Dynamique des correspondances algébriques et hauteurs

Pascal Autissier

17 mars 2004

Introduction

Lorsque X_{K} est une variété projective sur un corps de nombres K ⊂ \overline{ℚ}, la “complexité arithmétique” des points de X_{K}(\overline{ℚ}) se mesure à l’aide de hauteurs de Weil ĥ : X_{K}(\overline{ℚ}) → ℝ relatives à un faisceau inversible ample sur X_{K}.

Un moyen de construire de telles hauteurs est la théorie d’Arakelov [2], généralisée par Bost, Gillet, Soulé [5], et Zhang [22] : Elle permet, à partir d’un modèle X de X_{K} sur O_{K} et d’un faisceau inversible hermitien L̂ = (L; ∥ ∥) sur X (ie L est muni d’une métrique ∥ ∥ sur L_{ℂ}; cf §1.1 et 4.1 pour les définitions), de définir un homomorphisme hL̂ : Z_{1}^{hor}(X) → ℝ sur le groupe Z_{1}^{hor}(X) des 1-cycles horizontaux sur X.

La hauteur de Weil relative à L = L_{K} (supposé ample sur X_{K}) associée à hL̂ est alors la fonction h′ ; L̂ : X_{K}(\overline{ℚ}) → ℝ définie de la manière suivante :

Pour un point x ∈ X_{K}(\overline{ℚ}), soient P le point fermé image de x dans X_{K}, et C l’adhérence

de Zariski de P dans X; on pose h′ ; L̂(x) = \frac{hL̂(C)}{[k(P) : K]}.

Remarquons que h′ ; L̂ dépend entre autres du choix de la métrique ∥ ∥.

Lorsque l’on a des données supplémentaires sur X_{K}, Call, Silverman [8], et Zhang [22] ont montré comment obtenir une hauteur canonique (relative à L) sans choisir de métrique (ni même de modèle entier) :

Plus précisément, on suppose que l’on a un morphisme fini et surjectif f : X_{K} → X_{K} et un isomorphisme α : L^{⊗a} ⟶^{∼} f^{∗}L sur X_{K}, avec a > 1. Il existe alors une hauteur ĥ_{L} caractérisée par la propriété que ĥ_{L}(f(x)) = ĥ_{L}(x)a pour tout x ∈ X_{K}(\overline{ℚ}) (la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes est de ce type).

De plus, on peut l’obtenir à partir de n’importe quelle hauteur ĥ relative à L par un

procédé dynamique : pour tout x ∈ X_{K}(\overline{ℚ}), on a ĥ_{L}(x) = lim_{n→+∞} \frac{ĥ(f^{(n)}(x))}{a^{n}}.

Pour prouver ce résultat, Zhang construit une métrique ∥ ∥^{f} sur L_{ℂ} telle que, en posant L̂ = (L; ∥ ∥^{f}), l’isomorphisme α devienne une isométrie α : L̂^{⊗a} ⟶^{∼} f^{∗}L̂. Et la métrique ∥ ∥^{f} peut être obtenue à partir de n’importe quelle autre de façon dynamique :

Soit ∥ ∥_{0} une métrique quelconque sur L_{ℂ}. On construit par récurrence une suite (∥ ∥_{n}) de métriques sur L_{ℂ} en posant ∥ ∥_{n+1} = (α^{∗}f^{∗}∥ ∥_{n})^{1/a} pour tout n ≥ 0. Alors la suite (∥ ∥_{n}) converge uniformément sur X_{K}(ℂ) vers ∥ ∥^{f}.

On montre ici que l’existence de cette métrique persiste dans le cadre plus général des correspondances, ie en remplaçant f par une correspondance T de X_{K} de bi-degré (d_{1}; d_{2}), et l’hypothèse “a > 1” par “a > d_{1}” (cf proposition 2.1).

La motivation du présent travail est l’espoir d’obtenir de manière dynamique la hauteur de Faltings sur un schéma de modules de variétés abéliennes par itération d’une correspondance de Hecke.

Dans cette direction, on étudie la convergence des métriques d’un espace localement symétrique hermitien compact M = Γ\G(ℝ)/K_{∞} par itération d’une correspondance modulaire T_{g} (g ∈ G(ℚ)). En notant (d; d) le bi-degré de T_{g} et W le faisceau canonique de M, on a un isomorphisme naturel α_{g} : W^{⊗d} ⟶^{∼} T_{g}^{∗}W; ie on est dans la “situation critique a = d”. Cela amène donc à étudier cette situation critique en toute généralité (c’est l’objet du paragraphe 3.1). Il apparaît un invariant naturel, que l’on appelle la charge, qui est relié à l’action de la correspondance sur les métriques.

Sous une hypothèse “spectrale” (sur l’opérateur associé à la correspondance), on a, comme précédemment, un résultat de convergence des métriques vers une métrique particulière (cf proposition 3.2).

Dans le cas d’une correspondance modulaire T_{g} d’un espace localement symétrique hermitien compact M = Γ\G(ℝ)/K_{∞}, on dispose d’une métrique naturelle ∥ ∥ sur le faisceau canonique W. Soit ρ_{2;g} le rayon spectral de l’opérateur associé à T_{g} (cf paragraphe 3.2) ; on a ρ_{2;g} ≤ 1. Le résultat de convergence se traduit de la manière suivante :

Théorème (3.5) : La charge de T_{g} relativement à W est nulle. Supposons maintenant ρ_{2;g} < 1. Soit ∥ ∥_{0} une métrique C^{∞} sur W. On construit par récurrence la suite (∥ ∥_{n}) de métriques sur W en posant ∥ ∥_{n+1} = (α_{g}^{∗}T_{g}^{∗}∥ ∥_{n})^{1/d} pour tout n ≥ 0. Alors la suite (∥ ∥_{n}) converge uniformément sur M vers une métrique proportionnelle à ∥ ∥.

Notons que les travaux de Clozel, Oh, Ullmo [9] fournissent de nombreux g tels que ρ_{2;g} < 1 (cf aussi [11] pour l’utilisation de ce type de méthode dans un autre contexte).

En retournant aux hauteurs, on en déduit le résultat suivant : Soient X une variété arithmétique sur O_{K}, T une correspondance de X de bi-degré (d_{1}; d_{2}), et L un faisceau inversible sur X. On suppose que l’on a un isomorphisme α : L^{⊗d_{1}} ⟶^{∼} T^{∗}L. On se place de plus sous l’hypothèse spectrale. Soit h_{0} la charge de T_{ℂ} relativement à L_{ℂ}.

On part d’une métrique quelconque ∥ ∥ sur L_{ℂ}, et on pose L̂ = (L; ∥ ∥). Alors pour tout x ∈ X_{K}(\overline{ℚ}), en notant C_{x} l’adhérence de x dans X, la suite (\frac{1}{d_{1}^{n}} hL̂(T_{∗}^{(n)}C_{x})−h_{0}n[k(C_{x}) : K])

converge vers un réel h_{L}(C_{x}) (cf proposition 4.4) ; on pose h′_{L}(x) = \frac{h_{L}(C_{x})}{[k(C_{x}) : K]}.

