Hauteur de Faltings et hauteur de Néron-Tate du diviseur thêta

Pascal Autissier

10 mai 2006

Résumé : On montre dans ce texte une formule reliant la hauteur de Faltings d’une variété abélienne A sur \overline{ℚ} et la hauteur de Néron-Tate d’un diviseur thêta sur A.

Abstract : I prove in this paper a formula relating the Faltings height of an abelian variety A over \overline{ℚ} and the Néron-Tate height of a theta divisor on A.

2000 Mathematics Subject Classification : 14G40, 11G10, 14K15, 11G50.

Keywords : hauteur, variété abélienne, théorie d’Arakelov, fonction thêta.

1 Introduction

On étudie dans ce travail le lien entre la hauteur de Faltings d’une variété abélienne A et la hauteur de Néron-Tate d’un diviseur thêta sur A. Introduisons d’abord quelques notations :

Dans toute la suite, on note κ_{0} la constante κ_{0} = ln(π\sqrt{2}). Soit g un entier ≥ 1. On désigne par A_{g} le schéma de modules (grossier) des schémas abéliens de dimension relative g et principalement polarisés.

Soit K ⊂ \overline{ℚ} un corps de nombres de degré N. Notons G_{K} l’ensemble des plongements σ : K ↪ ℂ. Pour tout idéal maximal b de O_{K}, on pose N_{b} = #(O_{K}/b).

Soit A une variété abélienne de dimension g sur K. On désigne par ĥ(A\overline{ℚ}) la hauteur de Faltings (stable) de A\overline{ℚ}. Lorsque L est un faisceau inversible symétrique et ample sur A, on note h′_{L} la fonction hauteur de Néron-Tate sur A.

Observons que h′_{L} et ĥ ne sont pas de même nature a priori : h′_{L} est une hauteur sur A, tandis que ĥ est une hauteur sur A_{g}(\overline{ℚ}). On montre cependant la relation suivante :

Théorème (3.1) : On suppose que A a potentiellement bonne réduction partout. Soit Θ un diviseur effectif symétrique et ample sur A, définissant une polarisation principale λ de A. En posant L = O_{A}(Θ), on a alors l’égalité suivante :

ĥ(A\overline{ℚ}) = 2gh′_{L}(Θ) − κ_{0}g + \frac{2}{N} ∑_{σ∈G_{K}} I(A_{σ}; λ_{σ}) .

Dans cet énoncé, I est une fonction continue explicite A_{g}(ℂ) → ℝ_{+} (cf paragraphe 2.1), que l’on peut voir comme une hauteur locale en la place archimédienne. On prouve au paragraphe 4 que I(A; λ) tend vers +∞ lorsque (A; λ) tend vers l’infini dans A_{g}(ℂ).

La démonstration du théorème 3.1 repose sur la “formule clef” de Moret-Bailly (cf [11] §8.1 et [13]) et sur les propriétés élémentaires des hauteurs d’Arakelov (cf [5]).

Ce résultat suggère que ĥ(A\overline{ℚ}) − 2gh′_{L}(Θ) admet peut-être une décomposition en termes locaux, même sans hypothèse de bonne réduction :

Question : Soit A une variété abélienne semi-stable de dimension g sur K. Soit Θ un diviseur effectif symétrique et ample sur A, définissant une polarisation principale λ de A. On pose L = O_{A}(Θ). A-t-on une formule du type

ĥ(A\overline{ℚ}) = 2gh′_{L}(Θ) + \frac{1}{N} ∑_{b} α_{b} ln N_{b} + \frac{2}{N} ∑_{σ} I(A_{σ}; λ_{σ}) − κ_{0}g ,

où pour tout idéal maximal b de O_{K}, α_{b} est un rationnel positif ou nul calculable en fonction de la réduction de A modulo b (et α_{b} = 0 si A a bonne réduction en b) ?

Théorème 1.1 : La réponse est positive si g ≤ 2, et plus généralement si (A\overline{ℚ}; λ\overline{ℚ}) est un produit de courbes elliptiques et de surfaces abéliennes principalement polarisées.

