désigne l’ensemble des parties J de {1; ⋯; N} telles que (s_{j})_{j∈J} soit une base de Γ(X; L).

Donnons une idée de la démonstration du théorème B.2.1. On procède en deux étapes : dans la première, on construit un fermé Z ≠ X candidat à contenir “presque tous les points entiers” ; dans la seconde, on prouve que Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique.

Étape 1 : Posons ν_{0} = ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) et q = h^{0}(X; L). On fixe un réel ε > 0 assez petit. On construit des sections non nulles s_{1}, ⋯, s_{N} engendrant Γ(X; L) de sorte que les ordres d’annulation μ_{i}(s_{k}) des s_{k} en les D_{i} soient “les plus grands possibles” en un sens quantifié par ν_{0}. On munit L d’une métrique adélique (∥ ∥_{v})_{v}. Appliquons le théorème du sous-espace :

Il existe un fermé Z ≠ X tel que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble fini S de places de K′, l’ensemble des points P ∈ (X − Z)(K′) vérifiant l’inégalité (1) est fini.

Étape 2 : Soient K′ une extension finie de K et S un ensemble fini de places de K′ contenant les places archimédiennes. Soit E ⊂ Y (K′) un ensemble S-entier sur Y. Raisonnons par l’absurde en supposant E − Z(K′) infini. On choisit une suite injective (P_{n})_{n≥0} d’éléments de E − Z(K′).

\underline{Fait} : Soit v ∈ S. Lorsque (s_{1}; ⋯; s_{N}) est convenablement choisi à l’étape 1, on a la minoration suivante pour tout n ≥ 0 :

max_{J∈L} ∑_{j∈J} ln ∥s_{j}(P_{n})∥_{v}^{−1} ≥ −(\frac{ν_{0}q}{m} − ε) ln ∥1_{L}(P_{n})∥_{v} − O(1) , (2)

où le O(1) est indépendant de n.

Maintenant, l’ensemble E est S-entier sur Y, donc pour tout n ≥ 0, on a

[K′ : ℚ]hL̂(P_{n}) = − ∑_{v∈S} ln ∥1_{L}(P_{n})∥_{v} + O(1) .

En utilisant le fait (2), on obtient (pour tout n ≥ 0)

∑_{v∈S} max_{J∈L} ∑_{j∈J} ln ∥s_{j}(P_{n})∥_{v}^{−1} ≥ (\frac{ν_{0}}{m}q − ε)[K′ : ℚ]hL̂(P_{n}) − O(1) .

D’où une contradiction avec (1).

Chapitre C

De l’équidistribution

Commençons ce chapitre en rappelant les travaux de Szpiro, Ullmo et Zhang sur l’équidistribution des petits points (cf [43]).

Définition : Soit V une variété projective sur un corps de nombres K. Une suite (Y_{n})_{n≥0} de fermés intègres de V est dite générique dans V lorsque pour tout fermé Z ≠ V, l’ensemble {n ∈ ℕ | Y_{n} ⊂ Z} est fini.

Soit K un corps de nombres de degré N. Notons G_{K} l’ensemble des plongements σ : K ↪ ℂ. Soit A une variété abélienne sur K de dimension d. Remarquons que A(ℂ) est alors l’union disjointe des groupes A_{σ}(ℂ). Soit μ la mesure de probabilité sur A(ℂ) égale sur chaque A_{σ}(ℂ) à la mesure de Haar de masse 1/N.

Soit L un faisceau inversible symétrique et ample sur A. On désigne par h_{L} : A^{⋄} → ℝ_{+} la fonction hauteur de Néron-Tate associée (où A^{⋄} est l’ensemble des fermés intègres de A). Rappelons que c’est la hauteur de Weil relativement à L caractérisée par la propriété suivante :

∀n ≥ 2 ∀Y ∈ A^{⋄} h_{L}([n](Y)) = n^{2}h_{L}(Y) .