Alors h′_{L} est une hauteur de Weil relative à L_{K}. Et on a la propriété que h_{L}(T_{∗}D) = h_{L}(D)d_{1} + deg(D_{K})h_{0}d_{1} pour tout D ∈ Z_{1}^{hor}(X). De plus, les fonctions h′_{L} obtenues quand on fait varier la métrique ∥ ∥ ne diffèrent entre elles que par des constantes (Notons que l’on obtient donc une famille h′_{L} + λ à un paramètre réel λ de hauteurs canoniques, alors que l’on n’en obtient qu’une dans le cas sous-critique “a > d_{1}”).

En appliquant ces méthodes à des modèles de courbes de Shimura, on montre une formule sur la hauteur (de Faltings) moyenne de surfaces abéliennes isogènes à une surface abélienne à multiplication quaternionique (cf proposition 4.5).

Je remercie vivement Emmanuel Ullmo pour le temps qu’il a consacré à me guider dans l’élaboration de ce papier.

1 Généralités

1.1 Préliminaires algébriques

Soit X un schéma noethérien. On note Z^{•}(X) le groupe des cycles (ie combinaisons ℤ-linéaires de fermés intègres) sur X.

Si Z est un sous-schéma fermé de X, on désigne par [Z] le cycle fondamental de Z : Soient (V_{i}) les composantes irréductibles de Z, η_{i} le point générique de V_{i}, et m_{i} la longueur du O_{Z;η_{i}}-module O_{Z;η_{i}} ; alors [Z] = ∑_{i} m_{i}V_{i} dans Z^{•}(X).

Soient X et Y deux schémas noethériens. Rappelons brièvement les opérations fonctorielles classiques sur les cycles (cf [13] p. 11, 18, 396) :

- Image directe : Soit f : X → Y un morphisme propre. Soit V un fermé intègre de X.

Posons W = f(V) (fermé intègre de Y), et m = \begin{cases}[k(V) : k(W)] & si k(V) est fini sur k(W); \\ 0 & sinon. \end{cases}

On pose alors f_{∗}V = mW. Par ℤ-linéarité, f_{∗} s’étend en un homomorphisme f_{∗} : Z^{•}(X) → Z^{•}(Y).

- Image inverse : Soit f : X → Y un morphisme plat. Soit V un fermé intègre de Y. Alors f^{−1}(V) = V ×_{Y} X est un sous-schéma fermé de X; on pose f^{∗}V = [f^{−1}(V)]. On étend f^{∗} par linéarité en un homomorphisme f^{∗} : Z^{•}(Y) → Z^{•}(X).

Soit maintenant f : X → Y un morphisme fini et plat de rang r ≥ 1 (ie le O_{Y} -module f_{∗}O_{X} est localement libre de rang r). Remarquons que pour tout D ∈ Z^{•}(Y), on a f_{∗}f^{∗}D = rD dans Z^{•}(Y) (cf [13] p. 20).

Soit L un faisceau inversible sur X. On note N_{f}(L) la norme (cf [14] § 6.5 et [19] p.

33) de L relativement à f : N_{f}(L) = Λ^{r}(f_{∗}L) ⊗ Λ^{r}(f_{∗}O_{X})^{∨}. La norme définit ainsi un homomorphisme N_{f} : Pic(X) → Pic(Y). On remarque en outre que pour tout L ∈ Pic(Y), on a N_{f}(f^{∗}L) = L^{⊗r} dans Pic(Y).

Si s est une section globale de L sur X, la multiplication par f_{∗}s est un morphisme O_{Y} -linéaire f_{∗}s : f_{∗}O_{X} → f_{∗}L; le morphisme de faisceaux inversibles Λ^{r}(f_{∗}s) : Λ^{r}(f_{∗}O_{X}) → Λ^{r}(f_{∗}L) est alors la multiplication par une section globale, que l’on note N_{f}(s), de N_{f}(L) sur Y.

Définition : Une correspondance de X vers Y de bi-degré (d_{1}; d_{2}) est un triplet (T; π_{1}; π_{2}) formé d’un schéma noethérien T et de morphismes finis et plats π_{1} : T → X et π_{2} : T → Y de rangs respectifs d_{1} et d_{2}.

On définit alors un homomorphisme T^{∗} : Pic(Y) → Pic(X) en posant T^{∗}L = N_{π_{1}}(π_{2}^{∗}L). De manière similaire, on définit un homomorphisme T_{∗} : Z^{•}(X) → Z^{•}(Y) par T_{∗}D = π_{2∗}(π_{1}^{∗}D).

La correspondance transposée de (T; π_{1}; π_{2}) est la correspondance (T; π_{2}; π_{1}) de Y vers X, de bi-degré (d_{2}; d_{1}).

Remarquons que tout morphisme f : X → Y fini et plat de rang r ≥ 1 fait de (X; Id_{X}; f) une correspondance de X vers Y de bi-degré (1; r).

1.2 Préliminaires analytiques

Dans ce papier, on appelle variété complexe tout schéma M normal et de type fini sur ℂ. On munit M(ℂ) de la topologie usuelle, et on désigne par C^{0}(M) l’espace des fonctions continues M(ℂ) → ℂ.

Définitions : Une métrique sur un faisceau inversible L sur M est une famille ∥ ∥ de normes hermitiennes sur L variant de manière continue sur M(ℂ). Un faisceau inversible hermitien sur M est un couple L̂ = (L; ∥ ∥) formé d’un faisceau inversible L sur M et d’une métrique ∥ ∥ sur L.

Les classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens sur M forment un groupe P̂ic(M) pour le produit tensoriel (d’élément neutre (O_{M}; | |)).

Notation : Si a est un entier ≥ 1 et ∥ ∥ une métrique sur L^{⊗a}, on note ∥ ∥^{1/a} l’unique métrique sur L telle que (L; ∥ ∥^{1/a})^{⊗a} = (L^{⊗a}; ∥ ∥).

Soit f : M → M′ un morphisme fini et plat de rang r ≥ 1 entre variétés complexes. Soit Q ∈ M′(ℂ). Pour P ∈ M(ℂ), soit ν(P; Q) ∈ ℤ le coefficient devant P dans f^{∗}Q, de sorte que f^{∗}Q = ∑_{P} ν(P; Q)P dans Z^{•}(M). On a de plus ∑_{P} ν(P; Q) = r.

Soit φ ∈ C^{0}(M). On désigne par Tr_{f}(φ) la fonction sur M′(ℂ) qui à Q associe le nombre ∑_{P} ν(P; Q)φ(P). Alors Tr_{f}(φ) est continue sur M′(ℂ) (car f est un “revêtement holomorphe

éventuellement ramifié”, et on peut appliquer la proposition 3.1 de [21] p. 34). Cette construction définit donc un opérateur ℂ-linéaire Tr_{f} : C^{0}(M) → C^{0}(M′).

Soit maintenant L̂ = (L; ∥ ∥) un faisceau inversible hermitien sur M. Il existe une unique métrique ∥ ∥′ sur N_{f}(L) vérifiant :

Pour tout ouvert U′ de M′ et toute trivialisation α : O_{U} ⟶^{∼} L_{|U} de L sur U = f^{−1}(U′), en notant α′ : O_{U′} ⟶^{∼} N_{f}(L)_{|U′} la trivialisation de N_{f}(L) sur U′ induite par α, on a ln ∥α′(1)∥′ = Tr_{f_{|U}} (ln ∥α(1)∥).