Pour démontrer ce théorème, il suffit, par additivité, de considérer les deux cas suivants :

- A est une courbe elliptique ; le résultat est alors connu (cf théorème 7 de Faltings [7]) avec les précisions suivantes : on a h′_{L}(Θ) = 0 et 12α_{b} vaut le nombre de points singuliers de la fibre X_{b} du modèle régulier minimal X de A;

- (A; λ) est une surface jacobienne ; c’est l’objet du paragraphe 5 (cf théorème 5.1).

Remarque : La formule de l’énoncé 3.1 précise l’inégalité de Bost suivante (cf [4]) : avec les mêmes notations, on a la minoration

ĥ(A\overline{ℚ}) ≥ \frac{2}{N} ∑_{σ∈G_{K}} I(A_{σ}; λ_{σ}) − κ_{0}g . (∗)

Remerciements : Je remercie Jean-Benoît Bost pour m’avoir exposé sa démonstration de l’inégalité (∗). Je remercie également Marc Hindry et Nicolas Ratazzi pour d’intéressantes discussions concernant cet article. Enfin, je remercie le rapporteur pour ses suggestions avisées.

2 Préliminaires

2.1 Contribution locale

Soit A une variété abélienne complexe de dimension g ≥ 1. Soit λ : A → A^{∨} une polarisation principale de A. Notons μ la mesure de Haar sur A(ℂ) de masse 1.

Définition : On choisit un faisceau inversible L ample sur A définissant λ (on a donc h^{0}(A; L) = 1), une métrique du cube ∥ ∥ sur L, et une section s ∈ Γ(A; L) − {0} (une métrique du cube sur L est par définition une métrique sur L à courbure invariante par translations). On pose

I(A; λ) = − ∫_{A(ℂ)} ln ∥s∥μ + \frac{1}{2} ln ∫_{A(ℂ)} ∥s∥^{2}μ .

On vérifie aisément que ce nombre réel ne dépend pas du choix de (L; ∥ ∥; s). De plus, l’inégalité de convexité de Jensen montre que I(A; λ) > 0. On vient en fait de définir une fonction continue I : A_{g}(ℂ) → ℝ_{+}.

Étudions de plus près le cas des courbes elliptiques :

On désigne par ℍ_{1} le demi-plan supérieur. Pour τ ∈ ℍ_{1}, on pose q = e^{2iπτ} et Δ(τ) = q ∏_{n≥1}(1 − q^{n})^{24} (rappelons que Δ est une forme modulaire de poids 12).

Soit E une courbe elliptique sur ℂ. On note λ la polarisation canonique de E. Prenons un τ ∈ ℍ_{1} tel que E(ℂ) ≃ ℂ/(ℤ + τℤ).

Proposition 2.1 : Avec ces notations, on a la formule suivante :

I(E; λ) = −\frac{1}{24} ln[|Δ(τ)|(2Imτ)^{6}] .

Démonstration : La section neutre 0_{E} de E définit un faisceau inversible L = O_{E}(0_{E}) et une section globale 1_{L} de L (de diviseur 0_{E}). On munit L de la métrique

du cube ∥ ∥ telle que ∫_{E(ℂ)} ∥1_{L}∥^{2}μ = \frac{1}{\sqrt{2}}. Notons g_{0} la fonction de Green pour 0_{E}

normalisée par la condition ∫_{E(ℂ)} g_{0}μ = 0.

D’après Faltings (cf lemme p. 417 de [7]), on a la relation suivante :

∀z ∈ E(ℂ) − \{0_{E}\} g_{0}(z) = −2 ln ∥1_{L}∥(z) + \frac{1}{12} ln[|Δ(τ)|(Imτ)^{6}] .

On en déduit le résultat en intégrant cette égalité sur E(ℂ) contre μ. □

2.2 Hauteurs

Lorsque V est une variété de dimension d sur un corps K et p un entier dans {0; ⋯; d}, on désigne par Ef_{p}(V) l’ensemble des p-cycles effectifs non nuls sur V, et par Ef(V) la réunion Ef_{0}(V) ∪ ⋯ ∪ Ef_{d}(V).

Soit A une variété abélienne sur \overline{ℚ} de dimension g ≥ 1. Pour tout entier n ≥ 2, notons [n] : A → A le morphisme de multiplication par n. Soit L un faisceau inversible symétrique et ample sur A.