Soit (P_{n})_{n≥0} une suite de points fermés de A. Pour tout n ≥ 0, on pose k_{n} = deg(P_{n}) = [k(P_{n}) : ℚ].

Lorsque Z est un fermé réduit de A_{ℂ} purement de codimension q, on désigne par δ_{Z} le courant d’intégration sur Z(ℂ) (c’est un (q; q)-courant sur A(ℂ)).

Szpiro, Ullmo et Zhang ont démontré le théorème d’équirépartition suivant :

Théorème C.1 : Supposons la suite (P_{n})_{n≥0} générique dans A et lim_{n→+∞} h_{L}(P_{n}) = 0.

Alors la suite de mesures (\frac{1}{k_{n}} δ_{P_{nℂ}})_{n≥0} converge faiblement vers μ.

Ce résultat a permis à Ullmo [44] et Zhang [50] de prouver la conjecture de Bogomolov (cf aussi [1]). Signalons en outre que Bilu [12] en a donné un analogue torique, et que Chambert-Loir [17] l’a partiellement généralisé aux places ultramétriques (sur les espaces de Berkovich).

J’étends dans [6] le théorème C.1 aux suites génériques de sous-variétés :

Soit ∥ ∥ une métrique du cube sur L_{ℂ}; notons ω la (1; 1)-forme de courbure de (L_{ℂ}; ∥ ∥) sur A(ℂ) et posons k = deg_{L}(A) (une métrique du cube sur L_{ℂ} est par définition une métrique sur L_{ℂ} à courbure ω invariante par translations ; cf [32]). Remarquons que l’on a ω^{∧d} = kμ sur A(ℂ).

Soit (Y_{n})_{n≥0} une suite de fermés intègres de A de dimension p. On pose k_{n} = deg_{L}(Y_{n}) pour tout n ≥ 0. Je prouve le résultat suivant :

Théorème C.2 : Supposons la suite (Y_{n})_{n≥0} générique dans A et lim_{n→+∞} h_{L}(Y_{n}) = 0. Alors

la suite de mesures (\frac{1}{k_{n}} ω^{∧p} ∧ δ_{Y_{nℂ}})_{n≥0} converge faiblement vers μ.

La démonstration s’inspire de celle du théorème C.1. Elle se place donc dans le cadre de la théorie d’Arakelov (cf [15]), et utilise le théorème de “Hilbert-Samuel arithmétique” dû à Gillet et Soulé [26] (cf aussi Abbes et Bouche [2]).

Remarquons en particulier que si (Y_{n})_{n≥0} est générique dans A et si U est un ouvert non vide de A(ℂ) disjoint de Y_{nℂ} pour tout n assez grand, alors on a lim inf_{n→+∞} h_{L}(Y_{n}) > 0. Je sais donner une version quantitative de ce résultat :

Théorème C.3 : On suppose la suite (Y_{n})_{n≥0} générique dans A. Soit U_{η} une boule ouverte de A_{σ}(ℂ) de rayon η ∈]0; η_{0}[ telle que U_{η} soit disjoint de son conjugué complexe. On suppose que U_{η} et Y_{nℂ} sont disjoints pour tout n ≥ 0. Alors on a

lim inf_{n→+∞} h_{L}(Y_{n}) ≥ \frac{πη^{2}μ(U_{η})}{(p + 1)(d + 1)}

(η_{0} est le rayon d’injectivité de (A_{σ}; L_{σ})).

Par ailleurs, Zhang a proposé une généralisation de la conjecture de Bogomolov (cf [49]), que l’on décrit ci-dessous.

Soient V une variété projective lisse sur K et L un faisceau inversible ample sur V. Supposons que l’on a un morphisme fini f : V → V et un isomorphisme L^{⊗m} ≃ f^{∗}L, où m est un entier > 1.

Définition : Un fermé intègre Y de V est dit prépériodique lorsque {f^{n}(Y) ; n ∈ ℕ} est un ensemble fini.