(En effet, soient α_{1} : O_{U_{1}} ⟶^{∼} L_{|U_{1}} et α_{2} : O_{U_{2}} ⟶^{∼} L_{|U_{2}} deux trivialisations de L sur U_{1} = f^{−1}(U′_{1}) et U_{2} = f^{−1}(U′_{2}) respectivement. Posons U_{0} = U_{1} ∩ U_{2}, f_{0} = f_{|U_{0}} et s_{i} = α_{i}(1)_{|U_{0}}. Notons s_{0} ∈ Γ(U_{0}; O_{U_{0}}^{∗}) le cocycle tel que s_{1} = s_{0}s_{2} ; il s’agit ici de vérifier la condition de recollement Tr_{f_{0}}(ln ∥s_{1}∥) = ln |N_{f_{0}}(s_{0})| + Tr_{f_{0}}(ln ∥s_{2}∥). Or on a Tr_{f_{0}}(ln ∥s_{1}∥) = Tr_{f_{0}}(ln |s_{0}|) + Tr_{f_{0}}(ln ∥s_{2}∥) = ln |N_{f_{0}}(s_{0})| + Tr_{f_{0}}(ln ∥s_{2}∥).)

On pose alors N̂_{f}(L̂) = (N_{f}(L); ∥ ∥′). On définit ainsi un homomorphisme N̂_{f} : P̂ic(M) → P̂ic(M′).

Enfin, soit (T; π_{1}; π_{2}) une correspondance de M vers M′ de bi-degré (d_{1}; d_{2}) avec T normal (donc variété complexe). On définit alors un homomorphisme T^{∗} : P̂ic(M′) → P̂ic(M) en posant T^{∗}L̂ = N̂_{π_{1}}(π_{2}^{∗}L̂). Si L̂ = (L; ∥ ∥), on note T^{∗}∥ ∥ la métrique de T^{∗}L̂, de sorte que T^{∗}L̂ = (T^{∗}L; T^{∗}∥ ∥).

Par ailleurs, on définit un opérateur linéaire T̃ : C^{0}(M′) → C^{0}(M) en posant T̃(φ) =

\frac{1}{d_{1}} Tr_{π_{1}}(φ ∘ π_{2}).

On utilisera souvent la formule suivante (que l’on prouve aisément à partir de la définition de T^{∗}) :

∀φ ∈ C^{0}(M′) T^{∗}(O_{M′}; e^{φ}| |) = (O_{M}; e^{d_{1}T̃(φ)}| |) . (‡)

2 Dynamique des correspondances

Soient M une variété complexe complète (ie propre sur ℂ), (T; π_{1}; π_{2}) une correspondance de M (vers M) de bi-degré (d_{1}; d_{2}) avec T normal, et L un faisceau inversible sur M. On suppose que l’on a un isomorphisme α : L^{⊗a} ⟶^{∼} T^{∗}L^{⊗b}, où a et b sont des entiers ≥ 1

tels que \frac{a}{b} > d_{1}.

On généralise à cette situation le théorème 2.2 de [22] p. 290 :

Soit ∥ ∥_{0} une métrique sur L. Posons L̂_{0} = (L; ∥ ∥_{0}). On construit par récurrence une suite (∥ ∥_{n})_{n≥0} de métriques sur L de la manière suivante :

On pose ∥ ∥_{n+1} = (α^{∗}T^{∗}∥ ∥_{n}^{⊗b})^{1/a}, de sorte que ∥ ∥_{n+1} est l’unique métrique sur L telle que, en posant L̂_{n+1} = (L; ∥ ∥_{n+1}), l’isomorphisme α devienne une isométrie α : L̂_{n+1}^{⊗a} ⟶^{∼} T^{∗}L̂_{n}^{⊗b}.

Proposition 2.1 : Il existe une unique métrique ∥ ∥^{T} sur L telle que, en posant L̂_{∞} = (L; ∥ ∥^{T}), l’isomorphisme α induise une isométrie α : L̂_{∞}^{⊗a} ⟶^{∼} T^{∗}L̂_{∞}^{⊗b} (on dit alors que ∥ ∥^{T} est T -invariante). Et la suite (∥ ∥_{n}) converge uniformément sur M(ℂ) vers ∥ ∥^{T} (la limite ne dépend donc pas de la métrique initiale ∥ ∥_{0}).

Démonstration : Comme M(ℂ) est compact, on peut munir l’espace C^{0}(M) de la norme L^{∞}, notée || ||_{∞}. On remarque que pour tout φ ∈ C^{0}(M), on a ||T̃(φ)||_{∞} ≤ ||φ||_{∞}.

Posons λ = \frac{bd_{1}}{a}, et ψ_{n} = ln \frac{∥ ∥_{n+1}}{∥ ∥_{n}} pour tout n ≥ 0 ; on a λ < 1, et ψ_{n} ∈ C^{0}(M) pour

tout n ≥ 0. Avec ces notations, on montre par récurrence que l’on a ψ_{n} = λ^{n}T̃^{(n)}(ψ_{0}) pour tout n ≥ 0, où T̃^{(n)} = T̃ ∘ ⋯ ∘ T̃ composé n fois :

En effet, on a ∥ ∥_{n+2} = (α^{∗}T^{∗}(e^{ψ_{n}}∥ ∥_{n})^{⊗b})^{1/a} = e^{λT̃(ψ_{n})}(α^{∗}T^{∗}∥ ∥_{n}^{⊗b})^{1/a} = e^{λT̃(ψ_{n})}∥ ∥_{n+1} à l’aide de la formule (‡), d’où ψ_{n+1} = λT̃(ψ_{n}).

On en déduit que

∀n ≥ 0 ln \frac{∥ ∥_{n}}{∥ ∥_{0}} = ∑_{k=0}^{n−1} λ^{k}T̃^{(k)}(ψ_{0}) .

Or le membre de droite converge uniformément sur M(ℂ), disons vers une fonction Φ ∈ C^{0}(M). On pose alors ∥ ∥^{T} = e^{Φ}∥ ∥_{0} ; la métrique ∥ ∥^{T} est bien la limite uniforme de la suite (∥ ∥_{n}).

Par ailleurs, on vérifie aisément que l’on a λT̃(Φ) = Φ − ψ_{0}, ce qui implique que ∥ ∥^{T} est T -invariante.

Il reste à prouver l’unicité : Soient ∥ ∥ et ∥ ∥′ deux métriques T -invariantes. Alors, en

posant ϕ = ln \frac{∥ ∥′}{∥ ∥}, on obtient la relation λT̃(ϕ) = ϕ. On en déduit que ||ϕ||_{∞} ≤ λ||ϕ||_{∞}. On

a donc ||ϕ||_{∞} = 0, d’où ϕ = 0, ce qui montre que ∥ ∥′ = ∥ ∥. □

Remarque : Dans le cas particulier où T = M et π_{1} = Id_{M}, on retrouve le résultat de Zhang [22] p. 290 (cf aussi le théorème 2.1 de [8] p. 171).

3 Situation critique

Dans les paragraphes qui suivent, on étudie la “situation critique \frac{a}{b} = d_{1}” (cette situation apparaît naturellement lorsque la correspondance est modulaire). On définit alors un invariant, que l’on appelle la charge, qui est relié à l’action de la correspondance sur les métriques. Sous certaines hypothèses, on a encore, comme au paragraphe précédent, un résultat de convergence uniforme des métriques.

