Géométrie, points entiers et courbes entières

Pascal Autissier

11 septembre 2008

Abstract : Let X be a projective variety over a number field K (resp. over ℂ). Let H be the sum of “sufficiently many positive divisors” on X. We show that any set of quasi-integral points (resp. any integral curve) in X − H is not Zariski dense.

Résumé : Soit X une variété projective sur un corps de nombres K (resp. sur ℂ). Soit H la somme de “suffisamment de diviseurs positifs” sur X. On montre que tout ensemble de points quasi-entiers (resp. toute courbe entière) dans X − H est non Zariski-dense.

2000 Mathematics Subject Classification : 14G25, 11J97, 11G35.

1 Introduction

Soient K un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K. On note O_{K;S} l’anneau des S-entiers de K. On s’intéresse dans cet article aux solutions dans O_{K;S}^{r} de systèmes d’équations du type

∀i ∈ {1; ⋯; n} F_{i}(x_{1}; ⋯; x_{r}) = 0 , (∗)

où les F_{i} sont des polynômes à r variables et à coefficients dans O_{K;S}. Pour formaliser cette étude, on utilise le langage de la géométrie algébrique :

Désignons par Y la “variété algébrique” sur K définie par F_{1} = 0, ⋯, F_{n} = 0. Tout ensemble de solutions de (∗) dans O_{K;S}^{r} définit alors un ensemble (de points) S-entier sur Y.

Le problème est de donner des conditions géométriques suffisantes sur Y pour que tout ensemble S-entier soit non Zariski-dense dans Y.

Dans la suite, on se donne Y sous la forme Y = X − D, où X est une variété projective sur K de dimension d ≥ 1 et D un diviseur effectif sur X. L’esprit de la conjecture de Lang et Vojta (cf conjecture 4.2 de [11] p. 223) est qu’une telle condition suffisante s’exprime en termes de “positivité” de D :

Conjecture (Lang, Vojta) : Soit X une variété projective lisse sur K de diviseur canonique K_{X}. Soit D un diviseur effectif sur X, à croisements normaux. Posons Y = X − D. On suppose K_{X} + D gros (par exemple ample) sur X. Alors tout ensemble S-entier sur Y est non Zariski-dense dans Y.

Les théorèmes de Siegel et de Faltings [7] montrent cette conjecture lorsque X est une courbe. Plus généralement, cet énoncé est connu de Faltings [8] lorsque X est une sous-variété de variété abélienne. Par ailleurs, c’est un corollaire direct du théorème du sous-espace lorsque X = ℙ_{K}^{d} et D égale la somme de d + 2 hyperplans en position générale.

Notons cependant que la conjecture est encore largement ouverte : le cas où X = ℙ_{K}^{2} n’est par exemple pas connu.

Dans cet article, on démontre des cas particuliers de cette conjecture, lorsque D a “suffisamment” de composantes irréductibles. Plus précisément, disons qu’une variété Y sur K est arithmétiquement quasi-hyperbolique lorsqu’il existe un fermé Z ≠ Y tel que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble quasi-entier E ⊂ Y (K′) sur Y, l’ensemble E − Z(K′) soit fini (cf section 2 pour les autres définitions). On prouve le résultat suivant :

Théorème 1.1 : Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 2. Soient δ un entier ≥ 2 et D_{1}; ⋯; D_{dδ} des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux à deux. On suppose que toute intersection de δ + 1 quelconques d’entre eux est vide. Posons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{dδ}. Alors Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique. En particulier, tout ensemble E ⊂ Y (K) S-entier sur Y est non Zariski-dense dans Y.

Cet énoncé améliore un résultat récent de Levin (cf théorème 10.4A de [13]). En fait, Levin

a besoin de 2⌊\frac{δ + 1}{2}⌋d+1 diviseurs au lieu de dδ (cf aussi remarque 2.4 pour une comparaison des travaux).

On démontre en outre l’énoncé suivant (où λ′_{d} = [1 − (1 − \frac{1}{d})^{d+1}]^{−1}(1 + \frac{1}{d}) est une

constante ≤ \frac{12}{7} ne dépendant que de d, cf remarque 2.3) :

Théorème 1.2 : Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 2. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls et nefs sur X qui se coupent proprement (avec

r > λ′_{d}d). Posons L = ∑_{i=1}^{r} D_{i} et Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r}. On suppose que le ℚ-diviseur

L−λ′_{d}dD_{i} est ample pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. Alors Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique.

L’hypothèse sur les L − λ′_{d}dD_{i} est vérifiée lorsque les D_{i} vivent dans un cône “suffisamment étroit” du groupe de Néron-Severi de X. L’intérêt de ce résultat réside dans le nombre (potentiellement linéaire en d) de diviseurs à considérer.

Appliquons, à titre d’exemple, le théorème 1.2 au cas où X = (ℙ_{K}^{1})^{d} (avec d ≥ 2) :

Soit r un entier > λ′_{d}d. Pour i ∈ {1; ⋯; r}, soit D_{i} un diviseur effectif non nul sur (ℙ_{K}^{1})^{d}, de d-degré (e_{i1}; ⋯; e_{id}).

Corollaire : Supposons que les diviseurs D_{1}; ⋯; D_{r} se coupent proprement et que l’on a

λ′_{d}d max_{i} e_{ij} < ∑_{i=1}^{r} e_{ij} pour tout j ∈ {1; ⋯; d}. Alors (ℙ_{K}^{1})^{d} − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r} est arithmétique-

ment quasi-hyperbolique.

On observe qu’une application directe du corollaire 0.3 de Vojta [19] ne donne ce résultat que pour r ≥ 2d + 1.

Remarquons que les théorèmes 1.1 et 1.2 s’inscrivent bien dans le cadre de la conjecture de Lang et Vojta, puisque si X est lisse sur K de diviseur canonique K_{X} et les D_{i} sont amples sur X, alors K_{X} + D_{1} + ⋯ + D_{r} est ample sur X dès que r ≥ d + 2 (c’est une conséquence du théorème du cône de Mori, cf exemple 1.5.35 de [12] p. 87).

Les démonstrations reposent sur une extension (théorème 3.3) de travaux de Corvaja-Zannier [5] et de Levin [13], qui donne des conditions géométriques de non-Zariski-densité des points S-entiers, et sur un bon choix (théorème 4.4) de multiplicités associées aux diviseurs D_{i}.

L’ingrédient arithmétique principal est la version de Vojta [18] du théorème du sous-espace de Schmidt [15] et Schlickewei [14] (c’est un énoncé d’approximation diophantienne qui généralise le théorème de Roth).

Par ailleurs, Vojta [17] a développé un “dictionnaire” entre la géométrie diophantienne et la théorie de Nevanlinna : l’étude des points S-entiers sur les variétés sur K est mise en analogie avec l’étude des courbes entières sur les variétés complexes.

Pour étayer ce dictionnaire, on montre aussi les énoncés qui “correspondent” aux théorèmes 1.1 et 1.2 :

Théorème 1.3 : Soit X une variété complexe projective de dimension d ≥ 2. Soient D_{1}; ⋯; D_{dδ} des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux à deux (avec δ ≥ 2). On suppose que toute intersection de δ +1 quelconques d’entre eux est vide. Posons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{dδ}. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique. En particulier, toute courbe entière f : ℂ → Y (ℂ) est d’image non Zariski-dense dans Y.

Théorème 1.4 : Soit X une variété complexe projective de dimension d ≥ 2. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls et nefs sur X qui se coupent proprement (avec

r > λ′_{d}d). Posons L = ∑_{i=1}^{r} D_{i} et Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r}. On suppose que le ℚ-diviseur

L − λ′_{d}dD_{i} est ample pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.

La section 2.1 décrit les résultats purement géométriques utilisés, qui sont prouvés aux sections 4 et 5. La section 2.2 donne les critères de quasi-hyperbolicité, qui sont démontrés à la section 3.

Je remercie Antoine Chambert-Loir et Christophe Mourougane pour de fructueuses discussions. Je remercie également le rapporteur pour ses suggestions pertinentes.

2 Définitions et énoncés

2.1 Géométrie

Soit K un corps de caractéristique nulle.

Conventions : On appelle variété sur K tout schéma quasi-projectif et géométriquement intègre sur K. Le mot “diviseur” sous-entend “diviseur de Cartier”.

Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. Lorsque L est un diviseur sur X tel que h^{0}(X; L) ≥ 1, on désigne par B_{L} le lieu de base de Γ(X; L) et par Φ_{L} : X − B_{L} → ℙ(Γ(X; L)) le morphisme défini par Γ(X; L). Pour tout diviseur effectif D sur X, on note 1_{D} la section globale de O_{X}(D) qu’il définit.

Définition : Un diviseur L sur X est dit libre lorsque B_{L} est vide.

Définition : Un diviseur L sur X est dit gros lorsque lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n^{d}} h^{0}(X; nL) > 0.

Définition : Soit L un diviseur gros sur X. On dit que L est presque ample lorsqu’il existe un entier n ≥ 1 tel que nL soit libre.

Définition : Un ℝ-diviseur L sur X est dit nef lorsque pour tout 1-cycle effectif C sur X, on a ⟨L.C⟩ ≥ 0 (où ⟨L.C⟩ désigne le nombre d’intersection).

Définition : Soient D_{1} et D_{2} deux diviseurs effectifs sur X. On dit que D_{1} et D_{2} se coupent proprement lorsque O_{X}(−D_{1} − D_{2}) = O_{X}(−D_{1}) ∩ O_{X}(−D_{2}).

Définition : Plus généralement, soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs sur X. On dit que D_{1}; ⋯; D_{r} se coupent proprement lorsque pour toute partie I non vide de {1; ⋯; r}, la section globale (1_{D_{i}})_{i∈I} de ⨁_{i∈I} O_{X}(D_{i}) est régulière (autrement dit, pour tout x ∈ ⋂_{i∈I} D_{i},

en notant φ_{i} une équation locale de D_{i} en x, les (φ_{i})_{i∈I} forment une suite régulière de l’anneau local O_{X;x}).

Remarque : Supposons X de Cohen-Macaulay (par exemple lisse sur K) ; alors d’après le lemme A.7.1 de [9] p. 418, les diviseurs D_{1}; ⋯; D_{r} se coupent proprement si et seulement si pour toute partie I non vide de {1; ⋯; r}, le fermé ⋂_{i∈I} D_{i} est purement de codimension #I

dans X (éventuellement vide).

Soit L un diviseur sur X tel que h^{0}(X; L) ≥ 1. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X (avec r ≥ 1). Notons P l’ensemble des parties I non vides de {1; ⋯; r} telles que ⋂_{i∈I} D_{i} soit non vide. Pour I ∈ P, \underline{a} = (a_{i})_{i} ∈ ℕ^{I} et k ∈ ℕ^{∗}, on définit le sous-espace

vectoriel V_{I;\underline{a};k} de Γ(X; L) par

V_{I;\underline{a};k} = ∑_{\underline{b}} Γ(X; L − ∑_{i∈I} b_{i}D_{i}) où la somme porte sur les \underline{b} ∈ ℕ^{I} tels que ∑_{i∈I} a_{i}b_{i} ≥ k .

Définition : On pose ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) = inf_{I∈P} inf_{\underline{a}∈ℕ^{I}−\{0\}} \frac{∑_{k≥1} dim V_{I;\underline{a};k}}{h^{0}(X; L) ∑_{i∈I} a_{i}}.

On démontre à la section 4 le résultat suivant :

Théorème 2.1 : On suppose d ≥ 2. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs presque amples sur X qui se coupent proprement deux à deux ; supposons que toute intersection de δ + 1 quelconques d’entre eux est vide (avec 2 ≤ δ ≤ r). Il existe alors (m_{1}; ⋯; m_{r}) ∈ ℕ^{∗r} tel

qu’en posant L = ∑_{i=1}^{r} m_{i}D_{i}, on ait lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}ν(nL; m_{1}D_{1}; ⋯; m_{r}D_{r}) > \frac{r}{dδ}.

Posons λ_{d} = [1−(1−\frac{1}{d})^{d+1}]\frac{d}{d + 1} et λ′_{d} = \frac{1}{λ_{d}}. On prouve à la section 5.2 l’énoncé suivant :

Théorème 2.2 : Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls et nefs sur X qui se

coupent proprement. On suppose que L = ∑_{i=1}^{r} D_{i} est ample. Soit θ > 1 un réel tel que le

ℝ-diviseur L − dθD_{i} soit nef pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. On a alors la minoration

lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}ν(nL; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ λ_{d}θ .

Remarque 2.3 : La suite (λ′_{d})_{d≥2} est décroissante (on le voit en écrivant la relation

λ_{d} = ∫_{0}^{1}(1 − \frac{t}{d})^{d}dt). En outre, λ_{d} converge vers 1 − e^{−1} lorsque d tend vers +∞.

2.2 Hyperbolicité

Lorsque K est un corps de nombres et S un ensemble fini de places de K, on note O_{K;S} l’anneau des S-entiers de K, i.e. l’ensemble des x ∈ K tels que |x|_{v} ≤ 1 pour toute place finie v ∉ S.

Soit K un corps de nombres.

Définition : Soient Y une variété sur K, K′ une extension finie de K et S un ensemble fini de places de K′. Un ensemble E ⊂ Y (K′) est dit S-entier sur Y lorsqu’il existe un O_{K′;S}- schéma intègre et quasi-projectif Y de fibre générique Y_{K′} tel que E ⊂ Y(O_{K′;S}).

Définition : Soient Y une variété sur K et K′ une extension finie de K. Un ensemble E ⊂ Y (K′) est dit quasi-entier sur Y lorsqu’il existe un ensemble fini S de places de K′ tel que E soit S-entier sur Y.

Définition : Soit Y une variété sur K. On dit que Y est arithmétiquement quasihyperbolique lorsqu’il existe un fermé Z ≠ Y tel que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble quasi-entier E ⊂ Y (K′) sur Y, l’ensemble E − Z(K′) soit fini.

Définition : Soit Y une variété complexe. Une courbe entière sur Y est une application holomorphe f : ℂ → Y (ℂ) non constante.

Définition : Soit Y une variété complexe. On dit que Y est Brody quasi-hyperbolique lorsqu’il existe un fermé Z ≠ Y tel que pour toute courbe entière f sur Y, on ait f(ℂ) ⊂ Z(ℂ).

L’intérêt de la définition de ν réside dans les critères suivants :

Théorème (3.3) : Soit X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux à deux. Po-

sons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r}. Soit n ≥ 1 un entier. On suppose que le diviseur L = n ∑_{i=1}^{r} D_{i}

est libre et gros sur X et que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > n. Alors Y est arithmétiquement quasihyperbolique.

Théorème (3.5) : Soit X une variété complexe projective de dimension d ≥ 1. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux à deux. Po-

sons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r}. Soit n ≥ 1 un entier. On suppose que le diviseur L = n ∑_{i=1}^{r} D_{i}

est libre et gros sur X et que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > n. Alors Y est Brody quasi-hyperbolique.

On en déduit le théorème 1.1 —respectivement 1.3— en appliquant le théorème 2.1 (avec r = dδ) puis le théorème 3.3 —respectivement 3.5—.

On en déduit de même les théorèmes 1.2 et 1.4 en appliquant le théorème 2.2.

Remarque 2.4 : Notons ici L l’ensemble des bases de Γ(X; L), P l’ensemble des parties I non vides de {1; ⋯; r} telles que ⋂_{i∈I} D_{i} soit non vide, et posons

ν′(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) = \frac{1}{h^{0}(X; L)} inf_{I∈P} sup_{B∈L} inf_{i∈I} ∑_{s∈B} μ_{i}(s) ,

où μ_{i}(s) désigne le plus grand entier μ tel que le diviseur div(s)−μD_{i} soit effectif (i.e. “l’ordre d’annulation de s en D_{i}”). Levin (cf section 8 de [13]) donne ces résultats de quasi-hyperbolicité lorsque X est lisse et ν′(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > n. Les énoncés ci-dessus sont plus généraux, puisqu’un peu d’algèbre linéaire montre que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ ν′(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) (et X n’est pas supposée lisse).

3 Démonstration des critères

3.1 Rappels

Soit X une variété complexe projective. Soit L un faisceau inversible sur X. On munit L d’une métrique (continue) ∥ ∥ et on pose L̂ = (L; ∥ ∥).