Lorsque l’on a de telles données, Zhang a montré comment obtenir une hauteur canonique h_{L;f} généralisant la construction de Néron-Tate (cf aussi Call-Silverman [16]). En particulier, la fonction h_{L;f} est positive ; si un fermé intègre Y de V est prépériodique, alors on a h_{L;f}(Y) = 0 ; et un point fermé P est prépériodique si et seulement si h_{L;f}(P) = 0.

Dans cette situation, la conjecture de Zhang s’énonce ainsi :

Conjecture C.4 : Soit Y un fermé intègre de V. Si h_{L;f}(Y) = 0, alors Y est prépériodique.

Zhang a montré que h_{L;f}(Y) = 0 si et seulement si Y contient une suite de points fermés (P_{n})_{n≥0} générique dans Y telle que lim_{n→+∞} h_{L;f}(P_{n}) = 0. En particulier, si Y contient un ensemble Zariski-dense de points fermés prépériodiques, alors Y est conjecturalement prépériodique.

Ce dernier énoncé, qui ne fait plus intervenir de hauteur, rappelle une conjecture de dynamique complexe :

Conjecture C.5 : Soient M une variété projective lisse sur ℂ et f : M → M un morphisme fini. On suppose qu’il existe un faisceau inversible L ample sur M tel que L^{⊗m} ≃ f^{∗}L avec m > 1. Si un fermé intègre Y de M contient un ensemble Zariski-dense de points prépériodiques, alors Y est prépériodique.

Cette conjecture “s’applique” en particulier au cas où M est l’espace projectif ℙ_{ℂ}^{d} et f un morphisme fini de degré > 1 (on prend alors L = O(1)).

Par ailleurs, lorsque M est une variété abélienne sur ℂ et f la multiplication par un entier > 1, la conjecture C.5 est un théorème de Raynaud (cf [37]).

Pour attaquer la conjecture C.4, un travail récent de Yuan [48] prouve un résultat d’équidistribution des petits points (et même des petites sous-variétés) analogue au théorème C.1 (et au théorème C.2). La mesure limite μ est alors la mesure à l’équilibre du système dynamique (V_{ℂ}; f_{ℂ}).

Chapitre D

La hauteur de Faltings

La hauteur de Faltings (cf section D.1) d’une variété abélienne A mesure de façon intrinsèque la complexité arithmétique d’un système d’équations définissant A. C’est un outil essentiel dans sa démonstration [21] des conjectures de Tate et de Shafarevich.

On étudie dans ce chapitre comment la hauteur de Faltings de A est reliée d’une part à la hauteur moyenne de variétés abéliennes isogènes à A, d’autre part à la hauteur de Néron-Tate d’un diviseur thêta sur A. Introduisons d’abord quelques notations.

Soit g un entier ≥ 1. On désigne par A_{g} le schéma de modules (grossier) des schémas abéliens de dimension relative g et principalement polarisés. Lorsque A est une variété abélienne de dimension g sur \overline{ℚ}, on note ĥ(A) la hauteur de Faltings (stable) de A.

Soit p un nombre premier. Posons e_{g;p} = ∏_{i=1}^{g}(p^{i} + 1) et m_{g;p} = ∑_{i=1}^{g} \frac{1}{p^{i} + 1}. Je montre dans

[7] le résultat suivant (cf section D.1 pour les définitions) :

Théorème D.0.1 : Soit (A; λ) une \overline{ℚ}-variété abélienne de dimension g, principalement polarisée et à bonne réduction en p. Notons G_{1}, ⋯, G_{e} les e = e_{g;p} sous-groupes isotropes de A[p] de rang p^{g} et posons A_{i} = A/G_{i}. On a alors

\frac{1}{e} ∑_{i=1}^{e} ĥ(A_{i}) = ĥ(A) + (\frac{g}{2} − m_{g;p}) ln p .

Corollaire D.0.2 : Avec les notations précédentes, si (A; λ) est définie sur un corps de nombres K tel que le groupe Gal(\overline{ℚ}/K) agisse transitivement sur l’ensemble \{G_{1}; ⋯; G_{e}\}, alors on a ĥ(A_{i}) = ĥ(A) + (\frac{g}{2} − m_{g;p}) ln p pour tout i.