3.1 Propriétés de la charge

Soient M une variété complexe complète, (T; π_{1}; π_{2}) une correspondance de M de bidegré (d; d_{2}) avec T normal, et L un faisceau inversible sur M. On suppose que l’on a un isomorphisme α : L^{⊗d} ⟶^{∼} T^{∗}L. Soit μ une mesure réelle finie sur M(ℂ) de masse 1 (ie μ(M(ℂ)) = 1), que l’on suppose T̃-invariante, ie :

∀φ ∈ C^{0}(M) ∫_{M(ℂ)} T̃(φ)dμ = ∫_{M(ℂ)} φdμ .

Soit ∥ ∥_{0} une métrique sur L. On pose ∥ ∥_{1} = (α^{∗}T^{∗}∥ ∥_{0})^{1/d}, de sorte que α induise une isométrie α : (L; ∥ ∥_{1})^{⊗d} ⟶^{∼} T^{∗}(L; ∥ ∥_{0}). Soient ψ = ln \frac{∥ ∥_{1}}{∥ ∥_{0}} , et h = − ∫_{M(ℂ)} ψdμ. Si la

fonction ψ est constante sur M(ℂ), alors la métrique ∥ ∥_{0} est dite quasi-invariante (relativement à T).

Proposition 3.1 : Le réel h ne dépend pas du choix de la métrique initiale ∥ ∥_{0}. Par ailleurs, si ∥ ∥_{0} est quasi-invariante, alors l’isomorphisme α induit une isométrie α :

(L; e^{−h}∥ ∥_{0})^{⊗d} ⟶^{∼} T^{∗}(L; ∥ ∥_{0}).

Démonstration : Soit ∥ ∥′_{0} une autre métrique sur L. Posons ∥ ∥′_{1} = (α^{∗}T^{∗}∥ ∥′_{0})^{1/d},

ψ′ = ln \frac{∥ ∥′_{1}}{∥ ∥′_{0}} , et h′ = − ∫_{M(ℂ)} ψ′dμ. Il s’agit de montrer que h′ = h. Or, en posant ϕ = ln \frac{∥ ∥′_{0}}{∥ ∥_{0}} ,

on obtient l’égalité ln \frac{∥ ∥′_{1}}{∥ ∥_{1}} = T̃(ϕ). On en déduit que ψ′ = ψ + T̃(ϕ) − ϕ. La T̃-invariance

de μ implique alors que h′ = h.

Si ∥ ∥_{0} est quasi-invariante, alors ψ vaut la constante −h, et on en déduit la deuxième partie de l’énoncé. □

Définition : Le réel h s’appelle la charge de T relativement à L.

Comme M(ℂ) est compact, on peut munir l’espace C^{0}(M) de la norme L^{∞}, ce qui en fait un espace de Banach. Soit H = {φ ∈ C^{0}(M)| ∫_{M(ℂ)} φdμ = 0}. H est un hyperplan fermé de

C^{0}(M). On note [] [] la norme d’opérateur sur End(H).

L’opérateur T̃ induit un endomorphisme T̃_{0} = T̃_{|H} de H. Soit ρ son rayon spectral : ρ = inf_{n≥1}[]T̃_{0}^{(n)}[]^{1/n} = lim_{n→+∞}[]T̃_{0}^{(n)}[]^{1/n}. On remarque que []T̃_{0}[] ≤ 1, donc on a ρ ≤ 1.

Dans le cas où ρ < 1, on a un analogue de la proposition 2.1 :

Soit ∥ ∥_{0} une métrique sur L. On construit par récurrence une suite (∥ ∥_{n})_{n≥0} de métriques sur L en posant ∥ ∥_{n+1} = e^{h}(α^{∗}T^{∗}∥ ∥_{n})^{1/d} pour tout n ≥ 0.

Proposition 3.2 : On suppose ρ < 1. Alors la suite (∥ ∥_{n}) converge uniformément sur M(ℂ) vers une métrique quasi-invariante. En outre, deux métriques (sur L) quasi-invariantes sont proportionnelles (ie leur quotient est constant sur M(ℂ)).

Démonstration : Posons ψ = ln \frac{∥ ∥_{1}}{∥ ∥_{0}} . On a ψ ∈ H par définition de h (cf proposition

3.1). Par ailleurs, on obtient par récurrence l’égalité \frac{∥ ∥_{n+1}}{∥ ∥_{n}} = T̃^{(n)}(ψ) pour tout n ≥ 0. On en déduit que

∀n ≥ 0 ln \frac{∥ ∥_{n}}{∥ ∥_{0}} = ∑_{k=0}^{n−1} T̃^{(k)}(ψ) .

L’hypothèse ρ < 1 assure que le membre de droite converge uniformément sur M(ℂ), vers une fonction Φ ∈ C^{0}(M). La métrique ∥ ∥ = e^{Φ}∥ ∥_{0} est alors la limite uniforme de la suite (∥ ∥_{n}). De plus, on a aisément la relation T̃(Φ) = Φ − ψ; ceci implique que la métrique ∥ ∥ est quasi-invariante.

Soient maintenant ∥ ∥ et ∥ ∥′ deux métriques quasi-invariantes. Posons ϕ = ln \frac{∥ ∥′}{∥ ∥} et c = ∫_{M(ℂ)} ϕdμ, de sorte que ϕ − c ∈ H. Avec ces notations, on trouve que T̃(ϕ) = ϕ. Donc

pour tout n ≥ 0, on a T̃_{0}^{(n)}(ϕ − c) = ϕ − c. L’hypothèse ρ < 1 permet alors d’en déduire que ϕ − c = 0. On en conclut que ∥ ∥′ = e^{c}∥ ∥. □

Remarque 3.3 : Les résultats de ce paragraphe s’appliquent en particulier à la situation suivante : Soient M une variété complexe complète et lisse purement de dimension r, (T; π_{1}; π_{2}) une correspondance de M de bi-degré (d; d_{2}) avec π_{1} et π_{2} étales, μ une mesure réelle finie sur M(ℂ) de masse 1 et T̃-invariante.

Soit L = Λ^{r}Ω_{M/ℂ} le faisceau canonique de M. On a alors des isomorphismes naturels π_{1}^{∗}L ⟶^{∼} Λ^{r}Ω_{T/ℂ} ⟵^{∼} π_{2}^{∗}L. On en déduit un isomorphisme naturel α : L^{⊗d} ⟶^{∼} T^{∗}L. Dans cette situation, la charge de T relativement à L est appelée la charge canonique de T.

3.2 Application aux correspondances modulaires

Soit G un ℚ-groupe algébrique affine connexe semi-simple et ℚ-anisotrope. Soit K_{∞} un sous-groupe compact maximal de G(ℝ). On suppose que l’espace symétrique X = G(ℝ)/K_{∞} est hermitien de dimension r ≥ 1. Soit Γ ⊂ G(ℚ) un sous-groupe arithmétique sans torsion. Soit M la variété de Baily-Borel (cf [4]) associée à Γ, ie M est la variété complexe irréductible lisse (de dimension r) telle que M(ℂ) = Γ\X. Comme G est ℚ-anisotrope, M est projective.

Notons q l’application holomorphe q : X → M(ℂ). Soient L = Λ^{r}Ω_{M/ℂ} le faisceau canonique, et μ la mesure de probabilité de Poincaré sur M(ℂ).