Soit f une courbe entière sur X. On définit la fonction caractéristique T_{L̂;f} : ℝ_{+} → ℝ de f relativement à L̂ de la manière suivante :

On choisit une section rationnelle s de L définie et non nulle en f(0). Pour tout réel r ≥ 0, on pose

T_{L̂;f}(r) = ∑_{|z|≤r} μ_{z}(f^{∗}s) ln \frac{r}{|z|} − ∫_{0}^{2π} ln ∥s(f(re^{iθ}))∥\frac{dθ}{2π} + ln ∥s(f(0))∥ ,

où μ_{z}(f^{∗}s) désigne l’ordre de f^{∗}s en z ∈ ℂ. Cela ne dépend pas du choix de s.

Soient K un corps de nombres et X′ une variété projective sur K. Soit L′ un faisceau inversible sur X′. On munit L′ d’une métrique adélique (∥ ∥_{v})_{v} et on pose L̂′ = (L′; (∥ ∥_{v})_{v}) (pour des précisions sur les métriques adéliques, on pourra consulter le paragraphe 1.2 de [21]).

Soient K′ une extension finie de K et P ∈ X′(K′). On définit la hauteur (normalisée) hL̂′(P) de P relativement à L̂′ de la façon suivante :

On choisit une section rationnelle s′ de L′ définie et non nulle en P. On pose

hL̂′(P) = −\frac{1}{[K′ : ℚ]} ∑_{v} ln ∥s′(P)∥_{v} ,

où v parcourt l’ensemble des places de K′. Ce réel ne dépend pas du choix de s′.

3.2 Cas arithmétique

Commençons par un résultat facile d’algèbre linéaire :

Lemme 3.1 : Soient K un corps et V un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit (F_{k})_{k≥1} une suite décroissante de parties de V telle que F_{k} = {0} pour tout k assez grand. Il existe alors une base B de V adaptée à la suite (F_{k})_{k≥1}, i.e. B ∩ F_{k} est une base de Vect(F_{k}) pour tout k ≥ 1.

Démonstration : Soit m ≥ 1 un entier tel que F_{k} = {0}. On pose B_{m} = ∅. On construit par récurrence une suite (B_{m}; ⋯; B_{1}) de parties de V de la manière suivante :

Pour k ∈ {1; ⋯; m − 1}, on complète la partie libre B_{k+1} en une base B_{k} de Vect(F_{k}) contenue dans F_{k}.

Pour finir, on complète B_{1} en une base B de V. □

Soient K un corps de nombres et X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. On va utiliser la version suivante du théorème du sous-espace de Schmidt, Schlickewei et Vojta :

Proposition 3.2 : Soit L ∈ Pic(X) libre et gros. Notons q = h^{0}(X; L). On munit L d’une métrique adélique (∥ ∥_{v})_{v}. Soient s_{1}; ⋯; s_{N} des sections non nulles engendrant Γ(X; L). Soit ε > 0. Il existe alors un fermé Z ≠ X tel que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble fini S de places de K′, l’ensemble des points P ∈ (X − Z)(K′) vérifiant

∑_{v∈S} max_{J∈L} ∑_{j∈J} ln ∥s_{j}(P)∥_{v}^{−1} ≥ (q + qε)[K′ : ℚ]hL̂(P) (1)

est fini, où L désigne l’ensemble des parties J de {1; ⋯; N} telles que (s_{j})_{j∈J} soit une base de Γ(X; L).

Démonstration : En posant V = Γ(X; L), on a un morphisme Φ_{L} : X → ℙ(V) génériquement fini. Il existe donc un fermé Z_{1} ≠ X tel que Φ_{L|X−Z_{1}} soit à fibres finies. On applique alors la version de Vojta (cf théorème 0.3 et reformulation 3.4 de [18]) du théorème du sous-espace :

Il existe une réunion finie H de K-hyperplans de ℙ(V) ≃ ℙ_{K}^{q−1} telle que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble fini S de places de K′, l’ensemble des points P ∈ (X − Z_{1} ∪ Φ_{L}^{−1}(H))(K′) vérifiant (1) est fini. □

Remarque : Vojta a en fait montré que l’on peut trouver un Z indépendant de ε, mais on n’en aura pas besoin dans la suite.

On montre ci-dessous une extension d’un résultat de Levin (cf théorème 8.3A de [13]), lui-même inspiré de travaux de Corvaja et Zannier (cf théorème principal de [5] p. 707-708) :

Théorème 3.3 : Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux à deux. Posons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r}. Soit m ≥ 1 un entier. On suppose

que le diviseur L = m ∑_{i=1}^{r} D_{i} est libre et gros sur X et que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > m. Alors Y est

arithmétiquement quasi-hyperbolique.

Démonstration : On procède en deux étapes : dans la première, on construit un fermé Z ≠ X candidat à contenir “presque tous les points entiers” ; dans la seconde, on prouve que Y est arithmétiquement quasi-hyperbolique.

Étape 1 : On pose ε = \frac{1}{4m}(ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) − m) et q = h^{0}(X; L), on choisit un entier

c ≥ 1 tel que h^{0}(X; L − cD_{i}) = 0 pour tout i ∈ \{1; ⋯; r\}, et on fixe un entier b ≥ \frac{cr}{mε}. Choisissons aussi une base B_{0} de Γ(X; L).

Désignons par P l’ensemble des parties I non vides de {1; ⋯; r} telles que ⋂_{i∈I} D_{i} soit non

vide. Soit I ∈ P. On note Δ_{I} l’ensemble des \underline{a} = (a_{i})_{i} ∈ ℕ^{I} tels que ∑_{i∈I} a_{i} = b. Soit \underline{a} ∈ Δ_{I}.

Pour k ∈ ℕ^{∗}, on pose F_{k} = ⋃_{\underline{b}} Γ(X; L − ∑_{i∈I} b_{i}D_{i}) où la réunion porte sur les \underline{b} ∈ ℕ^{I} tels que

∑_{i∈I} a_{i}b_{i} ≥ k, et on note V_{I;\underline{a};k} = Vect(F_{k}). Le lemme 3.1 fournit une base B_{I;\underline{a}} de Γ(X; L)

adaptée à la suite (F_{k})_{k≥1}.

On munit chaque faisceau O_{X}(D_{i}) d’une métrique adélique. Appliquons le théorème du sous-espace (proposition 3.2) avec \{s_{1}; ⋯; s_{N}\} = B_{0} ∪ ⋃_{I;\underline{a}} B_{I;\underline{a}} (remarquons que cette réunion

est finie puisque P et les Δ_{I} le sont) :

Il existe un fermé Z ≠ X tel que pour toute extension finie K′ de K et tout ensemble fini S de places de K′, l’ensemble des points P ∈ (X − Z)(K′) vérifiant l’inégalité (1) est fini.

Étape 2 : Soient K′ une extension finie de K et S un ensemble fini de places de K′ contenant les places archimédiennes. Soit E ⊂ Y (K′) un ensemble S-entier sur Y. Raisonnons par l’absurde en supposant E −Z(K′) infini. On choisit une suite injective (P_{n})_{n≥0} d’éléments de E − Z(K′).

Quitte à extraire, on peut supposer (par compacité) que pour tout v ∈ S, la suite (P_{nv})_{n≥0} converge dans X(K′_{v}) vers un y_{v} ∈ X(K′_{v}).

Pour tout v ∈ S, on note I_{v} l’ensemble des i ∈ {1; ⋯; r} tels que y_{v} ∈ D_{i}. Quitte à extraire de nouveau, on peut supposer que pour tout v ∈ S tel que I_{v} soit non vide et tout i ∈ I_{v}, la

suite (\frac{ln ∥1_{D_{i}}(P_{n})∥_{v}}{∑_{j∈I_{v}} ln ∥1_{D_{j}}(P_{n})∥_{v}} )_{n≥0} converge vers un t_{vi} ∈ [0; 1]. Remarquons que l’on a ∑_{i∈I_{v}} t_{vi} = 1.

\underline{Fait} : Soit v ∈ S. Il existe une base (s_{1v}; ⋯; s_{qv}) de Γ(X; L) contenue dans \{s_{1}; ⋯; s_{N}\} telle que l’on ait la minoration suivante pour tout n ≥ 0 :

− ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{kv}(P_{n})∥_{v} ≥ −(q + 2qε) ln ∥1_{L}(P_{n})∥_{v} − O(1) , (2)

où le O(1) est indépendant de n.