Remarquons que l’on a m_{g;p} = O(\frac{1}{p}). À titre de comparaison, rappelons l’estimation de Raynaud (cf corollaire 2.1.4 de [38]) : avec les notations du théorème, on a

|ĥ(A_{i}) − ĥ(A)| ≤ \frac{g}{2} ln p pour tout i ∈ \{1; ⋯; e\} .

Les énoncés D.0.1 et D.0.2 étendent aux variétés abéliennes un résultat de Szpiro et Ullmo sur les courbes elliptiques (cf théorème 1.1 et proposition 8.1 de [42]). Ces auteurs ont montré plus précisément (par une autre méthode) que l’hypothèse de bonne réduction est superflue dans le cas g = 1.

De plus, lorsque A est une courbe elliptique sans multiplication complexe, le théorème de l’image ouverte de Serre (cf [41]) assure que l’hypothèse de transitivité dans D.0.2 est vérifiée pour tout premier p sauf un nombre fini.

Question : Si A est une \overline{ℚ}-variété abélienne telle que End(A) = ℤ, l’hypothèse de transitivité dans D.0.2 est-elle vérifiée pour tout nombre premier p sauf un nombre fini ?

On considère ensuite le lien entre la hauteur de Faltings d’une variété abélienne et la hauteur de Néron-Tate d’un diviseur thêta sur celle-ci.

Soit K ⊂ \overline{ℚ} un corps de nombres de degré N. Pour tout idéal maximal b de O_{K}, on pose N_{b} = #(O_{K}/b).

Soit A une variété abélienne de dimension g sur K. Lorsque L est un faisceau inversible symétrique et ample sur A, on note h_{L} la fonction hauteur de Néron-Tate sur A associée.

Observons que h_{L} et ĥ ne sont pas de même nature a priori : h_{L} est une hauteur sur A, tandis que ĥ est une hauteur sur A_{g}(\overline{ℚ}). Je montre [9] cependant la relation suivante (obtenue indépendamment par Hindry [non publié]) :

Théorème D.0.3 : On suppose que A a potentiellement bonne réduction partout. Soit Θ un diviseur effectif symétrique et ample sur A, définissant une polarisation principale λ de A. En posant L = O_{A}(Θ), on a alors l’égalité suivante :

ĥ(A\overline{ℚ}) = 2gh_{L}(Θ) + \frac{2}{N} ∑_{σ∈G_{K}} I(A_{σ}; λ_{σ}) .

Dans cet énoncé, I est une fonction continue explicite A_{g}(ℂ) → ℝ_{+} (cf section D.2), que l’on peut voir comme une hauteur locale en la place archimédienne. Je prouve que I(A; λ) tend vers +∞ lorsque (A; λ) tend vers l’infini dans A_{g}(ℂ).

La démonstration du théorème D.0.3 repose sur la “formule clef” de Moret-Bailly (cf [33] §8.1 et [34]) et sur les propriétés élémentaires des hauteurs d’Arakelov (cf [15]).

Ce résultat suggère que ĥ(A\overline{ℚ}) − 2gh_{L}(Θ) admet peut-être une décomposition en termes locaux, même sans hypothèse de bonne réduction :

Question : Soit A une variété abélienne semi-stable de dimension g sur K. Soit Θ un diviseur effectif symétrique et ample sur A, définissant une polarisation principale λ de A. On pose L = O_{A}(Θ). A-t-on une formule du type

ĥ(A\overline{ℚ}) = 2gh_{L}(Θ) + \frac{1}{N} ∑_{b} α_{b} ln N_{b} + \frac{2}{N} ∑_{σ} I(A_{σ}; λ_{σ}) ,

où pour tout idéal maximal b de O_{K}, α_{b} est un rationnel positif ou nul calculable en fonction de la réduction de A modulo b (et α_{b} = 0 si A a bonne réduction en b) ?