Soit ω la (1; 1)-forme sur M(ℂ) induite par la forme de Bergmann ω_{0} sur X (cf [15] § VIII.3) : ω_{0} est G(ℝ)-invariante (à gauche), et ω (définie par la relation ω_{0} = q^{∗}ω) est kählérienne et représente la classe de Chern de L (ce qui montre que L est ample). Il existe donc une métrique ∥ ∥ sur L dont la forme de courbure est ω (et toute autre telle métrique est proportionnelle à ∥ ∥).

Explicitement, il existe une constante λ > 0 telle que pour toute section rationnelle s de

L sur M, on ait ∥s∥^{2} = λ\frac{i^{r^{2}}s ∧ \overline{s}}{2^{r}μ}.

En particulier, on voit que le faisceau inversible (analytique) hermitien (Λ^{r}Ω_{X}; q^{∗}∥ ∥) est G(ℝ)-invariant.

Par ailleurs, il existe un unique entier κ ≥ 1 (le degré de L sur M) tel que l’on ait l’égalité de (r; r)-formes : ω^{∧r} = κμ sur M(ℂ).

Soient C ∈ Γ\G(ℚ)/Γ une double classe, et g ∈ C. On pose Γ_{g} = Γ ∩ g^{−1}Γg. Soit T_{g} la variété de Baily-Borel associée à Γ_{g}. Soient π_{1;g} et π_{2;g} les morphismes T_{g} → M induits respectivement par les applications

π_{1;g} : T_{g}(ℂ) → M(ℂ) et π_{2;g} : T_{g}(ℂ) → M(ℂ) .
τ mod Γ_{g} ↦ τ mod Γ  τ mod Γ_{g} ↦ gτ mod Γ

On pose d_{g} = #(Γ\C) = #(C/Γ), où # désigne le cardinal. Alors (T_{g}; π_{1;g}; π_{2;g}) est une correspondance de M de bi-degré (d_{g}; d_{g}), appelée la correspondance modulaire associée à g. Remarquons qu’en fait T_{g} ne dépend pas, à isomorphisme près, du choix du représentant g dans la double classe C.

D’autre part, π_{1;g} et π_{2;g} sont étales, et μ est T̃_{g}-invariante. On est donc dans la situation de la remarque 3.3 : on a un isomorphisme naturel α_{g} : L^{⊗d_{g}} ⟶^{∼} T_{g}^{∗}L.

Proposition 3.4 : Pour tout g ∈ G(ℚ), la métrique ∥ ∥ sur L est invariante relativement à T_{g}, ie α_{g} induit une isométrie α_{g} : (L; ∥ ∥)^{⊗d_{g}} ⟶^{∼} T_{g}^{∗}(L; ∥ ∥) ; en particulier, la charge canonique de T_{g} est nulle.

Démonstration : Posons ∥ ∥′ = α_{g}^{∗}T_{g}^{∗}∥ ∥ et ∥ ∥′′ = q^{∗}∥ ∥. On écrit Γ\C = {Γγ_{1}; ⋯; Γγ_{d_{g}}}.

On vérifie que pour tout φ ∈ C^{0}(M), on a T̃_{g}(φ) ∘ q = \frac{1}{d_{g}} ∑_{i=1}^{d_{g}} φ ∘ q ∘ γ_{i}.

Soient s une section rationnelle non nulle de L sur M, et s′ = α_{g}^{−1}N_{π_{1}}(π_{2}^{∗}s). On a alors ln ∥s′∥′ = d_{g}T̃_{g}(ln ∥s∥) par construction de T_{g}^{∗}∥ ∥ (cf paragraphe 1.2). On en déduit la relation

ln ∥s′∥′ ∘ q = ∑_{i=1}^{d_{g}} ln ∥q^{∗}s∥′′ ∘ γ_{i}.

Par ailleurs, on a q^{∗}s′ = γ_{1}^{∗}q^{∗}s ⊗ ⋯ ⊗ γ_{d_{g}}^{∗}q^{∗}s (égalité de sections rationnelles de q^{∗}L^{⊗d_{g}}

sur X). Ceci montre que ln ∥s′∥ ∘ q = ln ∥q^{∗}s′∥′′ = ∑_{i=1}^{d_{g}} ln ∥γ_{i}^{∗}q^{∗}s∥′′.

Or, par γ_{i}-invariance de (Λ^{r}Ω_{X}; ∥ ∥′′), on a ∥γ_{i}^{∗}q^{∗}s∥′′ = ∥q^{∗}s∥′′ ∘ γ_{i}. Cela permet de déduire de ce qui précède l’égalité ln ∥s′∥′ ∘ q = ln ∥s′∥ ∘ q; d’où finalement ∥ ∥′ = ∥ ∥. □

On fixe maintenant g ∈ G(ℚ), et on pose T = T_{g}. Reprenons les notations du paragraphe 3.1 : Soit H = {φ ∈ C^{0}(M)| ∫_{M(ℂ)} φdμ = 0}. H est muni de la norme L^{∞}. On note [] [] la

norme d’opérateur sur End(H).

L’opérateur T̃ induit un endomorphisme T̃_{0} = T̃_{|H} de H. Notons ρ_{g} son rayon spectral.

On pose L^{2}(M) = L^{2}(M(ℂ); μ), que l’on munit de la norme L^{2} relativement à la mesure μ, norme notée || ||_{2}.

On remarque que pour tout φ ∈ C^{0}(M) et tout x ∈ M(ℂ), on a l’inégalité |T̃(φ)(x)|^{2} ≤ T̃(|φ|^{2})(x). Ceci implique que pour tout φ ∈ C^{0}(M), on a ||T̃(φ)||_{2} ≤ ||φ||_{2}. On en déduit que T̃ se prolonge à L^{2}(M) ; et en notant [] []_{2} la norme d’opérateur sur End(L^{2}(M)), on a []T̃[]_{2} ≤ 1. On pose H_{2} = {φ ∈ L^{2}(M)| ∫_{M(ℂ)} φdμ = 0}. L’opérateur T̃ induit un endomor-

phisme T̃_{|H_{2}} de H_{2}. On note ρ_{2;g} son rayon spectral ; on a ρ_{2;g} ≤ 1.

Soit maintenant ∥ ∥_{0} une métrique C^{∞} sur L. On construit par récurrence la suite (∥ ∥_{n})_{n≥0} de métriques sur L en posant ∥ ∥_{n+1} = (α_{g}^{∗}T^{∗}∥ ∥_{n})^{1/d_{g}} pour tout n ≥ 0.

Théorème 3.5 : On suppose ρ_{2;g} < 1. Alors la suite (∥ ∥_{n}) converge uniformément sur M(ℂ) vers une métrique proportionnelle à ∥ ∥.

Démonstration : Posons ψ = ln \frac{∥ ∥_{1}}{∥ ∥_{0}} . La fonction ψ est C^{∞} sur M(ℂ) et est dans H. La proposition 8.2 de [10] montre alors qu’il existe une constante R_{ψ} ≥ 0 telle que pour tout n ≥ 1, on ait ||T̃^{(n)}(ψ)||_{∞} ≤ R_{ψ}[]T̃_{0}^{(n)}[]_{2}. L’hypothèse ρ_{2;g} < 1 permet d’en déduire que

la suite (∑_{k=0}^{n−1} T̃^{(k)}(ψ)) converge uniformément sur M(ℂ). On conclut alors comme dans la

démonstration de la proposition 3.2. □

Remarque : On peut calculer la constante de proportionnalité : Posons ϕ = ln \frac{∥ ∥_{0}}{∥ ∥} et

c = ∫_{M(ℂ)} ϕdμ. Alors la suite (∥ ∥_{n}) converge uniformément vers e^{c}∥ ∥.

