Géométrie des surfaces algébriques et points entiers

Pascal Autissier

31 mai 2006

Abstract : Let X be a projective normal surface over a number field K. Let H be the sum of four properly intersecting ample effective divisors on X. We show that any set of S-integral points in X − H is not Zariski dense.

2000 Mathematics Subject Classification : 11G35, 14G05, 14G25.

1 Introduction

On s’intéresse ici aux solutions à coordonnées quasi-entières de systèmes d’équations polynomiales à coefficients dans un corps de nombres, dans l’esprit de la conjecture de Lang et Vojta (cf conjecture 4.2 de [6] p. 223).

Plus précisément, soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K. On montre le résultat suivant :

Théorème 1.1 : Soit X une surface normale projective sur K. Soient D_{1}; D_{2}; D_{3}; D_{4} quatre diviseurs effectifs amples sur X qui se coupent proprement. Posons Y = X − D_{1} ∪ D_{2}∪D_{3}∪D_{4}. Soit E ⊂ Y (K) un ensemble S-entier sur Y. Alors E n’est pas Zariski-dense dans Y.

Cet énoncé était connu de Vojta pour X lisse vérifiant ρ ≤ g + 1, où ρ désigne le nombre de Picard de X\overline{K} et g = h^{1}(X; O_{X}) (cf corollaire 0.3 de [12]). En fait, Vojta a besoin de ρ + 3 − g diviseurs au lieu de 4. L’intérêt de notre résultat réside donc dans l’uniformité en le nombre de diviseurs à considérer.

Remarquons que le théorème 1.1 s’inscrit bien dans le cadre de la conjecture de Lang et Vojta, puisque si X est lisse sur K de diviseur canonique K_{X}, alors K_{X} +D_{1}+D_{2}+D_{3}+D_{4} est ample sur X (cf exemple 1.5.35 de [7] p. 87).

La démonstration repose sur une légère extension d’un théorème de Corvaja et Zannier [1] (cf théorème 3.2), qui donne des conditions géométriques de non-Zariski-densité des points S-entiers, et sur un bon choix de multiplicités associées aux diviseurs D_{i} (cf proposition 2.3).

On utilise en particulier le théorème du sous-espace de Schmidt (cf [9] §VI) et Schlickewei (cf [8]).

Je remercie Antoine Chambert-Loir pour l’inspiration qu’il m’a procurée.

2 Géométrie

Soit K un corps de caractéristique nulle.

Conventions : On appelle variété sur K tout schéma intègre, quasi-projectif et géométriquement irréductible sur K. Une surface sur K est une variété sur K de dimension 2. Le mot “diviseur” sous-entend “diviseur de Cartier”.

Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. Lorsque L_{1}; ⋯; L_{d} sont des diviseurs sur X, on désigne par ⟨L_{1} ⋯ L_{d}⟩ leur nombre d’intersection.

Soient L un diviseur ample sur X et E un diviseur effectif non nul sur X. La formule de Hirzebruch-Riemann-Roch donne l’estimation h^{0}(X; nL) = \frac{⟨L^{d}⟩}{d!}n^{d} + O(n^{d−1}). Ceci motive la définition suivante :

Pour tout entier n ≥ 1, posons d’abord S_{n} = ∑_{k≥1} h^{0}(X; nL − kE) ; remarquons que cette somme est finie puisque h^{0}(X; nL − kE) = 0 si k > ⟨L^{d}⟩n/⟨L^{d−1}E⟩.

Définition : On pose ν(L; E) = lim inf_{n→+∞} \frac{S_{n}}{h^{0}(X; nL)n} = lim inf_{n→+∞} \frac{d!S_{n}}{⟨L^{d}⟩n^{d+1}} .

Exemple : Si X est une courbe, alors on peut aisément expliciter cette constante ; on trouve ν(L; E) = \frac{⟨L⟩}{2⟨E⟩}.

On aura besoin dans la suite de minorer ν(L; E). Commençons par une variante des “inégalités de Morse holomorphes” (cf [2] §12) :

Lemme 2.1 : Soit X une surface projective sur K. Soient L et M des diviseurs amples sur X. Posons α = ⟨LM⟩/⟨M^{2}⟩. Soient n et k des entiers vérifiant 1 ≤ k ≤ αn. On a alors la minoration

h^{0}(X; nL − kM) ≥ ⟨L^{2}⟩\frac{n^{2}}{2} − ⟨LM⟩nk + ⟨M^{2}⟩\frac{k^{2}}{2} − O(n) ,

où le O ne dépend que de (K; X; L; M).

Démonstration : On choisit un entier b ≥ 1 tel que bM soit très ample. D’après le théorème de Bertini, il existe s ∈ Γ(X; bM) − {0} tel que C = div(s) soit géométriquement irréductible sur K.