Prouvons ce fait. Si I_{v} est vide, on prend {s_{1v}; ⋯; s_{qv}} = B_{0} et on obtient la minoration (2) en remarquant que ln ∥1_{L}(P_{n})∥_{v} = O(1) (puisque y_{v} ∉ L).

On suppose maintenant I_{v} non vide. On a donc I_{v} ∈ P. Choisissons un \underline{a}_{v} = (a_{vi})_{i} ∈ Δ_{I_{v}} tel que |bt_{vi} − a_{vi}| ≤ 1 pour tout i ∈ I_{v}. On prend alors \{s_{1v}; ⋯; s_{qv}\} = B_{I_{v};\underline{a}_{v}}. Vérifions que ce choix convient.

Soit s ∈ Γ(X; L) − {0}. Pour tout i ∈ {1; ⋯; r}, notons μ_{i}(s) le plus grand entier μ tel que le diviseur div(s) − μD_{i} soit effectif. Puisque les diviseurs D_{i} se coupent proprement deux à deux, le diviseur div(s) − ∑_{i∈I_{v}} μ_{i}(s)D_{i} est encore effectif. Ceci implique

− ln ∥s(P_{n})∥_{v} ≥ − ∑_{i∈I_{v}} μ_{i}(s) ln ∥1_{D_{i}}(P_{n})∥_{v} − O(1) .

En remarquant que t_{vi} > \frac{a_{vi}}{b} − \frac{2mε}{cr} et que μ_{i}(s) ≤ c pour tout i ∈ I_{v}, on a, par définition des t_{vi} :

−μ_{i}(s) ln ∥1_{D_{i}}(P_{n})∥_{v} ≥ −(\frac{a_{vi}}{b} μ_{i}(s) − \frac{2mε}{r}) ∑_{j∈I_{v}} ln ∥1_{D_{j}}(P_{n})∥_{v}

pour tout n assez grand et tout i ∈ I_{v}.

On en déduit l’inégalité (pour tout n ≥ 0)

− ln ∥s(P_{n})∥_{v} ≥ −(\frac{1}{b} ∑_{i∈I_{v}} a_{vi}μ_{i}(s) − 2mε) ∑_{j∈I_{v}} ln ∥1_{D_{j}}(P_{n})∥_{v} − O(1) .

On écrit cette inégalité pour s = s_{kv}, puis on somme sur k. En observant que pour i ∈ I_{v}, on a

\begin{aligned}∑_{k=1}^{q} ∑_{i∈I_{v}} a_{vi}μ_{i}(s_{kv}) & = & ∑_{μ≥1} #\{k ∈ \{1; ⋯; q\} | ∑_{i∈I_{v}} a_{vi}μ_{i}(s_{kv}) ≥ μ\} \\ & = & ∑_{μ≥1} dim V_{I_{v};\underline{a}_{v};μ} ≥ ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r})qb = (1 + 4ε)qbm , \end{aligned}

on trouve alors

− ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{kv}(P_{n})∥_{v} ≥ −(q + 2qε)m ∑_{j∈I_{v}} ln ∥1_{D_{j}}(P_{n})∥_{v} − O(1) .

Le fait énoncé (2) s’en déduit en remarquant que ln ∥1_{D_{j}}(P_{n})∥_{v} = O(1) pour tout j ∉ I_{v}.

Maintenant, l’ensemble E est S-entier sur Y, donc pour tout n ≥ 0, on a

[K′ : ℚ]hL̂(P_{n}) = − ∑_{v∈S} ln ∥1_{L}(P_{n})∥_{v} + O(1) .

En utilisant la minoration (2), on obtient (pour tout n ≥ 0)

− ∑_{v∈S} ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{kv}(P_{n})∥_{v} ≥ (q + 2qε)[K′ : ℚ]hL̂(P_{n}) − O(1) .

D’où une contradiction avec (1). □

3.3 Cas analytique

Soit X une variété complexe projective de dimension d ≥ 1.

Proposition 3.4 : Soit L ∈ Pic(X) libre et gros. Notons q = h^{0}(X; L). On munit L d’une métrique ∥ ∥. Soient s_{1}; ⋯; s_{N} des sections non nulles engendrant Γ(X; L). Soit ε > 0. Il existe alors un fermé Z ≠ X tel que pour toute courbe entière f sur X d’image non contenue dans Z(ℂ), l’ensemble des réels r ≥ 0 vérifiant

∫_{0}^{2π} max_{J∈L} ∑_{j∈J} ln ∥s_{j}(f(re^{iθ}))∥^{−1} \frac{dθ}{2π} ≥ (q + qε)T_{L̂;f}(r) (1′)

est de mesure de Lebesgue finie, où L désigne l’ensemble des parties J de {1; ⋯; N} telles que (s_{j})_{j∈J} soit une base de Γ(X; L).

Démonstration : En posant V = Γ(X; L), on a un morphisme Φ_{L} : X → ℙ(V) génériquement fini. Il existe donc un fermé Z_{1} ≠ X tel que Φ_{L|X−Z_{1}} soit à fibres finies. On applique alors la version de Vojta (cf théorème 2 de [20]) du théorème de Cartan :

Il existe une réunion finie H d’hyperplans de ℙ(V) ≃ ℙ_{ℂ}^{q−1} telle que pour toute courbe entière d’image non contenue dans Z_{1} ∪ Φ_{L}^{−1}(H), l’ensemble des réels r ≥ 0 vérifiant (1′) est de mesure de Lebesgue finie. □

Théorème 3.5 : Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux à deux. Posons Y = X − D_{1} ∪ ⋯ ∪ D_{r}. Soit m ≥ 1 un entier. On suppose

que le diviseur L = m ∑_{i=1}^{r} D_{i} est libre et gros sur X et que ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) > m. Alors Y est

Brody quasi-hyperbolique.

Démonstration : On procède en deux étapes : dans la première, on construit un fermé Z ≠ X candidat à contenir toutes les courbes entières ; dans la seconde, on prouve que Y est Brody quasi-hyperbolique.

Étape 1 : On reprend la démonstration du théorème 3.3, jusqu’à la construction des bases B_{I;\underline{a}}. On munit chaque faisceau O_{X}(D_{i}) d’une métrique ∥ ∥. Appliquons le théorème de Cartan et Vojta (proposition 3.4) avec \{s_{1}; ⋯; s_{N}\} = B_{0} ∪ ⋃_{I;\underline{a}} B_{I;\underline{a}} :

Il existe un fermé Z ≠ X tel que pour toute courbe entière f sur X d’image non contenue dans Z(ℂ), l’ensemble des réels r ≥ 0 vérifiant l’inégalité (1′) est de mesure de Lebesgue finie.

Étape 2 : Soit f une courbe entière sur Y. Raisonnons par l’absurde en supposant f(ℂ) ⊄ Z(ℂ).

Par compacité de X(ℂ), il existe un réel M > 0 tel que pour tout y ∈ X(ℂ), l’ensemble d’indices I_{y} = {i ∈ {1; ⋯; r} | − ln ∥1_{D_{i}}(y)∥ ≥ M} appartienne à P ∪ {∅} (il suffit d’extraire du recouvrement ouvert ({y ∈ X(ℂ) | ∃I ∈ P ∪ {∅} ∀i ∉ I − ln ∥1_{D_{i}}(y)∥ < M})_{M>0} un recouvrement fini).

\underline{Fait} : Soit y ∈ Y (ℂ). Il existe une base (s_{1y}; ⋯; s_{qy}) de Γ(X; L) contenue dans \{s_{1}; ⋯; s_{N}\} telle que l’on ait la minoration suivante :

− ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{ky}(y)∥ ≥ −(q + 3qε) ln ∥1_{L}(y)∥ − O(1) , (2′)

où le O(1) est indépendant de y.

Prouvons ce fait. Si I_{y} est vide, on prend {s_{1y}; ⋯; s_{qy}} = B_{0} et on obtient la minoration (2′) en remarquant que − ln ∥1_{L}(y)∥ < Mr.

On suppose maintenant I_{y} non vide. On a donc I_{y} ∈ P. Pour tout i ∈ I_{y}, on pose

t_{yi} = \frac{ln ∥1_{D_{i}}(y)∥}{∑_{j∈I_{y}} ln ∥1_{D_{j}}(y)∥}. Remarquons que l’on a ∑_{i∈I_{y}} t_{yi} = 1. Choisissons un \underline{a}_{y} = (a_{yi})_{i} ∈ Δ_{I_{y}}

tel que |bt_{yi} − a_{yi}| ≤ 1 pour tout i ∈ I_{y}. On prend alors \{s_{1y}; ⋯; s_{qy}\} = B_{I_{y};\underline{a}_{y}}. Vérifions que ce choix convient.