Remarque : Lorsque G est presque simple et simplement connexe, les résultats de Clozel, Oh, Ullmo [9] fournissent de nombreux g tels que ρ_{2;g} < 1.

3.3 Exemple ℚ-isotrope

Soit X(1) le schéma de modules grossier des courbes elliptiques généralisées sur une ℂ-base. C’est une courbe complexe isomorphe à ℙ_{ℂ}^{1}.

Soient ℍ le demi-plan supérieur, et \overline{ℍ} = ℍ ∪ ℚ ∪ \{∞\}. Le groupe Γ = SL_{2}(ℤ) opère sur \overline{ℍ} par action modulaire. On a alors X(1)(ℂ) = Γ\\overline{ℍ}.

La pointe ∞, vue comme diviseur effectif sur X(1), définit un faisceau inversible L = O_{X(1)}(∞) et une section globale 1_{L} de L (de diviseur ∞). Par ailleurs, soit μ = \frac{3idτ ∧ d\overline{τ}}{2π(Imτ)^{2}} la mesure de Poincaré sur X(1)(ℂ).

Pour un entier N ≥ 1, soit X_{0}(N) la compactification de Deligne-Rapoport du schéma de modules grossier des isogénies cycliques de rang N entre courbes elliptiques sur une ℂ-base (cf [12], [16]). C’est une courbe complexe.

Soit π_{1;N} - respectivement π_{2;N} - le morphisme X_{0}(N) → X(1) induit par le foncteur qui à une isogénie β : E → E′ associe E - respectivement E′ -.

Notons Γ_{0}(N) le sous-groupe de Γ défini par Γ_{0}(N) = \{γ = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ Γ | N divise c\}.

On a alors X_{0}(N)(ℂ) = Γ_{0}(N)\\overline{ℍ}. Les morphismes π_{1;N} et π_{2;N} induisent les applications holomorphes

π_{1;N} : X_{0}(N)(ℂ) → X(1)(ℂ) et π_{2;N} : X_{0}(N)(ℂ) → X(1)(ℂ) .
τ mod Γ_{0}(N) ↦ τ mod Γ  τ mod Γ_{0}(N) ↦ Nτ mod Γ

Soit N = ∏_{i} p_{i}^{r_{i}} la décomposition en facteurs premiers de N. On pose

e_{N} = N ∏_{i}(1 + \frac{1}{p_{i}} ) et λ_{N} = ∑_{i} \frac{p_{i}^{r_{i}} − 1}{p_{i}^{r_{i}−1}(p_{i}^{2} − 1)} ln p_{i} .

Alors T_{N} = (X_{0}(N); π_{1;N}; π_{2;N}) est une correspondance de X(1) de bi-degré (e_{N}; e_{N}). Et la mesure μ est T̃_{N}-invariante. Soit α_{N} l’isomorphisme α_{N} : L^{⊗e_{N}} ⟶^{∼} T_{N}^{∗}L tel que α_{N}(1_{L}^{⊗e_{N}}) = T_{N}^{∗}1_{L}.

Proposition 3.6 : Pour tout N ≥ 1, la charge de T_{N} relativement à L vaut h_{N} = 6 ln N − 12λ_{N}.

Démonstration : C’est une reformulation du résultat de [3]. □

Remarquons que l’on a l’estimation λ_{N} = ∑_{i} \frac{ln p_{i}}{p_{i}} + O(1) = O(ln ln N).

Notons par ailleurs que dans cette situation (avec N ≥ 2), on peut montrer que la suite (∥ ∥_{n}) de la proposition 3.2 converge uniformément sur tout compact de M(ℂ) ne rencontrant pas la pointe ∞, mais ne converge pas en ∞.

4 Applications arithmétiques

4.1 Rappels

Commençons par quelques rappels sur le degré des 0-cycles :

Soient K un corps, et X un schéma propre sur K. On pose B = Spec(K), et π : X → B le morphisme structural. On note Z_{0}(X) le groupe des 0-cycles (ie combinaisons ℤ-linéaires de points fermés) sur X.

Soit D = ∑_{i} m_{i}P_{i} ∈ Z_{0}(X). On pose deg(D) = m = ∑_{i} m_{i}[k(P_{i}) : K], ie m est l’en-

tier tel que π_{∗}D = mB dans Z_{0}(B) = ℤB. Ceci définit un homomorphisme deg : Z_{0}(X) → ℤ.

On continue ce paragraphe avec des rappels sur la hauteur des points entiers :

Définitions : Une variété arithmétique est un schéma X intègre, propre et plat sur ℤ, tel que X_{ℂ} soit normal.

Un faisceau inversible hermitien sur X est un couple L̂ = (L; ∥ ∥) formé d’un faisceau inversible L sur X et d’une métrique ∥ ∥ sur L_{ℂ} invariante par conjugaison complexe.

Les classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens sur X forment un groupe P̂ic_{Ar}(X).

Soit C une courbe arithmétique (ie variété arithmétique de dimension 1). C est alors affine : C = Spec(A) où A est un ordre d’un corps de nombres.

Soit L̂ = (L; ∥ ∥) ∈ P̂ic_{Ar}(C). Soient L = Γ(C; L) et s ∈ L − {0}. On pose

d̂eg(L̂) = ln #(L/As) − ∑_{P ∈C(ℂ)}ln ∥s∥(P) .

Ce réel ne dépend pas du choix de s ∈ L − {0}. On définit ainsi un homomorphisme d̂eg : P̂ic_{Ar}(C) → ℝ.

Maintenant, soient X une variété arithmétique et L̂ ∈ P̂ic_{Ar}(X). Remarquons qu’un fermé intègre de X est soit horizontal (ie plat et surjectif sur ℤ), soit vertical au-dessus d’un nombre premier.

Un point entier de X est un fermé (de X) intègre horizontal de dimension 1. On note Z_{1}^{hor}(X) le groupe des 1-cycles horizontaux (ie combinaisons linéaires de points entiers) sur X.

Soit C un point entier de X. On pose hL̂(C) = d̂eg(L̂_{|C}). On étend hL̂ par linéarité en un homomorphisme hL̂ : Z_{1}^{hor}(X) → ℝ. Le réel hL̂(D) est appelé la hauteur de D relativement à L̂.

Soient X et Y deux variétés arithmétiques. Soit f : X → Y un morphisme (automatiquement propre). On dispose alors d’une formule de projection (cf proposition IV.3.1 de [17] p. 82) : pour tout L̂ ∈ P̂ic_{Ar}(Y) et tout D ∈ Z_{1}^{hor}(X), on a hL̂(f_{∗}D) = h_{f^{∗}L̂}(D). Montrons que cette formule se généralise aux correspondances :

Lemme 4.1 : Si f : X → Y est fini et plat de rang r ≥ 1, alors on a hL̂(f^{∗}D) = h_{N̂_{f} (L̂)}(D) pour tout L̂ ∈ P̂ic_{Ar}(X) et tout D ∈ Z_{1}^{hor}(Y).