Théorème D.0.4 : La réponse est positive si g ≤ 2, et plus généralement si (A\overline{ℚ}; λ\overline{ℚ}) est un produit de courbes elliptiques et de surfaces abéliennes principalement polarisées.

Pour démontrer ce théorème, il suffit, par additivité, de considérer les deux cas suivants :

- A est une courbe elliptique ; le résultat est alors connu (cf théorème 7 de Faltings [22]) avec les précisions suivantes : on a h_{L}(Θ) = 0 et 12α_{b} vaut le nombre de points singuliers de la fibre X_{b} du modèle régulier minimal X de A;

- (A; λ) est une surface jacobienne ; c’est l’objet de la section D.3 (cf théorème D.3.1).

Remarque : La formule de l’énoncé D.0.3 précise l’inégalité de Bost suivante (cf théorème §3 de [14]) : avec les mêmes notations et sans hypothèse de bonne réduction, on a la minoration

ĥ(A\overline{ℚ}) ≥ \frac{2}{N} ∑_{σ∈G_{K}} I(A_{σ}; λ_{σ}) .

D.1 Une formule en moyenne

Soit A une variété abélienne de dimension g ≥ 1 sur \overline{ℚ}. On note ĥ(A) la hauteur de Faltings de A; rappelons sa définition :

On prend une variété abélienne A′ semi-stable sur un corps de nombres K ⊂ \overline{ℚ} telle que A′ ; \overline{ℚ} = A. On désigne par X le modèle de Néron de A′ sur B = Spec(O_{K}), par 0_{X} ∈ X(B) sa section neutre, et par ω_{X} le faisceau inversible ω_{X} = 0_{X}^{∗}Λ^{g}Ω_{X/B} sur B.

On munit ω_{X} de la métrique ∥ ∥_{Fa} telle que pour tout σ ∈ B(ℂ) = G_{K} et tout ψ ∈

Γ(B_{σ};ω_{Xσ}) = Γ(A′_{σ}; Λ^{g}Ω_{A′_{σ}/ℂ}), on ait ∥ψ∥_{Fa}^{2}(σ) = \frac{i^{g^{2}}}{(2π)^{2g}} ∫_{A′_{σ}(ℂ)} ψ ∧ \overline{ψ} (la normalisation par

(2π)^{2g} n’est pas standard mais est bien adaptée à la situation).

Alors ĥ(A) = \frac{d̂eg(ω_{X}; ∥ ∥_{Fa})}{[K : ℚ]} (cela ne dépend pas du choix de (K; A′)).

Soient r un entier ≥ 1 et p un nombre premier. Soit \underline{a} = (a_{1}; ⋯; a_{2g}) ∈ ℕ^{2g} tel que a_{1} = r et que a_{g+i} = r − a_{i} pour tout i ∈ {1; ⋯; g}.

Définition : Un sous-groupe G de A[p^{r}] est dit de type \underline{a} lorsque G(\overline{ℚ}) est isomorphe à ℤ/p^{a_{1}}ℤ × ⋯ × ℤ/p^{a_{2g}}ℤ.

Définition : Soit λ : A → A^{∨} une polarisation principale de A. On munit A[p^{r}] de l’accouplement de Weil β : A[p^{r}] × A[p^{r}] → μ_{p^{r};\overline{ℚ}}. Un sous-groupe G de A[p^{r}] est dit isotrope lorsque la restriction à G × G de l’accouplement β est triviale.

L’énoncé ci-dessous décrit la variation de la hauteur de Faltings sous l’action de la correspondance de Hecke associée à \underline{a} :

Théorème D.1.1 : Il existe un unique entier naturel M = M_{g;p;\underline{a}} (ne dépendant que de (g; p; \underline{a})) vérifiant :

Pour toute \overline{ℚ}-variété abélienne (A; λ) de dimension g, principalement polarisée et à bonne réduction en p, en notant G_{1}, ⋯, G_{e} les e = e_{g;p;\underline{a}} sous-groupes isotropes de A[p^{r}] de type \underline{a} et en posant A_{i} = A/G_{i}, on a

\frac{1}{e} ∑_{i=1}^{e} ĥ(A_{i}) = ĥ(A) + (\frac{rg}{2} − \frac{M}{e} ) ln p .