Soit s ∈ Γ(X; L) − {0}. Puisque les diviseurs D_{i} se coupent proprement deux à deux, le diviseur div(s) − ∑_{i∈I_{y}} μ_{i}(s)D_{i} est effectif. Ceci implique

− ln ∥s(y)∥ ≥ − ∑_{i∈I_{y}} μ_{i}(s) ln ∥1_{D_{i}}(y)∥ − O(1) .

En remarquant que t_{yi} ≥ \frac{a_{yi}}{b} − \frac{mε}{cr} et que μ_{i}(s) ≤ c pour tout i ∈ I_{y}, on a, par définition des t_{yi} :

−μ_{i}(s) ln ∥1_{D_{i}}(y)∥ ≥ −(\frac{a_{yi}}{b} μ_{i}(s) − \frac{mε}{r}) ∑_{j∈I_{y}} ln ∥1_{D_{j}}(y)∥

pour tout i ∈ I_{y}.

On en déduit l’inégalité

− ln ∥s(y)∥ ≥ −(\frac{1}{b} ∑_{i∈I_{y}} a_{yi}μ_{i}(s) − mε) ∑_{j∈I_{y}} ln ∥1_{D_{j}}(y)∥ − O(1) .

On écrit cette inégalité pour s = s_{ky}, puis on somme sur k. En observant que pour i ∈ I_{y}, on a

∑_{k=1}^{q} ∑_{i∈I_{y}} a_{yi}μ_{i}(s_{ky}) ≥ ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r})qb = (1 + 4ε)qbm

comme dans la démonstration du théorème 3.3, on trouve alors

− ∑_{k=1}^{q} ln ∥s_{ky}(y)∥ ≥ −(q + 3qε)m ∑_{j∈I_{y}} ln ∥1_{D_{j}}(y)∥ − O(1) .

Le fait énoncé (2′) s’en déduit en remarquant que − ln ∥1_{D_{j}}(y)∥ < M pour tout j ∉ I_{y}.

Maintenant f est une courbe entière sur Y, donc pour tout r ≥ 0, on a

T_{L̂;f}(r) = − ∫_{0}^{2π} ln ∥1_{L}(f(re^{iθ}))∥\frac{dθ}{2π} + O(1) .

En utilisant la minoration (2′), on obtient (pour tout r ≥ 0)

∫_{0}^{2π} max_{J∈L} ∑_{k∈J} ln ∥s_{k}(f(re^{iθ}))∥^{−1} \frac{dθ}{2π} ≥ (q + 3qε)T_{L̂;f}(r) − O(1) .

D’où une contradiction avec (1′) (puisque T_{L̂;f}(r) tend vers +∞ lorsque r tend vers +∞). □

4 Démonstration du théorème 2.1

Soient K un corps de caractéristique nulle et X une variété projective sur K de dimension d ≥ 2. Pour tous diviseurs L_{1}; ⋯; L_{d} sur X, on désigne par ⟨L_{1} ⋯ L_{d}⟩ leur nombre d’intersection. Lorsque L est un diviseur sur X tel que q = h^{0}(X; L) ≥ 1 et E un diviseur effectif non nul sur X, on pose α(L; E) = \frac{1}{q} ∑_{k≥1} h^{0}(X; L − kE).

Proposition 4.1 : Soit L un diviseur sur X tel que q = h^{0}(X; L) ≥ 1. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement deux à deux ; supposons que toute intersection de δ + 1 quelconques d’entre eux est vide (avec 2 ≤ δ ≤ r). On a alors

ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ \frac{2}{δ} inf_{i} α(L; D_{i}) .

Démonstration : On utilise les notations de la section 2.1. Lorsque x est un réel, on désigne par ⌈x⌉ le plus petit entier ≥ x. Soient I ∈ P et \underline{a} ∈ ℕ^{I} − \{0\}. Quitte à réduire I, on peut supposer que a_{i} ≥ 1 pour tout i ∈ I. Observons que #I ≤ δ.

Si I est un singleton \{i\}, alors V_{I;\underline{a};k} = Γ(X; L − ⌈\frac{k}{a_{i}} ⌉D_{i}), donc on a bien

∑_{k≥1} V_{I;\underline{a};k} = a_{i} ∑_{k≥1} h^{0}(X; L − kD_{i}) ≥ a_{i}q \frac{2}{δ} inf_{j} α(L; D_{j}) .

On suppose maintenant #I ≥ 2. On choisit deux indices j < l dans I tels que a_{l} ≥ a_{j} ≥ a_{i} pour tout i ∈ I − {j; l}. Pour (b_{1}; b_{2}) ∈ ℕ^{2}, on pose W (b_{1}; b_{2}) = Γ(X; L − b_{1}D_{j} − b_{2}D_{l}).

Soit k un entier ≥ 1. L’espace vectoriel V_{I;\underline{a};k} contient alors le sous-espace

V′_{k} = W (0; ⌈\frac{k}{a_{l}} ⌉) + ∑_{b=0}^{⌈k/a_{l}⌉−1} W (⌈\frac{k − a_{l}b}{a_{j}}⌉; b) .

Puisque les diviseurs D_{j} et D_{l} se coupent proprement, on a l’égalité suivante pour tout b′ ∈ {0; ⋯; ⌈k/a_{l}⌉ − 1} :

W (⌈\frac{k − a_{l}b′}{a_{j}} ⌉; b′) ⋂[W (0; ⌈\frac{k}{a_{l}} ⌉) + ∑_{b=b′+1}^{⌈k/a_{l}⌉−1} W (⌈\frac{k − a_{l}b}{a_{j}}⌉; b)] = W (⌈\frac{k − a_{l}b′}{a_{j}} ⌉; b′ + 1) .

En utilisant ⌈k/a_{l}⌉ fois la formule dim(W_{1} + W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2} − dim W_{1} ∩ W_{2}, on obtient que la dimension de V′_{k} vaut

dim W (0; ⌈\frac{k}{a_{l}} ⌉) + ∑_{b=0}^{⌈k/a_{l}⌉−1}[dim W (⌈\frac{k − a_{l}b}{a_{j}}⌉; b) − dim W (⌈\frac{k − a_{l}b}{a_{j}}⌉; b + 1)] .

Maintenant, on somme sur k l’égalité précédente. Après simplifications, on trouve

∑_{k≥1} dim V′_{k} = a_{l} ∑_{k≥1} h^{0}(X; L − kD_{l}) + a_{j} ∑_{k≥1} h^{0}(X; L − kD_{j}) .

On en conclut la minoration

∑_{k≥1} dim V_{I;\underline{a};k} ≥ ∑_{k≥1} dim V′_{k} ≥ (a_{j} + a_{l})q inf_{i} α(L; D_{i}) ≥ (∑_{i∈I} a_{i})q \frac{2}{δ} inf_{j} α(L; D_{j}) .

D’où le résultat. □ On aura besoin dans la suite d’une variante des “inégalités de Morse holomorphes” (cf [6]

§12 et [1]) :

Lemme 4.2 : Soient E un diviseur libre et gros sur X et L un diviseur sur X tel que L − E soit nef. Soit β un réel > 0. Pour tout couple d’entiers (n; k) vérifiant 1 ≤ k ≤ βn, on a alors la minoration

h^{0}(X; nL − kE) ≥ \frac{⟨L^{d}⟩}{d!}n^{d} − \frac{⟨L^{d−1}E⟩}{(d − 1)!}n^{d−1}k + \frac{d − 1}{d!}⟨L^{d−2}E^{2}⟩n^{d−2} min(k^{2}; n^{2}) − O(n^{d−1}) ,

où le O ne dépend pas de (n; k).

Démonstration : Les O apparaissant dans cette preuve dépendent de (K; X; E; L; β) mais pas de (n; k). On a deux cas.