Si (T; π_{1}; π_{2}) est une correspondance de X vers Y de bi-degré (d_{1}; d_{2}) avec T variété arithmétique, alors on a hL̂(T_{∗}D) = h_{T^{∗}L̂}(D) pour tout L̂ ∈ P̂ic_{Ar}(Y) et tout D ∈ Z_{1}^{hor}(X).

Démonstration : Par linéarité, il suffit de considérer le cas où D est un point entier. Alors D = Spec(A) avec A un ordre d’un corps de nombres. Le schéma D′ = f^{−1}(D) est affine : D′ = Spec(A′) avec A′ fini et plat de rang r sur A. Soient (P_{i}) les idéaux premiers minimaux de A′. Posons C_{i} = Spec(A′/P_{i}) et m_{i} la longueur du A′_{P_{i}}-module A′_{P_{i}} ; on a alors f^{∗}D = ∑_{i} m_{i}C_{i} dans Z_{1}^{hor}(X) (cf paragraphe 1.1).

On note ∥ ∥_{1} la métrique de N̂_{f}(L̂). Par ailleurs, soient L′ = Γ(D′; L_{|D′}) et L = Γ(D; N_{f}(L)_{|D}) = Λ^{r}L′ ⊗_{A} Λ^{r}A^{′∨}.

Soit s′ ∈ L′ tel que pour tout i, s′ ne s’annule pas modulo P_{i} (ie la multiplication par s′ : A′ → L′ est injective). On pose s = Λ^{r}s′, et s_{i} l’image de s′ dans L′/P_{i}L′. Il s’agit alors de comparer

hL̂(f^{∗}D) = ∑_{i} m_{i} ln #(L′/(P_{i}L′ + A′s′)) − ∑_{i} ∑_{P ∈C_{i}(ℂ)}m_{i} ln ∥s_{i}∥(P)

et h_{N̂_{f} (L̂)}(D) = ln #(L/As) − ∑_{P ∈D(ℂ)}ln ∥s∥_{1}(P) .

Or on a ∑_{i} m_{i} ln #(L′/(P_{i}L′ + A′s′)) = ln #(L′/A′s′) par le lemme A.2.7 de [13] p. 410,

et ln #(L′/A′s′) = ln #(L/As) d’après le lemme A.2.6 de [13] p. 409.

D’autre part, on a aisément ∑_{i} ∑_{P ∈C_{i}(ℂ)}m_{i} ln ∥s_{i}∥(P) = ∑_{P ∈D(ℂ)}ln ∥s∥_{1}(P).

D’où la première partie de l’énoncé.

La deuxième partie du lemme s’en déduit facilement : On a hL̂(T_{∗}D) = h_{π_{2}^{∗}L̂}(π_{1}^{∗}D) = h_{T^{∗}L̂}(D). □

Remarque 4.2 : Soient K un corps de nombres, et O_{K} son anneau des entiers. Soit X une variété arithmétique régulière sur O_{K}. Posons B = Spec(O_{K}) et π : X → B le morphisme structural. Notons Z_{ver}^{1}(X) le groupe des diviseurs verticaux sur X.

Soient Z ∈ Z_{ver}^{1}(X) et C un point entier de X. Le diviseur Z définit un faisceau inversible L = O_{X}(Z) et une section rationnelle 1_{L} de L (de diviseur Z). Le diviseur de la section rationnelle 1_{L|C} de L_{|C} s’écrit div(1_{L|C}) = ∑_{i} m_{i}P_{i} pour des points fermés P_{i} de C et des

m_{i} ∈ ℤ. On pose ⟨Z.C⟩_{fini} = ∑_{i} m_{i} ln #k(P_{i}). Ce réel est “l’intersection à distance finie” de

Z et de C; il est relié à la hauteur de la manière suivante :

Soient φ : X(ℂ) → ℝ une fonction continue invariante par conjugaison complexe, et L̂ = (L; e^{φ}| |). Alors on a la relation hL̂(C) = ⟨Z.C⟩_{fini} − ∑_{P ∈C(ℂ)}φ(P).

Par ailleurs, cette construction s’étend par linéarité en une forme bilinéaire ⟨ . ⟩_{fini} : Z_{ver}^{1}(X) × Z_{1}^{hor}(X) → ℝ. En outre, si D ∈ Z_{1}^{hor}(X) et b est un point fermé de B, alors on a ⟨π^{∗}b.D⟩_{fini} = deg(D_{K}) ln #k(b).

4.2 Formule de hauteur

Soient K un corps de nombres, B = Spec(O_{K}), et B′ = Spec(K). On peut voir B′(ℂ) comme l’ensemble des plongements K ↪ ℂ. Soit X une variété arithmétique régulière sur O_{K} telle que la fibre générique X_{K} soit géométriquement connexe sur K. On note π : X → B le morphisme structural. On remarque que X_{ℂ} = X ⊗_{ℤ} ℂ est l’union disjointe des X_{σ} = X_{K} ⊗_{σ} ℂ, σ parcourant B′(ℂ).

Soient (T; π_{1}; π_{2}) une correspondance de X de bi-degré (d; d_{2}) avec T variété arithmétique, et L̂ = (L; ∥ ∥) un faisceau inversible hermitien sur X. Pour chaque σ ∈ B′(ℂ), soit μ_{σ} une mesure réelle finie sur X_{σ}(ℂ) de masse 1 et T̃_{σ}-invariante. On note ∥ ∥_{σ} la métrique (sur L_{σ}) restriction à X_{σ}(ℂ) de la métrique ∥ ∥.

On suppose que l’on a un ouvert non vide U de B et un isomorphisme α : L_{|U′}^{⊗d} ⟶^{∼} (T^{∗}L)_{|U′} sur U′ = π^{−1}(U) (un tel ouvert U existe dès que l’on dispose d’un isomorphisme

α_{K} : L_{K}^{⊗d} ⟶^{∼} T_{K}^{∗}L_{K} sur X_{K}).

Soient F = B − U, et F_{1} l’ensemble (fini) des points fermés b de B tel que la fibre X_{b} = π^{−1}(b) ne soit pas intègre. On suppose que F et F_{1} sont disjoints (hypothèse de “mauvaises réductions disjointes”).

Enfin, pour chaque σ ∈ B′(ℂ), soit h_{σ} la charge de T_{σ} relativement à L_{σ}.

Proposition 4.3 : On suppose que pour tout σ ∈ B′(ℂ), la métrique ∥ ∥_{σ} est quasiinvariante relativement à T_{σ}. Il existe alors une (unique) constante réelle h_{0} telle que

∀D ∈ Z_{1}^{hor}(X) hL̂(T_{∗}D) = hL̂(D)d + deg(D_{K})h_{0}d .

Plus précisément, h_{0} est de la forme h_{0} = ∑_{σ∈B′(ℂ)}h_{σ} + \frac{1}{d} ∑_{b∈F} m_{b} ln #k(b) pour des entiers

(relatifs) m_{b}.

Démonstration : Il existe un unique diviseur Z_{0} sur X tel que α se prolonge en un isomorphisme α : L^{⊗d} ⊗ O_{X}(Z_{0}) ⟶^{∼} T^{∗}L. Le diviseur Z_{0} est vertical au dessus de F = {b_{1}; ⋯; b_{j}}.