En appliquant ce résultat avec \underline{a} = (1; ⋯; 1; 0; ⋯; 0) et en explicitant M, on en déduit le théorème D.0.1.

D.2 La contribution locale

Soit A une variété abélienne complexe de dimension g ≥ 1. Soit λ une polarisation principale de A. Notons μ la mesure de Haar sur A(ℂ) de masse 1.

Définition : On choisit un faisceau inversible L ample sur A définissant λ (on a donc h^{0}(A; L) = 1), une métrique du cube ∥ ∥ sur L, et une section s ∈ Γ(A; L) − {0}. On pose

I(A; λ) = − ∫_{A(ℂ)} ln ∥s∥μ + \frac{1}{2} ln ∫_{A(ℂ)} ∥s∥^{2}μ .

On vérifie aisément que ce nombre réel ne dépend pas du choix de (L; ∥ ∥; s). De plus, l’inégalité de convexité de Jensen montre que I(A; λ) > 0. On vient en fait de définir une fonction continue I : A_{g}(ℂ) → ℝ_{+}.

Étudions de plus près le cas des courbes elliptiques :

On désigne par ℍ_{1} le demi-plan supérieur. Pour τ ∈ ℍ_{1}, on pose q = e^{2iπτ} et Δ(τ) = q ∏_{n≥1}(1 − q^{n})^{24} (rappelons que Δ est une forme modulaire de poids 12).

Soit E une courbe elliptique sur ℂ. On note λ la polarisation canonique de E. Prenons un τ ∈ ℍ_{1} tel que E(ℂ) ≃ ℂ/(ℤ + τℤ).

Proposition D.2.1 : Avec ces notations, on a la formule suivante :

I(E; λ) = −\frac{1}{24} ln[|Δ(τ)|(2Imτ)^{6}] .

Soit maintenant g un entier ≥ 1. On note ℍ_{g} l’espace de Siegel des matrices Ω ∈ M_{g}(ℂ) symétriques telles que ImΩ soit définie positive. À tout Ω ∈ ℍ_{g} on associe la fonction thêta définie par

∀z ∈ ℂ^{g} θ_{Ω}(z) = ∑_{n∈ℤ^{g}} exp(iπ^{t}nΩn + 2iπ^{t}nz) .

Soit (A; λ) une ℂ-variété abélienne de dimension g, principalement polarisée. Choisissons un Ω ∈ ℍ_{g} tel que A(ℂ) ≃ ℂ^{g}/(ℤ^{g} + Ωℤ^{g}), que λ soit induite par Θ = div(θ_{Ω}), et que Y = ImΩ soit réduite au sens de Minkowski (cf §V.4 de [28]).

Proposition D.2.2 : Il existe deux constantes ε_{g} > 0 et c_{g} > 0 ne dépendant que de g telles que I(A; λ) ≥ ε_{g}Tr(Y) − c_{g}.

Remarque : La proposition D.2.2 implique que I(A; λ) tend vers +∞ lorsque (A; λ) tend vers l’infini dans A_{g}(ℂ). Autrement dit, pour tout Q ∈ ℝ, l’ensemble {(A; λ) ∈ A_{g}(ℂ) | I(A; λ) ≤ Q} est compact.

D.3 Les surfaces jacobiennes

Soit K un corps de nombres de degré N. Soit f : X → B une surface arithmétique régulière semi-stable sur B = Spec(O_{K}), telle que la fibre générique C = X_{K} soit de genre 2.

Soit H un faisceau inversible (de degré 1) sur C tel que H^{⊗2} = Ω_{C/K}. Désignons par (J; λ) la jacobienne de C. Le faisceau H définit un plongement C ↪ J, dont on note Θ l’image. On pose L = O_{J}(Θ).