\underline{Cas k ≤ n} : La formule de Hirzebruch-Riemann-Roch donne que χ(X; nL − kE) est une fonction polynomiale en (n; k) dont on peut expliciter la composante homogène dominante :

Pour tout (n; k) tel que 1 ≤ k ≤ n, on a χ(X; nL − kE) = \frac{1}{d!}⟨(nL − kE)^{d}⟩ + O(n^{d−1}). Par ailleurs, d’après le théorème 1.4.40 de [12] p. 69 (ou plutôt d’après sa démonstration),

on a h^{i}(X; nL − kE) = O(n^{d−i}) pour tout i ≥ 1, puisque L et L − E sont nefs. On a en

particulier h^{0}(X; nL − kE) = \frac{1}{d!}⟨(nL − kE)^{d}⟩ + O(n^{d−1}).

Or un calcul montre (par multilinéarité) la formule

⟨(nL − kE)^{d}⟩ = ⟨L^{d}⟩n^{d} − d⟨L^{d−1}E⟩n^{d−1}k + ∑_{i=2}^{d}(i − 1)⟨L^{i−2}(nL − kE)^{d−i}E^{2}⟩n^{i−2}k^{2}

(en effet, on l’obtient en écrivant la relation

⟨L^{d−1}E⟩n^{d−1}k − ⟨L^{j−1}(nL − kE)^{d−j}E⟩n^{j−1}k = ∑_{i=j+1}^{d}⟨L^{i−2}(nL − kE)^{d−i}E^{2}⟩n^{i−2}k^{2}

et en la sommant sur j).

L’inégalité de l’énoncé s’en déduit facilement : les diviseurs L, nL − kE et E sont nefs, donc on a ⟨L^{i−2}(nL − kE)^{d−i}E^{2}⟩ ≥ 0 pour tout i ∈ {2; ⋯; d − 1}.

\underline{Cas k > n} : D’après le théorème de Bertini (cf corollaire 6.11 de [10] p. 89), il existe s ∈ Γ(X; E) − {0} tel que Z = div(s) soit géométriquement intègre sur K.

Soit i un entier tel que n ≤ i ≤ βn. On a la suite exacte de O_{X}-modules suivante : 0 → O_{X}(nL − (i + 1)E) → O_{X}(nL − iE) → O_{X}(nL − iE)_{|Z} → 0 .

On en déduit une suite exacte en cohomologie qui fournit l’inégalité

h^{0}(X; nL − (i + 1)E) ≥ h^{0}(X; nL − iE) − h^{0}(Z; (nL − iE)_{|Z}) .

En utilisant la majoration

h^{0}(Z; (nL − iE)_{|Z}) ≤ h^{0}(Z; nL_{|Z}) = \frac{⟨L^{d−1}E⟩}{(d − 1)!}n^{d−1} + O(n^{d−2})

(obtenue par Hirzebruch-Riemann-Roch), on trouve

\begin{aligned}h^{0}(X; nL − kE) & ≥ & h^{0}(X; nL − nE) − ∑_{i=n}^{k−1} h^{0}(Z; (nL − iE)_{|Z}) \\ & ≥ & \frac{⟨L^{d}⟩}{d!}n^{d} − \frac{⟨L^{d−1}E⟩}{(d − 1)!}n^{d−1}k + \frac{d − 1}{d!}⟨L^{d−2}E^{2}⟩n^{d} − O(n^{d−1}) \end{aligned}

(la minoration de h^{0}(X; nL − nE) est donnée par le premier cas). D’où le résultat. □

Remarque : La démonstration fournit en fait une minoration de h^{0}(X; nL − kE) − h^{1}(X; nL − kE).

On note ici g : ℝ_{+} → ℝ_{+} l’application continue définie par g(β) = \frac{β^{3}}{3} si β ≤ 1 et

g(β) = β − \frac{2}{3} si β ≥ 1.

Corollaire 4.3 : Soient E un diviseur effectif libre et gros sur X et L un diviseur sur X tel que L − E soit nef. On a alors

lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}α(nL; E) ≥ \frac{⟨L^{d}⟩}{2d⟨L^{d−1}E⟩} + (d − 1)\frac{⟨L^{d−2}E^{2}⟩}{⟨L^{d}⟩}g(\frac{⟨L^{d}⟩}{d⟨L^{d−1}E⟩}) .

Démonstration : On pose β = \frac{⟨L^{d}⟩}{d⟨L^{d−1}E⟩} et M = (d − 1)⟨L^{d−2}E^{2}⟩. Grâce au lemme 4.2, on a les estimations suivantes :

\begin{aligned}∑_{k≥1} h^{0}(X; nL − kE) & ≥ & ∑_{k=1}^{⌊βn⌋}(\frac{⟨L^{d}⟩}{d!}n^{d} − \frac{⟨L^{d−1}E⟩}{(d − 1)!}n^{d−1}k + \frac{M}{d!} n^{d−2} min(k^{2}; n^{2})) − O(n^{d}) \\ & = & (\frac{⟨L^{d}⟩}{d!}β − \frac{⟨L^{d−1}E⟩}{(d − 1)!} \frac{β^{2}}{2} + \frac{M}{d!} g(β))n^{d+1} − O(n^{d}) . \end{aligned}

D’où la minoration α(nL; E) ≥ (\frac{β}{2} + \frac{M}{⟨L^{d}⟩}g(β))n − O(1). □ Montrons maintenant le résultat principal de cette section :

Théorème 4.4 : Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs presque amples sur X. Il existe

alors des entiers m_{1}; ⋯; m_{r} tels qu’en posant L = ∑_{i=1}^{r} m_{i}D_{i}, on ait

m_{i} ≥ 1 et lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}α(nL; m_{i}D_{i}) > \frac{r}{2d} pour tout i ∈ \{1; ⋯; r\} .

Démonstration : On pose ici Δ = {(t_{1}; ⋯; t_{r}) ∈ ℝ_{+}^{r} | t_{1} + ⋯ + t_{r} = 1}. Pour tout

t = (t_{1}; ⋯; t_{r}) ∈ Δ, on désigne par L_{t} le ℝ-diviseur L_{t} = ∑_{j=1}^{r} t_{j}D_{j} et on pose ϕ(t) =

(∑_{i=1}^{r} \frac{1}{⟨L_{t}^{d−1}D_{i}⟩})^{−1}.

On note f : Δ → Δ l’application continue définie par f(t) = (\frac{ϕ(t)}{⟨L_{t}^{d−1}D_{1}⟩}; ⋯; \frac{ϕ(t)}{⟨L_{t}^{d−1}D_{r}⟩})

pour tout t ∈ Δ. D’après le théorème de Brouwer, f admet un point fixe x = (x_{1}; ⋯; x_{r}). On a alors ϕ(x) = ⟨L_{x}^{d−1}D_{i}⟩x_{i} pour tout i ∈ {1; ⋯; r}, donc ϕ(x)r = ⟨L_{x}^{d}⟩.

On en déduit l’inégalité

\frac{⟨L_{x}^{d}⟩}{2d⟨L_{x}^{d−1}D_{i}⟩x_{i}} + (d − 1)\frac{⟨L_{x}^{d−2}D_{i}^{2}⟩x_{i}^{2}}{⟨L_{x}^{d}⟩} g(\frac{⟨L_{x}^{d}⟩}{d⟨L_{x}^{d−1}D_{i}⟩x_{i}} ) > \frac{r}{2d} pour tout i ∈ \{1; ⋯; r\} .

On approche x par un y ∈ ℚ_{+}^{∗r} ∩ Δ de la forme y = (\frac{m_{1}}{m}; ⋯; \frac{m_{r}}{m} ) de telle sorte que l’inégalité précédente soit encore valable avec y au lieu de x, et on conclut en appliquant le corollaire 4.3. □

On en déduit le théorème 2.1 en appliquant la proposition 4.1.

5 Géométrie bis

5.1 Préliminaires

Soient r et m des entiers ≥ 1. On pose Δ = {0; ⋯; m}^{r}. On munit Δ de l’ordre lexicographique. Notons \underline{m} = (m; ⋯; m) le plus grand élément de Δ. Pour tout \underline{b} = (b_{1}; ⋯; b_{r}) ∈ Δ, on désigne par J\underline{b} l’ensemble des i ∈ \{1; ⋯; r\} tels que b_{i} < m.