Comme chaque X_{b_{i}} est intègre, Z_{0} est nécessairement de la forme Z_{0} = ∑_{i=1}^{j} m_{i}X_{b_{i}} pour des

entiers m_{i}.

Soit ϕ la fonction sur X(ℂ) égale sur chaque X_{σ}(ℂ) à la constante −h_{σ}. En posant M̂ = (O_{X}(Z_{0}); e^{ϕd}| |), on voit que α induit une isométrie α : L̂^{⊗d} ⊗ M̂ ⟶^{∼} T^{∗}L̂.

Il suffit alors d’appliquer le lemme 4.1 et la formule de la remarque 4.2 pour conclure : Soit D ∈ Z_{1}^{hor}(X) ; on a hL̂(T_{∗}D) = h_{T^{∗}L̂}(D) = hL̂(D)d+hM̂(D) = hL̂(D)d+deg(D_{K})h_{0}d. □

Soient maintenant ∥ ∥_{0} une autre métrique sur L_{ℂ} invariante par conjugaison complexe, et L̂′ = (L; ∥ ∥_{0}). Pour chaque σ ∈ B′(ℂ), soit ρ_{σ} le rayon spectral de T̃_{σ}_{0} (cf paragraphe 3.1).

Proposition 4.4 : Pour tout σ ∈ B′(ℂ), on suppose que la métrique ∥ ∥_{σ} est quasiinvariante relativement à T_{σ}, et que ρ_{σ} < 1. Posons ρ_{0} = max_{σ∈B′(ℂ)}ρ_{σ}. Il existe alors une

(unique) constante réelle c telle que pour tout ρ_{1} ∈]ρ_{0}; 1[ et tout point entier C de X, on ait

∀n ≥ 0 \frac{hL̂′(T_{∗}^{(n)}C)}{d^{n}[k(C) : K]} = \frac{hL̂(C)}{[k(C) : K]} + h_{0}n + c + O_{ρ_{1}}(ρ_{1}^{n}) ,

où le O_{ρ_{1}} ne dépend pas de C ni de n.

Démonstration : On reprend les notations de la démonstration précédente. On pose de plus ∥ ∥_{n+1} = e^{−ϕ}(α^{∗}T^{∗}∥ ∥_{n})^{1/d} pour tout n ≥ 0.

D’après la proposition 3.2, la suite (∥ ∥_{n}) converge uniformément sur chaque X_{σ}(ℂ) vers une métrique de la forme e^{−c_{σ}}∥ ∥ pour une constante c_{σ}. Plus précisément, en notant ψ la fonction sur X(ℂ) égale sur chaque X_{σ}(ℂ) à la constante −c_{σ}, on peut écrire ∥ ∥_{n} = e^{ψ+ψ_{n}}∥ ∥ avec ||ψ_{n}||_{∞} = O_{ρ_{1}}(ρ_{1}^{n}) (où le O_{ρ_{1}} ne dépend pas de n).

Par ailleurs, en posant c = ∑_{σ∈B′(ℂ)}c_{σ}, on a par récurrence (à l’aide du lemme 4.1) la

relation

\frac{1}{d^{n}} hL̂′(T_{∗}^{(n)}C) = hL̂(C) + (h_{0}n + c)[k(C) : K] − ∑_{P ∈C(ℂ)}ψ_{n}(P)

On en déduit le résultat. □

4.3 Hauteur moyenne de surfaces abéliennes isogènes

Soient Δ une ℚ-algèbre de quaternions indéfinie de discriminant réduit δ > 1, et O_{Δ} un ordre maximal de Δ (ils sont tous conjugués entre eux). Notons 𝔸_{f} = ∏_{p} ℤ_{p} l’anneau

des adèles finis entiers, et 𝔸_{δ;f} = ∏_{(p,δ)=1} ℤ_{p} (anneau d’adèles tronqués entiers). On fixe un

isomorphisme O_{Δ} ⊗_{ℤ} 𝔸_{δ;f} ≃ M_{2}(𝔸_{δ;f}). On note O_{Δ;f} = O_{Δ} ⊗_{ℤ} 𝔸_{f}.

Pour des rappels sur les surfaces abéliennes munies d’endomorphismes, on pourra consulter [7].

Définitions : Soient S un ℤ[\frac{1}{δ}]-schéma et p un nombre premier ne divisant pas δ. Une surface abélienne de type O_{Δ} sur S est un schéma abélien A de dimension relative 2 sur S muni d’une injection d’anneaux i_{A} : O_{Δ} ↪ End_{S}(A). Une isogénie de type O_{Δ} sur S de faux degré p est une S-isogénie β : A → A′ de rang p^{2} entre surfaces abéliennes de type O_{Δ} telle que ∀x ∈ O_{Δ} i_{A′}(x) ∘ β = β ∘ i_{A}(x).

Notation : Lorsque A est une variété abélienne sur \overline{ℚ}, on note ĥ(A) la hauteur de Faltings (stable) de A.

Soit p un nombre premier ne divisant pas δ. Soient A une surface abélienne de type O_{Δ} sur \overline{ℚ}, et β_{i} : A → A_{i} les p + 1 isogénies de type O_{Δ} de faux degré p. Le corollaire 2.1.4 de [20] p. 207 implique alors qu’il existe un rationnel m tel que |m| ≤ p + 1 et que

∑_{i=0}^{p} ĥ(A_{i}) = (p + 1)ĥ(A) + m ln p. On peut montrer que m est en fait un entier indépendant

de A (résultat suggéré par la proposition 4.3) :

Proposition 4.5 : Pour tout nombre premier p ne divisant pas δ, il existe un unique entier relatif m (ne dépendant que de Δ et p) tel que |m| ≤ p + 1 et vérifiant :

Pour toute surface abélienne A de type O_{Δ} sur \overline{ℚ}, en notant β_{i} : A → A_{i} les p + 1

isogénies de type O_{Δ} de faux degré p, on a ∑_{i=0}^{p} ĥ(A_{i}) = (p + 1)ĥ(A) + m ln p .

Références

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[5] J.B. Bost, H. Gillet, C. Soulé : Heights of projective varieties and positive Green forms. Journal of the AMS 7 (1994), p. 903-1027.

[6] J.F. Boutot, H. Carayol : Uniformisation p-adique des courbes de Shimura : les théorèmes de Cerednik et de Drinfeld. Astérisque 196-197 (1991), p. 45-158.

[7] K. Buzzard : Integral models of certain Shimura curves. Duke Math. Journal 87 (1997), p. 591-612.

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[9] L. Clozel, H. Oh, E. Ullmo : Hecke operators and equidistribution of Hecke points. Inventiones Math. 144 (2001), p. 327-351.

[10] L. Clozel, E. Ullmo : Équidistribution des points de Hecke. Contributions to automorphic forms, Geometry and Arithmetic. Johns Hopkins University Press. À paraître.

[11] L. Clozel, E. Ullmo : Correspondances modulaires et mesures invariantes. Journal für die reine und angew. Math. 558 (2003), p. 47-83.

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[14] A. Grothendieck, J. Dieudonné : Éléments de géométrie algébrique. II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Math. de l’IHES 8 (1961).

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Pascal Autissier : I.R.M.A.R., Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.

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