Soit i un entier tel que 0 ≤ i ≤ αn. On a la suite exacte de O_{X}-modules suivante : 0 → O_{X}(nL − (i + b)M) → O_{X}(nL − iM) → O_{X}(nL − iM)_{|C} → 0 .

On en déduit une suite exacte en cohomologie qui donne l’inégalité

h^{0}(X; nL − (i + b)M) ≥ h^{0}(X; nL − iM) − h^{0}(C; (nL − iM)_{|C}) .

En utilisant la majoration h^{0}(C; L′_{|C}) ≤ ⟨L′C⟩ + 1 valable pour tout diviseur L′ tel que ⟨L′C⟩ ≥ 0 (cf proposition 3 (3) de [4] p. 192), on obtient

h^{0}(X; nL − (i + b)M) ≥ h^{0}(X; nL − iM) − ⟨LM⟩bn + ⟨M^{2}⟩bi − 1 .

Maintenant, écrivons k sous la forme k = bq + r avec q ≥ 0 et 0 ≤ r < b. En sommant l’inégalité précédente, on trouve

\begin{aligned}h^{0}(X; nL − kM) & ≥ & h^{0}(X; nL − rM) − ∑_{j=0}^{q−1}[⟨LM⟩bn−⟨M^{2}⟩b(bj + r) + 1] \\ & = & ⟨L^{2}⟩\frac{n^{2}}{2} − ⟨LM⟩nk + ⟨M^{2}⟩\frac{k^{2}}{2} − O(n) \end{aligned}

(l’asymptotique h^{0}(X; nL−rM) = ⟨L^{2}⟩n^{2}/2+O(n) est fournie par Hirzebruch-Riemann-Roch). D’où le résultat. □

Remarque : La démonstration donne en fait une minoration de h^{0}(nL − kM) − h^{1}(nL − kM).

Corollaire 2.2 : Soit X une surface projective sur K. Soient L un diviseur ample sur X et E un diviseur effectif ample sur X. On a alors

ν(L; E) ≥ \frac{⟨L^{2}⟩}{4⟨LE⟩} + \frac{⟨L^{2}⟩^{2}⟨E^{2}⟩}{24⟨LE⟩^{3}} .

Démonstration : On pose α = ⟨LE⟩/⟨E^{2}⟩ et β = ⟨L^{2}⟩/⟨LE⟩. Remarquons que β ≤ α par le théorème de l’indice de Hodge.

Grâce au lemme 2.1, on a les estimations suivantes :

\begin{aligned}S_{n} = ∑_{k≥1} h^{0}(X; nL − kE) & ≥ & ∑_{k=1}^{[βn/2]}(⟨L^{2}⟩\frac{n^{2}}{2} − ⟨LE⟩nk + ⟨E^{2}⟩\frac{k^{2}}{2} ) − O(n^{2}) \\ & = & (⟨L^{2}⟩\frac{β}{4} − ⟨LE⟩\frac{β^{2}}{8} + ⟨E^{2}⟩\frac{β^{3}}{48} )n^{3} − O(n^{2}) . \end{aligned}

D’où la minoration ν(L; E) ≥ \frac{β}{4} + \frac{β^{2}}{24α}. □

Montrons maintenant le résultat principal de cette section :

Proposition 2.3 : Soit X une surface projective sur K. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs amples sur X. Il existe alors des entiers m_{1}; ⋯; m_{r} tels qu’en posant

L = ∑_{i=1}^{r} m_{i}D_{i}, on ait m_{i} ≥ 1 et ν(L; D_{i}) > \frac{r}{4}m_{i} pour tout i ∈ \{1; ⋯; r\}.

Démonstration : On pose Δ = {(t_{1}; ⋯; t_{r}) ∈ ℝ_{+}^{r} | t_{1} + ⋯ + t_{r} = 1}. Pour tout

t = (t_{1}; ⋯; t_{r}) ∈ Δ, on désigne par L_{t} le ℝ-diviseur L_{t} = ∑_{j=1}^{r} t_{j}D_{j} et on pose ϕ(t) =

(∑_{i=1}^{r} \frac{1}{⟨L_{t}D_{i}⟩})^{−1}.

On note f : Δ → Δ l’application continue définie par f(t) = (\frac{ϕ(t)}{⟨L_{t}D_{1}⟩}; ⋯; \frac{ϕ(t)}{⟨L_{t}D_{r}⟩})

pour tout t ∈ Δ. D’après le théorème de Brouwer, f admet un point fixe x = (x_{1}; ⋯; x_{r}). On a alors ϕ(x) = ⟨L_{x}D_{i}⟩x_{i} pour tout i ∈ {1; ⋯; r}, donc ϕ(x)r = ⟨L_{x}^{2}⟩.