Théorème D.3.1 : Avec ces notations, on a la formule

ĥ(J\overline{ℚ}) = 4h_{L}(Θ) + \frac{1}{N} ∑_{b∈B} α_{b} ln N_{b} + \frac{2}{N} ∑_{σ∈G_{K}} I(J_{σ}; λ_{σ}) ,

où pour tout point fermé b ∈ B, α_{b} est un rationnel positif ou nul calculable en fonction du graphe de réduction de la fibre X_{b} au-dessus de b.

Remarque : Je sais expliciter α_{b}. En reprenant la classification des graphes de réduction en genre 2 exposée dans la table 1 de [35], je trouve :

- Cas I (bonne réduction) : α_{b} = 0 ;

- Cas II(x) : α_{b} = 0 ;

- Cas III(x) : α_{b} = x/12 ;

- Cas IV(x; y) : α_{b} = y/12 ;

- Cas V(x; y) : α_{b} = (x + y)/12 ;

- Cas VI(x; y; z) : α_{b} = (y + z)/12 ;

- Cas VII(x; y; z) : α_{b} = [xyz/(xy + yz + zx) + x + y + z]/12.

Bibliographie

[1] A. Abbes : Hauteurs et discrétude (d’après L. Szpiro, E. Ullmo et S. Zhang). Séminaire Bourbaki. Astérisque 245 (1997), p. 141-166.

[2] A. Abbes, T. Bouche : Théorème de Hilbert-Samuel “arithmétique”. Annales de l’Institut Fourier 45 (1995), p. 375-401.

[3] F. Angelini : An algebraic version of Demailly’s asymptotic Morse inequalities. Proceedings of the AMS 124 (1996), p. 3265-3269.

[4] P. Autissier : Hauteur des correspondances de Hecke. Bulletin de la SMF 131 (2003), p. 421-433.

[5] P. Autissier : Dynamique des correspondances algébriques et hauteurs. International Math. Research Notices 69 (2004), p. 3723-3739.

[6] P. Autissier : Équidistribution des sous-variétés de petite hauteur. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 18 (2006), p. 1-12.

[7] P. Autissier : Hauteur moyenne de variétés abéliennes isogènes. Manuscripta Math. 117 (2005), p. 85-92.

[8] P. Autissier : Sur une question d’équirépartition de nombres algébriques. C.R.A.S. 342 (2006), p. 639-641.

[9] P. Autissier : Hauteur de Faltings et hauteur de Néron-Tate du diviseur thêta. Compositio Math. 142 (2006), p. 1451-1458.

[10] P. Autissier : Géométrie des surfaces algébriques et points entiers. Prépublication de l’IRMAR (2006) ; math.NT/0606184.

[11] P. Autissier : Géométrie, points entiers et courbes entières. Prépublication de l’IRMAR (2007) ; arXiv :0709.3416.

[12] Y. Bilu : Limit distribution of small points on algebraic tori. Duke Math. Journal 89 (1997), p. 465-476.

[13] Y. Bilu : The many faces of the subspace theorem (after Adamczewski, Bugeaud, Corvaja, Zannier...). Séminaire Bourbaki 967 (2006).

[14] J.B. Bost : Arakelov geometry of abelian varieties. Preprint of the Max-Planck-Institut für Mathematik 51 (1996).

[15] J.B. Bost, H. Gillet, C. Soulé : Heights of projective varieties and positive Green forms. Journal of the AMS 7 (1994), p. 903-1027.

[16] G.S. Call, J.H. Silverman : Canonical heights on varieties with morphisms. Compositio Math. 89 (1993), p. 163-205.

[17] A. Chambert-Loir : Mesures et équidistribution sur les espaces de Berkovich. Journal für die reine und angew. Math. 595 (2006), p. 215-235.

[18] P. Colmez : Sur la hauteur de Faltings des variétés abéliennes à multiplication complexe. Compositio Math. 111 (1998), p. 359-368.

[19] P. Corvaja, U. Zannier : On integral points on surfaces. Annals of Math. 160 (2004), p. 705-726.

