Sur une question d’équirépartition de nombres algébriques

Pascal Autissier

13 février 2006

Résumé : On donne un contre-exemple élémentaire à une conjecture de Pineiro, Szpiro et Tucker concernant l’équidistribution de nombres algébriques de petite hauteur.

English title : About a question of equidistribution of algebraic numbers.

Abstract : We give an elementary counter-example for a conjecture of Pineiro, Szpiro and Tucker about the uniform distribution of algebraic numbers with small height.

1 Introduction

On désigne ici par P l’ensemble des éléments irréductibles non constants de ℤ[X] et par λ la mesure de Haar (de masse 1) sur le cercle unité.

Soit P ∈ P de degré d, de racines complexes α_{1}; ⋯; α_{d} (avec multiplicité), et de coefficient dominant c. On note ĥ(P) la hauteur de Mahler-Weil de P, i.e.

ĥ(P) = \frac{1}{d}[log |c| + ∑_{i=1}^{d} log max(1; |α_{i}|)] .

On pose aussi δ_{P} = \frac{1}{d} ∑_{i=1}^{d} δ_{α_{i}}, où δ_{z} désigne la masse de Dirac au point z de

ℂ. La mesure δ_{P} est donc de probabilité sur M = ℙ^{1}(ℂ).

Bilu [1] a démontré le théorème d’équidistribution suivant :

Théorème 0 : Soit (P_{n})_{n≥1} une suite d’éléments de P distincts deux à deux telle que lim_{n→+∞} ĥ(P_{n}) = 0. Alors la suite de mesures (δ_{P_{n}})_{n≥1} converge faiblement vers λ, ce qui signifie que pour toute fonction continue f : M → ℝ, on a

lim_{n→+∞} ∫_{M} fδ_{P_{n}} = ∫_{M} fλ.

Pineiro, Szpiro et Tucker conjecturent dans [3] p. 241 que l’énoncé est encore valable lorsqu’il existe a ∈ ℚ tel que f soit la fonction f : z ↦ − log |z − a|. On donne ici un contre-exemple élémentaire à cette conjecture.

2 Le contre-exemple

Commençons par un lemme simple :

Lemme 1 : Soit P = X^{d} + a_{d−1}X^{d−1} ⋯ + a_{0} ∈ ℤ[X] de degré d ≥ 1. On suppose que p = |a_{0}| est premier et que p − 2 ≥ |a_{1}| + ⋯ + |a_{d−1}|. Alors P est

irréductible dans ℤ[X] et ĥ(P) vaut \frac{log p}{d}.

Démonstration : Observons d’abord que toutes les racines complexes de P sont de module >1 : en effet, si |z| ≤ 1, alors |P (z)| ≥ 1.

Supposons maintenant que P s’écrive P = Q_{1}Q_{2} avec Q_{1} et Q_{2} unitaires non constants à coefficients entiers. En notant b_{i} = |Q_{i}(0)|, on a p = b_{1}b_{2}.

Par ailleurs, toutes les racines complexes de Q_{i} sont de module >1 ; on a en particulier b_{1} > 1 et b_{2} > 1. D’où une contradiction.

Pour finir, la valeur de ĥ(P) s’obtient aisément en remarquant que le produit des racines complexes de P vaut (−1)^{d}a_{0}. □

Présentons maintenant le contre-exemple :

On pose P_{n} = (X^{n} − 1)(X − 2) + 3 pour tout entier n ≥ 1. D’après le lemme

1, P_{n} est irréductible pour tout n ≥ 1, et ĥ(P_{n}) = \frac{log 5}{n + 1} tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.

Posons aussi f_{1}(z) = − log min(1; |z − 2|), de sorte que f_{1} est une fonction de Green relativement à 2. On remarque que f_{1} est positive sur M et nulle sur

le cercle unité ; on a en particulier ∫_{M} f_{1}λ = 0.

On va montrer que ∫_{M} f_{1}δ_{P_{n}} ne tend pas vers 0 lorsque n tend vers +∞.

Plus précisément :

Proposition 2 : On a l’inégalité lim inf_{n→+∞} ∫_{M} f_{1}δ_{P_{n}} ≥ log 2.

Démonstration : Soit n ≥ 6 fixé. On a P_{n}(2) = 3 > 0 et P_{n}(2 − 2^{2−n}) = 3 + 2^{2−n} − 4(1 − 2^{1−n})^{n} < 0. On en déduit que P_{n} admet une racine réelle β_{n} telle que 2 − 2^{2−n} < β_{n} < 2.

On a alors les inégalités

∫_{M} f_{1}δ_{P_{n}} ≥ \frac{f_{1}(β_{n})}{n + 1} > \frac{n − 2}{n + 1} log 2 .

D’où le résultat. □

Remarque 3 : On peut en fait montrer que ∫_{M} f_{1}δ_{P_{n}} converge vers log 2

lorsque n tend vers +∞.

Pineiro, Szpiro et Tucker demandent dans [3] p. 241 ce qui se passe si on remplace f_{1} par f_{2} : z ↦ − log |z − 2|. On observe le même phénomène :

Proposition 4 : On a la relation lim_{n→+∞} ∫_{M} f_{2}δ_{P_{n}} = log 2 + ∫_{M} f_{2}λ.

Démonstration : D’une part, on a ∫_{M} f_{2}λ = − log 2. D’autre part, pour tout

n ≥ 1, on trouve

∫_{M} f_{2}δ_{P_{n}} = −\frac{log |P_{n}(2)|}{n + 1} = −\frac{log 3}{n + 1} .

On en déduit le résultat. □

Références

[1] Y. Bilu : Limit distribution of small points on algebraic tori. Duke Math. Journal 89 (1997), p. 465-476.

[2] A. Chambert-Loir : Mesures et équidistribution sur les espaces de Berkovich. Journal für die reine und angew. Math. à paraître (2005).

[3] J. Pineiro, L. Szpiro, T.J. Tucker : Mahler measure for dynamical systems on ℙ^{1} and intersection theory on a singular arithmetic surface. Progress in Math. 235 (2005), p. 219-250.

[4] R. Rumely : On Bilu’s equidistribution theorem. Contemporary Math. 237 (1999), p. 159-166.

[5] L. Szpiro, E. Ullmo, S. Zhang : Équirépartition des petits points. Inventiones Math. 127 (1997), p. 337-347.

Pascal Autissier. I.R.M.A.R., Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.

pascal.autissier@univ-rennes1.fr