On en déduit l’inégalité \frac{⟨L_{x}^{2}⟩}{⟨L_{x}D_{i}⟩} + \frac{⟨L_{x}^{2}⟩^{2}⟨D_{i}^{2}⟩}{6⟨L_{x}D_{i}⟩^{3}} > x_{i}r pour tout i ∈ \{1; ⋯; r\}.

On approche x par un y ∈ ℚ_{+}^{∗r} ∩ Δ de la forme y = (\frac{m_{1}}{m}; ⋯; \frac{m_{r}}{m} ) de telle sorte que l’inégalité précédente soit encore valable avec y au lieu de x, et on conclut en appliquant le corollaire 2.2. □

Terminons cette section par une définition :

Définition : Soit X une surface normale projective sur K. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X. On dit que D_{1}; ⋯; D_{r} se coupent proprement lorsque : toute intersection de deux quelconques d’entre eux est finie, et toute intersection de trois quelconques d’entre eux est vide.

3 Arithmétique

Soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K. Pour tout v ∈ S, on désigne par K_{v} le complété de K en la place v. On note O_{K;S} l’anneau des S-entiers de K, i.e. l’ensemble des x ∈ K tels que |x|_{v} ≤ 1 pour toute place finie v ∉ S.

Définition : Soit Y une variété sur K. Un ensemble E ⊂ Y (K) est dit S-entier sur Y lorsqu’il existe un O_{K;S}-schéma intègre et quasi-projectif Y de fibre générique Y tel que E ⊂ Y(O_{K;S}).

On va utiliser la version suivante du théorème du sous-espace de Schmidt et Schlickewei :

Proposition 3.1 : Soient X une variété projective sur K et L un faisceau inversible très ample sur X. Soit h_{L} une hauteur de Weil relativement à L. Pour chaque v ∈ S, on munit L_{v} d’une métrique ∥ ∥_{v} et on choisit une base (s_{1v}; ⋯; s_{qv}) de Γ(X; L). Soient c ∈ ℝ et ε > 0. Alors l’ensemble des points P ∈ X(K) vérifiant

− ∑_{v∈S} ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{kv}(P)∥_{v} ≥ (q + ε)h_{L}(P) − c (∗)

n’est pas Zariski-dense dans X.

Démonstration : En posant V = Γ(X; L), on a un plongement X ↪ ℙ(V). On applique alors la reformulation de Vojta (cf théorème 2.2.4 de [11] p. 19) du théorème du sous-espace : il existe une réunion finie H de K-hyperplans de ℙ(V) ≃ ℙ_{K}^{q−1} telle que tout point P ∈ X(K) vérifiant (∗) est dans H ∩ X. □

On montre ci-dessous une légère extension d’un résultat de Corvaja et Zannier (cf théorème principal de [1] p. 707-708) ; on s’inspire de leur méthode, tout en adoptant un point de vue plus géométrique :

Théorème 3.2 : Soit X une surface normale projective sur K. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement. Posons Y = X−D_{1}∪⋯∪D_{r}.

Soient m_{1}; ⋯; m_{r} des entiers ≥ 1. On suppose que le diviseur L = ∑_{i=1}^{r} m_{i}D_{i} est ample

sur X et que ν(L; D_{i}) > m_{i} pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. Soit E ⊂ Y (K) un ensemble S-entier sur Y. Alors E n’est pas Zariski-dense dans Y.

Démonstration : On fixe un réel ε > 0 tel que ν(L; D_{i}) > (1 + ε)m_{i} pour tout i ∈ {1; ⋯; r}, puis un entier b ≥ 1 tel que bL soit très ample et que

∑_{k≥1} h^{0}(X; bL − kD_{i}) ≥ (1 + ε)h^{0}(X; bL)m_{i}b pour tout i ∈ {1; ⋯; r}.

On note q = h^{0}(X; bL) et on choisit une hauteur de Weil h_{bL} relativement à bL. Pour tout diviseur effectif E sur X, on désigne par 1_{E} la section globale de O_{X}(E) qu’il définit.

Raisonnons par l’absurde en supposant E Zariski-dense. Il existe alors une suite (P_{n})_{n≥0} d’éléments de E qui est générique, i.e. telle que pour tout fermé Z ≠ X, l’ensemble {n ∈ ℕ | P_{n} ∈ Z} est fini.

Quitte à extraire, on peut supposer (par compacité) que pour tout v ∈ S, la suite (P_{nv})_{n≥0} converge dans X(K_{v}) vers un y_{v} ∈ X(K_{v}).

Soit v ∈ S. On munit chaque faisceau O_{X}(D_{i})_{v} d’une métrique ∥ ∥_{v}. Les diviseurs D_{1}; ⋯; D_{r} se coupent proprement, donc il existe deux indices j_{v} < l_{v} tels que y_{v} ∉ D_{i} pour tout i ∈ {1; ⋯; r} − {j_{v}; l_{v}}.