[20] J.P. Demailly : L^{2} vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory. Lecture Notes in Math. 1646 (1996), p. 1-97.

[21] G. Faltings : Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Math. 73 (1983), p. 349-366.

[22] G. Faltings : Calculus on arithmetic surfaces. Annals of Math. 119 (1984), p. 387-424.

[23] G. Faltings : Diophantine approximation on abelian varieties. Annals of Math. 133 (1991), p. 549-576.

[24] W. Fulton : Intersection theory (second edition). Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 2 (1998).

[25] C. Gasbarri, M. McQuillan : Roth’s theorem for ruled surfaces. American Journal of Math. 127 (2005), p. 471-492.

[26] H. Gillet, C. Soulé : An arithmetic Riemann-Roch theorem. Inventiones Math. 110 (1992), p. 473-543.

[27] M. Hindry : Autour d’une conjecture de Serge Lang. Inventiones Math. 94 (1988), p. 575-603.

[28] J. Igusa : Theta functions. Grundlehren der math. Wissenschaften 194 (1972).

[29] S. Lang : Number theory III. Encyclopaedia of Math. Sciences 60 (1991).

[30] R. Lazarsfeld : Positivity in algebraic geometry I. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 48 (2004).

[31] A. Levin : Generalizations of Siegel’s and Picard’s theorems. Annals of Math. (2008), à paraître.

[32] L. Moret-Bailly : Métriques permises. Astérisque 127 (1985), p. 29-87.

BIBLIOGRAPHIE 27

[33] L. Moret-Bailly : Pinceaux de variétés abéliennes. Astérisque 129 (1985).

[34] L. Moret-Bailly : Sur l’équation fonctionnelle de la fonction thêta de Riemann. Compositio Math. 75 (1990), p. 203-217.

[35] A. Moriwaki : Bogomolov conjecture for curves of genus 2 over function fields. Journal of Math. of Kyoto University 36 (1996), p. 687-695.

[36] P. Philippon : Sur des hauteurs alternatives I. Math. Annalen 289 (1991), p. 255-283.

[37] M. Raynaud : Sous-variétés d’une variété abélienne et points de torsion. Progress in Math. 35 (1983), p. 327-352.

[38] M. Raynaud : Hauteurs et isogénies. Astérisque 127 (1985), p. 199-234.

[39] H.P. Schlickewei : The p-adic Thue-Siegel-Roth-Schmidt theorem. Archiv der Math. 29 (1977), p. 267-270.

[40] W.M. Schmidt : Diophantine approximation. Lecture Notes in Math. 785 (1980).

[41] J.P. Serre : Propriétés galoisiennes des points d’ordre fini des courbes elliptiques. Inventiones Math. 15 (1972), p. 259-331.

[42] L. Szpiro, E. Ullmo : Variation de la hauteur de Faltings dans une classe de \overline{ℚ}-isogénie de courbe elliptique. Duke Math. Journal 97 (1999), p. 81-97.

[43] L. Szpiro, E. Ullmo, S. Zhang : Équirépartition des petits points. Inventiones Math. 127 (1997), p. 337-347.

[44] E. Ullmo : Positivité et discrétion des points algébriques des courbes. Annals of Math. 147 (1998), p. 167-179.

[45] P. Vojta : Diophantine approximations and value distribution theory. Lecture Notes in Math. 1239 (1987).

[46] P. Vojta : A refinement of Schmidt’s subspace theorem. American Journal of Math. 111 (1989), p. 489-518.

[47] P. Vojta : Integral points on subvarieties of semiabelian varieties I. Inventiones Math. 126 (1996), p. 133-181.

[48] X. Yuan : Big line bundles over arithmetic varieties. Inventiones Math. (2008), à paraître.

[49] S. Zhang : Small points and adelic metrics. Journal of Algebraic Geometry 4 (1995), p. 281-300.

[50] S. Zhang : Equidistribution of small points on abelian varieties. Annals of Math. 147 (1998), p. 159-165.