On désigne par h′_{L} : Ef(A) → ℝ la fonction hauteur de Néron-Tate. Rappelons que c’est la hauteur de Weil pour L caractérisée par la propriété suivante :

∀n ≥ 2 ∀E ∈ Ef(A) h′_{L}([n]_{∗}E) = n^{2}h′_{L}(E) .

On sait de plus que h′_{L} est à valeurs positives ou nulles.

Faisons maintenant quelques rappels de la théorie des hauteurs d’Arakelov :

Soit X une variété arithmétique (ie un schéma intègre, projectif et plat sur ℤ, tel que la fibre générique X_{ℚ} soit régulière) de dimension (absolue) d. Pour tout p ∈ {0; ⋯; d}, on désigne par Z_{p}(X) le groupe des p-cycles sur X.

On note P̂ic(X) le groupe des classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens sur X. Lorsque L̂ = (L; ∥ ∥) ∈ P̂ic(X), on note ωL̂ la (1; 1)-forme de courbure de L̂ sur X(ℂ).

Bost, Gillet et Soulé (cf §3.1 de [5]) construisent pour tout p ∈ {0; ⋯; d} une application (p + 1)-linéaire P̂ic(X)^{p} × Z_{p}(X) → ℝ, qui à (L̂_{1}; ⋯; L̂_{p}; D) associe la multihauteur ⟨L̂_{1} ⋯ L̂_{p}|D⟩ de D relativement à (L̂_{1}; ⋯; L̂_{p}). Ces applications multilinéaires sont caractérisées par les propriétés suivantes :

- Lorsque Y est un point fermé, on a ⟨|Y ⟩ = ln #k(Y) ;

- Lorsque Y est un fermé intègre de dimension p ≥ 1 et s une section rationnelle non nulle de L_{p|Y}, on a

⟨L̂_{1} ⋯ L̂_{p}|Y ⟩ = ⟨L̂_{1} ⋯ L̂_{p−1}|div(s)⟩ − ∫_{Y (ℂ)} ln ∥s∥_{p}ωL̂_{1} ⋯ ωL̂_{p−1} . (‡)

Définitions : Soient L̂ ∈ P̂ic(X) et p ∈ {0; ⋯; d}. La hauteur d’Arakelov de D ∈ Z_{p}(X) relativement à L̂ est le nombre réel hL̂(D) = ⟨L̂⋯ L̂|D⟩.

Lorsque L_{ℚ} est ample sur X_{ℚ} et p ≥ 1, la hauteur normalisée de E ∈ Ef_{p−1}(X_{ℚ}) relativement à L̂ est le réel

h′ ; L̂(\overline{E}) = \frac{hL̂(\overline{E})}{deg_{L_{ℚ}}(E)p} ,

où \overline{E} désigne l’adhérence de E dans X.

3 Formule de hauteur

Lorsque A est une variété abélienne sur \overline{ℚ}, on note ĥ(A) la hauteur de Faltings de A; rappelons sa définition :

On prend une variété abélienne A′ semi-stable sur un corps de nombres K ⊂ \overline{ℚ} telle que A′ ; \overline{ℚ} = A. On désigne par X le modèle de Néron de A′ sur B = Spec(O_{K}), par 0_{X} ∈ X(B) sa section neutre, et par ω_{X} le faisceau inversible ω_{X} = 0_{X}^{∗}Λ^{g}Ω_{X/B} sur B.

On munit ω_{X} de la métrique ∥ ∥_{Fa} telle que pour tout σ ∈ B(ℂ) = G_{K} et tout

ω ∈ Γ(B_{σ};ω_{Xσ}) = Γ(A′_{σ}; Λ^{g}Ω_{A′_{σ}/ℂ}), on ait ∥ω∥_{Fa}^{2}(σ) = \frac{i^{g^{2}}}{2^{g}} ∫_{A′_{σ}(ℂ)} ω ∧ \overline{ω}.

Alors ĥ(A) = \frac{d̂eg(ω_{X}; ∥ ∥_{Fa})}{[K : ℚ]} (cela ne dépend pas du choix de (K; A′)).

Définition : Soit (A; λ) une \overline{ℚ}-variété abélienne de dimension g ≥ 1. On choisit un corps de nombres K ⊂ \overline{ℚ} et une K-variété abélienne principalement polarisée (A′; λ′) telle que (A′ ; \overline{ℚ}; λ′ ; \overline{ℚ}) = (A; λ). On pose

I′(A; λ) = \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{σ∈G_{K}} I(A′_{σ}; λ′_{σ}) .