Commençons par la variante suivante du lemme 2.2 de [4] :

Lemme 5.1 : Soit A un anneau local. Soit (φ_{1}; ⋯; φ_{r}) une suite régulière de A. Pour tout \underline{b} ∈ Δ, on a alors l’inclusion d’idéaux

(φ_{1}^{b_{1}} ⋯ φ_{r}^{b_{r}}A) ∩ (∑_{\underline{c}>\underline{b}} φ_{1}^{c_{1}} ⋯ φ_{r}^{c_{r}}A) ⊂ ∑_{j∈J\underline{b}} φ_{1}^{b_{1}} ⋯ φ_{r}^{b_{r}}φ_{j}A .

Démonstration : On raisonne par récurrence sur r. Si r = 1, alors l’inclusion est évidente. Supposons r ≥ 2 et le résultat au cran r − 1. Posons Δ′ = \{0; ⋯; m\}^{r−1} et \underline{b}′ = (b_{2}; ⋯; b_{r}).

Soit x ∈ (φ_{1}^{b_{1}} ⋯ φ_{r}^{b_{r}}A) ∩ (∑_{\underline{c}>\underline{b}} φ_{1}^{c_{1}} ⋯ φ_{r}^{c_{r}}A). On a deux cas.

\underline{Cas b_{1} = m} : L’élément x s’écrit x = φ_{1}^{m}y = ∑_{\underline{c}′>\underline{b}′} φ_{1}^{m}a\underline{c}′ avec un y ∈ φ_{2}^{b_{2}} ⋯ φ_{r}^{b_{r}}A et des

a\underline{c}′ ∈ φ_{2}^{c_{2}} ⋯ φ_{r}^{c_{r}}A. En simplifiant par φ_{1}^{m}, on obtient que y appartient à ∑_{\underline{c}′>\underline{b}′} φ_{2}^{c_{2}} ⋯ φ_{r}^{c_{r}}A. Or

(φ_{2}; ⋯; φ_{r}) est une suite régulière de A, donc y est un élément de ∑_{j∈J\underline{b}} φ_{2}^{b_{2}} ⋯ φ_{r}^{b_{r}}φ_{j}A par

hypothèse de récurrence.

\underline{Cas b_{1} < m} : L’élément x s’écrit x = φ_{1}^{b_{1}}y = φ_{1}^{b_{1}+1}z + ∑_{\underline{c}′>\underline{b}′} φ_{1}^{b_{1}}a\underline{c}′ avec un y ∈ φ_{2}^{b_{2}} ⋯ φ_{r}^{b_{r}}A,

un z ∈ A et des a\underline{c}′ ∈ φ_{2}^{c_{2}} ⋯ φ_{r}^{c_{r}}A. On écrit y = φ_{2}^{b_{2}} ⋯ φ_{r}^{b_{r}}w avec w ∈ A. On simplifie par φ_{1}^{b_{1}} puis on réduit modulo φ_{1} ; on trouve ainsi dans A′ = A/φ_{1}A l’égalité ȳ = ∑_{\underline{c}′>\underline{b}′} ā\underline{c}′.

On en déduit que ȳ appartient à (φ̄_{2}^{b_{2}} ⋯ φ̄_{r}^{b_{r}}A′) ∩ ( ∑_{\underline{c}′>\underline{b}′} φ̄_{2}^{c_{2}} ⋯ φ̄_{r}^{c_{r}}A′). Or (φ̄_{2}; ⋯; φ̄_{r})

est une suite régulière de A′, donc ȳ est un élément de ∑_{j∈J\underline{b}−\{1\}} φ̄_{2}^{b_{2}} ⋯ φ̄_{r}^{b_{r}} φ̄_{j}A′ par hypothèse

de récurrence. En simplifiant par φ̄_{2}^{b_{2}} ⋯ φ̄_{r}^{b_{r}}, on obtient que w̄ est dans ∑_{j∈J\underline{b}−\{1\}} φ̄_{j}A′. On en

conclut que w appartient à ∑_{j∈J\underline{b}} φ_{j}A.

D’où le résultat. □

Soient K un corps de caractéristique nulle et X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1.

Définition : Un O_{X}-module cohérent C sur X est dit acyclique lorsque h^{i}(X; C) = 0 pour tout i ≥ 1.

Soit L un diviseur sur X tel que q = h^{0}(X; L) ≥ 1. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement.

Pour tout \underline{b} ∈ Δ, on pose L\underline{b} = O_{X}(L − ∑_{i=1}^{r} b_{i}D_{i}). Pour \underline{b} ∈ Δ, on définit le sous-module

C\underline{b} de L\underline{b} par

C\underline{b} = ∑_{j∈J\underline{b}} O_{X}(L − D_{j} − ∑_{i=1}^{r} b_{i}D_{i}) .

Soit (a_{1}; ⋯; a_{r}) ∈ ℕ^{r}. Pour k ∈ ℕ^{∗}, on note V_{k} le sous-espace de Γ(X; L) défini par

V_{k} = ∑_{\underline{b}} Γ(X; L\underline{b}) où la somme porte sur les \underline{b} ∈ ℕ^{r} tels que ∑_{i=1}^{r} a_{i}b_{i} ≥ k .

Lemme 5.2 : Avec ces notations, on a la minoration suivante :

∑_{k≥1} dim V_{k} ≥ ∑_{i=1}^{r} a_{i} ∑_{\underline{b}∈Δ}[h^{0}(X; L\underline{b}) − h^{0}(X; C\underline{b})]b_{i} .

Démonstration : Soit k un entier tel que 1 ≤ k ≤ ∑_{i=1}^{r} a_{i}m. Notons D_{k} l’ensemble des \underline{b} ∈ Δ

tels que ∑_{i=1}^{r} a_{i}b_{i} ≥ k. L’espace vectoriel V_{k} contient alors le sous-espace V′_{k} = ∑_{\underline{b}∈D_{k}} Γ(X; L\underline{b}).

Soit \underline{b} ∈ D_{k} − \{\underline{m}\}. Le lemme 5.1 fournit l’inclusion de O_{X}-modules L\underline{b} ∩ ∑_{\underline{c}>\underline{b}} L\underline{c} ⊂ C\underline{b},

puisque les diviseurs D_{1}; ⋯; D_{r} se coupent proprement. On a en particulier l’inclusion d’espaces vectoriels

Γ(X; L\underline{b}) ∩ ∑_{\underline{c}>\underline{b}} Γ(X; L\underline{c}) ⊂ Γ(X; C\underline{b}) .

En utilisant #D_{k} − 1 fois la formule dim(W_{1} + W_{2}) = dim W_{1} + dim W_{2} − dim W_{1} ∩ W_{2}, on trouve l’inégalité

dim V′_{k} ≥ h^{0}(X; L\underline{m}) + ∑_{\underline{b}∈D_{k}−\{\underline{m}\}}[h^{0}(X; L\underline{b}) − h^{0}(X; C\underline{b})] .

On obtient le résultat en sommant sur k cette inégalité. □

Proposition 5.3 : On suppose de plus que L\underline{b} est acyclique pour tout \underline{b} ∈ Δ. On a alors

∑_{k≥1} dim V_{k} ≥ ∑_{i=1}^{r} a_{i} ∑_{k=1}^{m} h^{0}(X; L − kD_{i}) .

On a en particulier ν(L; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ \frac{1}{q} inf_{i} ∑_{k=1}^{m} h^{0}(X; L − kD_{i}).

Démonstration : Soit \underline{b} ∈ Δ − \{\underline{m}\}. Pour toute partie I de J\underline{b}, posons ici

L_{\underline{b};I} = O_{X}(L − ∑_{j∈J\underline{b}} D_{j} − ∑_{i=1}^{r} b_{i}D_{i}) .

On pose aussi p = #J\underline{b} et E\underline{b} = ⨁_{j∈J\underline{b}} L_{\underline{b};\{j\}}.

Les diviseurs (D_{j})_{j∈J\underline{b}} se coupent proprement, donc on a la suite exacte de Koszul suivante (cf [9] p. 431) :

0 → Λ^{p}E\underline{b} → ⋯ → Λ^{1}E\underline{b} → C\underline{b} → 0 .

On remarque que Λ^{j}E\underline{b} = ⨁_{#I=j} L_{\underline{b};I} (qui est en particulier acyclique) pour tout j ∈

{1; ⋯; p}. La suite de Koszul précédente induit donc par acyclicité une suite exacte en image directe :

0 → Γ(X; Λ^{p}E\underline{b}) → ⋯ → Γ(X; Λ^{1}E\underline{b}) → Γ(X; C\underline{b}) → 0 .