Le lemme 3.2 de [1] fournit une base B_{v} = (s_{1v}; ⋯; s_{qv}) de Γ(X; bL) adaptée aux filtrations (Γ(X; bL − kD_{j_{v}}))_{k≥0} et (Γ(X; bL − kD_{l_{v}}))_{k≥0}, i.e. B_{v} contient une base de

Γ(X; bL − kD_{i}) pour tout i ∈ {j_{v}; l_{v}} et tout k ≥ 0.

\underline{Fait} : On a la minoration suivante pour tout n ≥ 0 :

− ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{kv}(P_{n})∥_{v} ≥ −(q + qε) ln ∥1_{bL}(P_{n})∥_{v} − O(1) , (1)

où le O(1) est indépendant de n.

Prouvons ce fait. Soit s ∈ Γ(X; bL) − {0}. Pour tout i ∈ {1; ⋯; r}, notons μ_{i}(s) le plus grand entier μ tel que le diviseur div(s) − μD_{i} soit effectif. Puisque les fermés D_{j_{v}} et D_{l_{v}} n’ont pas de composante commune, le diviseur div(s) − μ_{j_{v}}(s)D_{j_{v}} − μ_{l_{v}}(s)D_{l_{v}} est encore effectif. Ceci implique l’inégalité

− ln ∥s(P_{n})∥_{v} ≥ −μ_{j_{v}}(s) ln ∥1_{D_{jv}} (P_{n})∥_{v} − μ_{l_{v}}(s) ln ∥1_{D_{lv}} (P_{n})∥_{v} − O(1) .

On écrit cette inégalité pour s = s_{kv}, puis on somme sur k. En observant que pour i ∈ {j_{v}; l_{v}}, on a

\begin{aligned}∑_{k=1}^{q} μ_{i}(s_{kv}) & = & ∑_{μ≥0}[h^{0}(X; bL − μD_{i}) − h^{0}(X; bL − (μ + 1)D_{i})]μ \\ & = & ∑_{μ≥1} h^{0}(X; bL − μD_{i}) ≥ (q + qε)m_{i}b , \end{aligned}

on trouve alors

− ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{kv}(P_{n})∥_{v} ≥ −(q + qε)b[m_{j_{v}} ln ∥1_{D_{jv}} (P_{n})∥_{v} + m_{l_{v}} ln ∥1_{D_{lv}} (P_{n})∥_{v}] − O(1) .

Le fait énoncé s’en déduit en remarquant que ln ∥1_{D_{i}}(P_{n})∥_{v} = O(1) pour tout i ∈ {1; ⋯; r} − {j_{v}; l_{v}}.

Maintenant, l’ensemble E est S-entier sur Y, donc pour tout n ≥ 0, on a

h_{bL}(P_{n}) = − ∑_{v∈S} ln ∥1_{bL}(P_{n})∥_{v} + O(1) .

En utilisant la minoration (1), on obtient (pour tout n ≥ 0)

− ∑_{v∈S} ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{kv}(P_{n})∥_{v} ≥ (q + qε)h_{bL}(P_{n}) − O(1) .

D’où une contradiction avec la proposition 3.1 (i.e. le théorème du sous-espace). □

Démonstration du théorème 1.1 : Il suffit d’appliquer la proposition 2.3 (avec r = 4) puis le théorème 3.2. □

Références

[1] P. Corvaja, U. Zannier : On integral points on surfaces. Annals of Math. 160 (2004), 705-726.

[2] J.P. Demailly : L^{2} vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory. Lecture Notes in Math. 1646 (1996), 1-97.

[3] G. Faltings : Diophantine approximation on abelian varieties. Annals of Math. 133 (1991), 549-576.

[4] W. Fulton : Algebraic curves. W.A. Benjamin, Inc. (1969).

[5] W. Fulton : Intersection theory (second edition). Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 2 (1998).

[6] S. Lang : Number theory III. Encyclopaedia of Math. Sciences 60 (1991).

[7] R. Lazarsfeld : Positivity in algebraic geometry I. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 48 (2004).

[8] H.P. Schlickewei : The p-adic Thue-Siegel-Roth-Schmidt theorem. Archiv der Math. 29 (1977), 267-270.

[9] W.M. Schmidt : Diophantine approximation. Lecture Notes in Math. 785 (1980).

[10] J.P. Serre : Lectures on the Mordell-Weil theorem (third edition). Aspects of Math. 15 (1997).

[11] P. Vojta : Diophantine approximations and value distribution theory. Lecture Notes in Math. 1239 (1987).

[12] P. Vojta : Integral points on subvarieties of semiabelian varieties I. Inventiones Math. 126 (1996), 133-181.

Pascal Autissier. I.R.M.A.R., Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.

pascal.autissier@univ-rennes1.fr