Il est facile de voir que ce réel ne dépend pas du choix de (K; A′; λ′).

On montre ici une formule reliant la hauteur de Faltings, la hauteur de Néron-Tate du diviseur thêta, et l’invariant I :

Théorème 3.1 : Soit A une variété abélienne de dimension g ≥ 1 sur \overline{ℚ} ayant partout bonne réduction. Soit Θ un diviseur effectif symétrique et ample sur A, définissant une polarisation principale λ de A. En posant L = O_{A}(Θ), on a alors l’égalité suivante :

ĥ(A) = 2gh′_{L}(Θ) + 2I′(A; λ) − κ_{0}g .

Démonstration : On fixe un corps de nombres K ⊂ \overline{ℚ} de degré N, une variété abélienne A′ sur K et un diviseur effectif Θ′ symétrique et ample sur A′ tels que

(A′ ; \overline{ℚ}; Θ′ ; \overline{ℚ}) = (A; Θ).

Désignons par f : X → B le modèle de Néron de A′ sur B = Spec(O_{K}) et par T l’adhérence de Θ′ dans X. Le diviseur T définit un faisceau inversible L_{0} = O_{X}(T) (symétrique et ample) et une section globale 1_{T} de L_{0}.

Pour tout σ ∈ G_{K}, notons μ_{σ} la mesure de Haar sur A′_{σ}(ℂ) de masse 1. Mu-

nissons L_{0} de la métrique du cube ∥ ∥_{0} vérifiant ∫_{X_{σ}(ℂ)} ∥1_{T} ∥_{0}^{2}μ_{σ} = 2^{−g/2} pour tout

σ ∈ G_{K}. On pose L̂_{0} = (L_{0}; ∥ ∥_{0}) et ω̂_{X} = (ω_{X}; c∥ ∥_{Fa}) où c est une constante qui sera choisie dans un instant.

En notant L̂_{1} = L̂_{0}^{⊗8} ⊗ f^{∗}ω̂_{X}^{⊗−4} et Ô_{B} = (O_{B}; | |), la “formule clef” de Moret-Bailly (cf théorèmes 0.2 et 3.3 de [13]) produit un isomorphisme 0_{X}^{∗}L_{1} ≃ O_{B} qui est une isométrie 0_{X}^{∗} L̂_{1} ≃ Ô_{B} lorsque c = (2π)^{−g}.

Par le théorème du cube, on en déduit naturellement une isométrie [n]^{∗}L̂_{1} ≃ L̂_{1}^{⊗n^{2}} sur X pour chaque entier n ≥ 2, où [n] désigne la multiplication par n sur le O_{K}- schéma abélien X.

La formule de projection (cf proposition 3.2.1 (iii) de [5]) donne h′ ; L̂_{1}([n]_{∗}\overline{E}) = h′_{[n]^{∗}L̂_{1}}(\overline{E}) = n^{2}h′ ; L̂_{1}(\overline{E}) pour tout E ∈ Ef(A′) et tout n ≥ 2.

On en déduit que la hauteur d’Arakelov coïncide avec la hauteur de Néron-Tate, ie que h′ ; L̂_{1}(\overline{E}) = h′_{L^{⊗8}}(E\overline{ℚ}) = 8h′_{L}(E\overline{ℚ}) pour tout E ∈ Ef(A′). On a en particulier hL̂_{1}(X) = 0 et hL̂_{1}(T) = g!8^{g}gNh′_{L}(Θ) (observons que deg_{L}(Θ) = g!).

\underline{Fait} : Pour tout p ∈ \{0; ⋯; g + 1\} et tout D ∈ Z_{p}(X), on a la relation suivante :

\frac{1}{8^{p}} hL̂_{1}(D) = hL̂_{0}(D) − deg_{L}(D\overline{ℚ})\frac{pN}{2} [ĥ(A) − ln c] . (1) Prouvons ce fait : En utilisant la multilinéarité, on obtient

\frac{1}{8^{p}} hL̂_{1}(D) = ∑_{j=0}^{p} C_{p}^{j}(−2)^{−j}⟨L̂_{0}^{p−j}(f^{∗}ω̂_{X})^{j}|D⟩ .