On en déduit la relation

h^{0}(X; L\underline{b}) − h^{0}(X; C\underline{b}) = ∑_{I⊂J\underline{b}}(−1)^{#I}h^{0}(X; L_{\underline{b};I}) .

Maintenant, on fixe i ∈ {1; ⋯; r} et c ∈ {0; ⋯; m}, et on somme sur l’ensemble Δ′_{c} des \underline{b} ∈ Δ tels que b_{i} = c. Un réarrangement des termes permet de simplifier et montre que :

∑_{\underline{b}∈Δ′_{c}} ∑_{I⊂J\underline{b}}(−1)^{#I}h^{0}(X; L_{\underline{b};I}) = \begin{cases}h^{0}(X; L − cD_{i}) − h^{0}(X; L − (c + 1)D_{i}) & si c < m; \\ h^{0}(X; L − mD_{i}) & si c = m. \end{cases}

(En effet, si p′ = #\{j ≠ i | b_{j} ≥ 1\} ≥ 1, alors le terme h^{0}(X; L\underline{b}) apparaît 2^{p′−1} fois avec le signe plus et 2^{p′−1} fois avec le signe moins ; de même avec le terme h^{0}(X; L_{\underline{b};\{i\}}) dans le cas c < m).

On en déduit l’égalité

\begin{aligned}∑_{\underline{b}∈Δ}[h^{0}(L\underline{b}) − h^{0}(C\underline{b})]b_{i} & = & h^{0}(L − mD_{i})m + ∑_{c=0}^{m−1}[h^{0}(L − cD_{i}) − h^{0}(L − (c + 1)D_{i})]c \\ & = & ∑_{k=1}^{m} h^{0}(X; L − kD_{i}) . \end{aligned}

On conclut en appliquant le lemme 5.2. □

5.2 Démonstration du théorème 2.2

Soient K un corps de caractéristique nulle et X une variété projective sur K de dimension d ≥ 1. Soient D_{1}; ⋯; D_{r} des diviseurs effectifs non nuls sur X qui se coupent proprement (avec r ≥ 1). Notons P l’ensemble des parties I non vides de {1; ⋯; r} telles que ⋂_{i∈I} D_{i} soit non vide.

Théorème 5.4 : Soit L un diviseur ample sur X. On suppose que D_{i} est nef pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. Soit θ > 1 un réel tel que le ℝ-diviseur L − θ ∑_{i∈I} D_{i} soit nef pour tout I ∈ P.

On a alors l’inégalité

lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}ν(nL; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ \frac{θ}{(d + 1)⟨L^{d}⟩} inf_{i} ∑_{j=0}^{d}⟨L^{d−j}(L − θD_{i})^{j}⟩ .

Démonstration : D’après le théorème d’annulation de Fujita (cf théorème 1.4.35 de [12] p. 66), il existe n_{0} ≥ 1 tel que n_{0}L + N soit acyclique pour tout N ∈ Pic(X) nef.

On pose n′ = ⌊(n − n_{0})θ⌋ pour tout n > n_{0}. En appliquant la proposition 5.3 (avec m = n′), on obtient (pour tout n > n_{0})

ν(nL; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ \frac{1}{h^{0}(X; nL)} inf_{i} ∑_{k=1}^{n′} h^{0}(X; nL − kD_{i}) .

Soit i ∈ {1; ⋯; r}. Grâce à la formule de Hirzebruch-Riemann-Roch, on a les estimations suivantes :

∑_{k=1}^{n′} h^{0}(X; nL − kD_{i}) = \frac{1}{d!} ∑_{k=1}^{n′}[⟨(nL − kD_{i})^{d}⟩ + O(n^{d−1})]

= \frac{1}{d!} ∑_{j=0}^{d} ∑_{k=1}^{n′} C_{d}^{j}⟨L^{d−j}D_{i}^{j}⟩n^{d−j}(−k)^{j} + O(n^{d})

= \frac{1}{d!} ∑_{j=0}^{d} C_{d}^{j}⟨L^{d−j}D_{i}^{j}⟩\frac{(−1)^{j}}{j + 1} θ^{j+1}n^{d+1} + O(n^{d}) .

Or un calcul montre la formule

∑_{j=0}^{d} C_{d}^{j}⟨L^{d−j}D_{i}^{j}⟩\frac{(−1)^{j}}{j + 1} θ^{j+1} = \frac{θ}{d + 1} ∑_{j=0}^{d}⟨L^{d−j}(L − θD_{i})^{j}⟩ .

D’où l’inégalité de l’énoncé. □

Corollaire 5.5 : Soit L un diviseur ample sur X. On suppose que D_{i} est nef pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. Soit θ > 1 un réel tel que le ℝ-diviseur L−dθD_{i} soit nef pour tout i ∈ {1; ⋯; r}. On a alors

lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}ν(nL; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ λ_{d}θ .

Démonstration : Pour tout I ∈ P, le ℝ-diviseur L − θ ∑_{i∈I} D_{i} est nef puisque #I ≤ d. Soit

i ∈ \{1; ⋯; r\}. Les ℝ-diviseurs L − θD_{i} − (1 − \frac{1}{d})L et L sont nefs, donc on a

⟨L^{d−j}(L − θD_{i})^{j}⟩ ≥ (1 − \frac{1}{d})^{j}⟨L^{d}⟩ pour tout j ∈ \{1; ⋯; d\} .

En appliquant le théorème 5.4, on trouve ainsi

lim inf_{n→+∞} \frac{1}{n}ν(nL; D_{1}; ⋯; D_{r}) ≥ \frac{θ}{d + 1} ∑_{j=0}^{d}(1 − \frac{1}{d})^{j} = λ_{d}θ .

D’où le résultat. □

Références

[1] F. Angelini : An algebraic version of Demailly’s asymptotic Morse inequalities. Proceedings of the AMS 124 (1996), 3265-3269.

[2] P. Autissier : Géométrie des surfaces algébriques et points entiers. Prépublication de l’IRMAR (2006) ; math.NT/0606184.

[3] Y. Bilu : The many faces of the subspace theorem (after Adamczewski, Bugeaud, Corvaja, Zannier...). Séminaire Bourbaki 967 (2006).

[4] P. Corvaja, U. Zannier : On a general Thue’s equation. American Journal of Math. 126 (2004), 1033-1055.

[5] P. Corvaja, U. Zannier : On integral points on surfaces. Annals of Math. 160 (2004), 705-726.

[6] J.P. Demailly : L^{2} vanishing theorems for positive line bundles and adjunction theory. Lecture Notes in Math. 1646 (1996), 1-97.

[7] G. Faltings : Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Math. 73 (1983), p. 349-366.

[8] G. Faltings : Diophantine approximation on abelian varieties. Annals of Math. 133 (1991), 549-576.

[9] W. Fulton : Intersection theory (second edition). Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 2 (1998).

[10] J.P. Jouanolou : Théorèmes de Bertini et applications. Progress in Math. 42 (1983).

[11] S. Lang : Number theory III. Encyclopaedia of Math. Sciences 60 (1991).

[12] R. Lazarsfeld : Positivity in algebraic geometry I. Ergebnisse der Math. und ihrer Grenzgebiete 48 (2004).

[13] A. Levin : Generalizations of Siegel’s and Picard’s theorems. Annals of Math. (2007), à paraître ; math.NT/0503699.

[14] H.P. Schlickewei : The p-adic Thue-Siegel-Roth-Schmidt theorem. Archiv der Math. 29 (1977), 267-270.

[15] W.M. Schmidt : Diophantine approximation. Lecture Notes in Math. 785 (1980).

[16] J.P. Serre : Lectures on the Mordell-Weil theorem (third edition). Aspects of Math. 15 (1997).

[17] P. Vojta : Diophantine approximations and value distribution theory. Lecture Notes in Math. 1239 (1987).

[18] P. Vojta : A refinement of Schmidt’s subspace theorem. American Journal of Math. 111 (1989), 489-518.

[19] P. Vojta : Integral points on subvarieties of semiabelian varieties I. Inventiones Math. 126 (1996), 133-181.

[20] P. Vojta : On Cartan’s theorem and Cartan’s conjecture. American Journal of Math. 119 (1997), 1-17.

[21] S. Zhang : Small points and adelic metrics. Journal of Algebraic Geometry 4 (1995), 281-300.

Pascal Autissier. I.R.M.A.R., Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.

pascal.autissier@univ-rennes1.fr