Puisque ω̂_{X} vit sur B qui est de dimension 1, on a (cf proposition 2.3.1 (iii) de [5] p. 938) l’égalité ⟨L̂_{0}^{p−j}(f^{∗}ω̂_{X})^{j}|D⟩ = 0 pour tout j ≥ 2, ainsi que ⟨L̂_{0}^{p−1}f^{∗}ω̂_{X}|D⟩ = deg_{L}(D\overline{ℚ})N[ĥ(A) − ln c]. D’où le fait énoncé.

Maintenant, on écrit la relation (1) pour D = T et pour D = X, puis on soustrait membre à membre ; on trouve alors

\frac{1}{8^{g}} hL̂_{1}(T) − \frac{1}{8^{g+1}} hL̂_{1}(X) = hL̂_{0}(T) − hL̂_{0}(X) + g!\frac{N}{2} [ĥ(A) − ln c] .

Par ailleurs, grâce à la propriété (‡) des hauteurs d’Arakelov, on a

hL̂_{0}(T) − hL̂_{0}(X) = ∑_{σ∈G_{K}} ∫_{X_{σ}(ℂ)}(ln ∥1_{T} ∥_{0})g!μ_{σ} = −g!N[I′(A; λ) + \frac{g}{4} ln 2] .

On obtient donc l’égalité

g!gNh′_{L}(Θ) = −g!N[I′(A; λ) + \frac{g}{4} ln 2] + g!\frac{N}{2} [ĥ(A) − ln c] .

On conclut en divisant par g!N/2. □ Remarquons que cette formule précise l’inégalité de Bost suivante (cf théorème

§3 de [4]) :

Théorème (Bost) : Soit (A; λ) une \overline{ℚ}-variété abélienne de dimension g ≥ 1, principalement polarisée. On a alors la minoration ĥ(A) ≥ 2I′(A; λ) − κ_{0}g.

4 Étude asymptotique

Soit g un entier ≥ 1. On note ℍ_{g} l’espace de Siegel des matrices Ω ∈ M_{g}(ℂ) symétriques telles que ImΩ soit définie positive. À tout Ω ∈ ℍ_{g} on associe la fonction thêta définie par

∀z ∈ ℂ^{g} θ_{Ω}(z) = ∑_{m∈ℤ^{g}} exp(iπ^{t}mΩm + 2iπ^{t}mz) .

Soit (A; λ) une ℂ-variété abélienne de dimension g, principalement polarisée. Choisissons un Ω ∈ ℍ_{g} tel que A(ℂ) ≃ ℂ^{g}/(ℤ^{g} + Ωℤ^{g}), que λ soit induite par Θ = div(θ_{Ω}), et que Y = ImΩ soit réduite au sens de Minkowski (cf §V.4 de [9]).

En notant a_{1}; ⋯; a_{g} les coefficients diagonaux de Y, on a en particulier a_{k} ≥ \sqrt{3}/2 pour tout k ∈ \{1; ⋯; g\}.

Proposition 4.1 : Il existe deux constantes ε_{g} > 0 et c_{g} > 0 ne dépendant que de g telles que I(A; λ) ≥ ε_{g}Tr(Y) − c_{g}.

Démonstration : On désigne par μ la mesure de Haar sur A(ℂ) et par ν la mesure de Lebesgue sur ℝ^{g}. On pose L = O_{A}(Θ) et on note θ la section globale de L définie par Θ. On munit L de la métrique ∥ ∥ définie par

∀z = x + iy ∈ ℂ^{g} ∥θ∥(z) = \sqrt[4]{det(Y)} exp(−π^{t}yY^{−1}y)|θ_{Ω}(z)| .

C’est une métrique du cube sur L (cf §3 de [13]) et on a

ln ∫_{A(ℂ)} ∥θ∥^{2}μ = −\frac{g}{2} ln 2 .

Maintenant, majorons le terme ∫_{A(ℂ)} ln ∥θ∥μ. Posons F = [−\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]^{g}. En utilisant

l’inégalité de Jensen puis la formule de Parseval, on obtient pour tout y ∈ ℝ^{g} :

∫_{F} ln ∥θ∥^{2}(x + Ωy)ν(x) ≤ ln ∫_{F} ∥θ∥^{2}(x + Ωy)ν(x)
= ln[\sqrt{det(Y)} ∑_{m∈ℤ^{g}} exp[−2π^{t}(m + y)Y (m + y)]] .

On pose D = Diag(a_{1}; ⋯; a_{g}). D’après la théorie de la réduction (cf corollaire 2 de [9] p. 193), il existe c > 0 ne dépendant que de g tel que ^{t}yY y ≥ c^{t}yDy pour tout y ∈ ℝ^{g}. On en déduit

2 ∫_{A(ℂ)} ln ∥θ∥μ − \frac{1}{2} ln[det(Y)] ≤ ∫_{F} ln[ ∑_{m∈ℤ^{g}} exp[−2cπ^{t}(m + y)D(m + y)]]ν(y)

= ∑_{k=1}^{g} ∫− \frac{1}{2}^{\frac{1}{2}} ln[∑_{m∈ℤ}e^{−2cπa_{k}(m+y)^{2}}]dy .

On conclut en appliquant g fois le lemme 4.2 ci-dessous et en remarquant que

\frac{1}{g} ln[det(Y)] ≤ ln[\frac{1}{g}Tr(Y)] ≤ \frac{c}{g} Tr(Y) − 1 − ln c. □

Lemme 4.2 : Soit a > 0. On a la majoration suivante :

∫− \frac{1}{2}^{\frac{1}{2}} ln[∑_{m∈ℤ}e^{−a(m+y)^{2}}]dy ≤ −\frac{a}{12} + ln(1 + \frac{1}{a}) .

Démonstration : L’inégalité de Jensen donne

∫− \frac{1}{2}^{\frac{1}{2}} ln(∑_{m∈ℤ}e^{−am^{2}−2amy})dy ≤ ln ∫− \frac{1}{2}^{\frac{1}{2}} (∑_{m∈ℤ}e^{−am^{2}−2amy})dy .

Un calcul montre que le membre de droite vaut ln[1+ \frac{1}{a} − ∑_{m≥1} \frac{e^{−am(m+1)}}{am(m + 1)}]. D’où

le résultat. □

Remarque : La proposition 4.1 implique que I(A; λ) tend vers +∞ lorsque (A; λ) tend vers l’infini dans A_{g}(ℂ). Autrement dit, pour tout Q ∈ ℝ, l’ensemble {(A; λ) ∈ A_{g}(ℂ) | I(A; λ) ≤ Q} est compact.

5 Surfaces jacobiennes

Soit K un corps de nombres de degré N. Soit f : X → B une surface arithmétique régulière semi-stable sur B = Spec(O_{K}), telle que la fibre générique C = X_{K} soit de genre 2.

Soit M un faisceau inversible (de degré 1) sur C tel que M^{⊗2} = Ω_{C/K}. Désignons par (J; λ) la jacobienne de C. Le faisceau M définit un plongement C ↪ J, dont on note Θ l’image. On pose L = O_{J}(Θ).

Théorème 5.1 : Avec ces notations, on a la formule

ĥ(J\overline{ℚ}) = 4h′_{L}(Θ) + \frac{1}{N} ∑_{b∈B} α_{b} ln N_{b} + \frac{2}{N} ∑_{σ∈G_{K}} I(J_{σ}; λ_{σ}) − 2κ_{0} ,

où pour tout point fermé b ∈ B, α_{b} est un rationnel positif ou nul calculable en fonction du graphe de réduction de la fibre X_{b} au-dessus de b.

Démonstration : On note K̂ le faisceau canonique sur X, muni des métriques d’Arakelov.

Pour tout σ ∈ G_{K}, on désigne par δ_{σ} l’invariant de Faltings de C_{σ}(ℂ) (cf [7] p. 402). Pour chaque point fermé b ∈ B, on note δ_{b} le nombre géométrique de points singuliers de la fibre X_{b}. La formule de Noether arithmétique de Moret-Bailly (cf théorème 2.5 de [12]) donne

6ĥ(J\overline{ℚ}) = \frac{⟨K̂.K̂⟩}{2N} + \frac{1}{2N} ∑_{b} δ_{b} ln N_{b} + \frac{1}{2N} ∑_{σ} δ_{σ} − 4 ln(2π) . (1)

Par ailleurs, d’après Zhang ([17] théorème 5.5) et Abbes ([1] théorème 5.2 et remarque p. 161), on a

\frac{⟨K̂.K̂⟩}{2N} = 4h′_{L}(Θ) + \frac{1}{2N} ∑_{b} e_{b} ln N_{b} , (2)

où les e_{b} sont des rationnels positifs ou nuls explicites (l’hypothèse g = 2 est ici cruciale).

Désignons par Δ ∈ Γ(B; (Λ^{2}f_{∗}K)^{⊗10}) le discriminant de C (cf §2 de [16]). Pour tout point fermé b ∈ B, notons d_{b} l’ordre d’annulation de Δ en b. Par la proposition 4 de [3], on a ln ∥Δ∥(σ) = 4I(J_{σ}; λ_{σ}) − δ_{σ} + 2 ln(8π^{2}) pour tout σ ∈ G_{K}. On en déduit

\frac{1}{2N} ∑_{b} d_{b} ln N_{b} + \frac{1}{2N} ∑_{σ}(δ_{σ} − 4I(J_{σ}; λ_{σ})) − ln(8π^{2}) = 5ĥ(J\overline{ℚ}) . (3)

En additionnant membre à membre les égalités (1), (2) et (3), on obtient le résultat avec α_{b} = (δ_{b} + e_{b} − d_{b})/2. □

Remarque : On peut expliciter α_{b}. En reprenant la classification exposée dans la table 1 de [14], on trouve :

- Cas I (bonne réduction) : α_{b} = 0 ;

- Cas II(x) : α_{b} = 0 ;

- Cas III(x) : α_{b} = x/12 ;

- Cas IV(x; y) : α_{b} = y/12 ;

- Cas V(x; y) : α_{b} = (x + y)/12 ;

- Cas VI(x; y; z) : α_{b} = (y + z)/12 ;

- Cas VII(x; y; z) : α_{b} = [xyz/(xy + yz + zx) + x + y + z]/12.

Références

[1] A. Abbes, Hauteurs et discrétude, Astérisque 245 (1997), 141-166.

[2] S. Bosch, W. Lütkebohmert, M. Raynaud, Néron models, Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 21 (1990).

[3] J.B. Bost, Fonctions de Green-Arakelov, fonctions thêta et courbes de genre 2, C.R.A.S. 305 (1987), 643-646.

[4] J.B. Bost, Arakelov geometry of abelian varieties, Preprint of the Max-Planck-Institut für Mathematik 51 (1996).

[5] J.B. Bost, H. Gillet, C. Soulé, Heights of projective varieties and positive Green forms, Journal of the AMS 7 (1994), 903-1027.

[6] P. Colmez, Sur la hauteur de Faltings des variétés abéliennes à multiplication complexe, Compositio Math. 111 (1998), 359-368.

[7] G. Faltings, Calculus on arithmetic surfaces, Annals of Math. 119 (1984), 387-424.

[8] G. Faltings, C.L. Chai, Degeneration of abelian varieties, Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 22 (1990).

[9] J. Igusa, Theta functions, Grundlehren der math. Wissenschaften 194 (1972).

[10] H. Lange, C. Birkenhake, Complex abelian varieties, Grundlehren der math. Wissenschaften 302 (1992).

[11] L. Moret-Bailly, Pinceaux de variétés abéliennes, Astérisque 129 (1985).

[12] L. Moret-Bailly, La formule de Noether pour les surfaces arithmétiques, Inventiones Math. 98 (1989), 491-498.

[13] L. Moret-Bailly, Sur l’équation fonctionnelle de la fonction thêta de Riemann, Compositio Math. 75 (1990), 203-217.

[14] A. Moriwaki, Bogomolov conjecture for curves of genus 2 over function fields, Journal of Math. of Kyoto University 36 (1996), 687-695.

[15] P. Philippon, Sur des hauteurs alternatives I, Math. Annalen 289 (1991), 255-283.

[16] K. Ueno, Discriminants of curves of genus 2 and arithmetic surfaces, Algebraic geometry and commutative algebra II (1988), 749-770.

[17] S. Zhang, Admissible pairing on a curve, Inventiones Math. 112 (1993), 171-193.

Pascal Autissier. pascal.autissier@univ-rennes1.fr

I.R.M.A.R., Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.