Points entiers sur les surfaces arithmétiques

Pascal Autissier

30 mai 2000

Introduction

En Géométrie Arithmétique, on étudie les solutions, dans l’anneau \overline{ℤ} des entiers algébriques, de systèmes d’équations du type:

∀i ∈ {1; …; r} F_{i}(X_{1}; …; X_{n}) = 0 (E)

où les (F_{i}) sont des polynômes à n variables et à coefficients dans \overline{ℤ}. Pour formaliser cette étude, on utilise le langage des schémas:

Pour i ∈ {1; …; r}, on pose G_{i}(X_{0}; …; X_{n}) le polynôme homogène associé à F_{i}. Soit K le corps de nombres engendré sur ℚ par les coefficients des (F_{i}), et O_{K} = K ∩ \overline{ℤ} l’anneau des entiers de K. On pose

X = P roj(O_{K}[X_{0}; …; X_{n}]/ < G_{1}; …; G_{r} >)

et Z le fermé de Zariski de X défini par X_{0} = 0. On appelle point entier sur X − Z tout fermé irréductible de X −Z qui est fini et surjectif sur Spec(O_{K}). L’ensemble des solutions de (E) dans \overline{ℤ}^{n} modulo l’action du groupe de Galois de \overline{ℚ} sur K est alors en bijection naturelle avec l’ensemble des points entiers sur X − Z.

On dispose alors du théorème de Rumely [18] (cf aussi Moret-Bailly [14], [15]), qui donne des conditions géométriques d’existence de tels points entiers.

On se restreint, dans ce papier, au cas où X est une surface arithmétique, et on donne une version effective de ce théorème. Pour ce faire, on utilise la théorie d’Arakelov [1], généralisée par Bost [5]. Celle-ci permet de définir la hauteur d’un point entier (relativement à un faisceau inversible hermitien). On peut alors démontrer le théorème de Rumely effectif:

Théorème (4.2.3): Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. Soit hL̂ une bonne hauteur sur X, U un ouvert de Zariski de X tel que l’application U → Spec(O_{K}) est surjective, et ϵ > 0. Alors U admet une infinité de points entiers E tel que h′ ; L̂(E) ≤ T_{X;L̂} + ϵ, où T_{X;L̂} est une constante effective ne dépendant que de X et L̂ (mais pas de U).

On s’intéresse ensuite à la situation ci-dessous:

Soit K un compact de ℂ. En théorie du potentiel, on associe à K sa capacité γ, qui est un réel positif. Ce nombre, défini de manière analytique, mesure d’une certaine manière la “taille arithmétique” de K. C’est ce qu’illustre le théorème de Fekete et Szegö:

Pour U ⊂ ℂ, notons ici Y (U) l’ensemble des α ∈ \overline{ℤ} tels que α et tous ses conjugués (par Galois) sont dans U.

Théorème 0: Soit K un compact de ℂ symétrique par rapport à l’axe réel, et γ sa capacité.

- Si γ < 1, il existe un ouvert U de ℂ contenant K tel que Y (U) est fini.

- Si γ ≥ 1, pour tout ouvert U de ℂ contenant K, Y (U) est infini.

La théorie du potentiel se généralise en fait aux surfaces de Riemann compactes. Ceci permet d’étendre la situation précédente de la manière suivante:

Soit X une surface arithmétique régulière, avec X_{K} de genre ≥ 1. Soit Z un fermé de Zariski de X purement de dimension 1, et K un compact à bord régulier de X(ℂ) invariant par conjugaison complexe. On suppose Z(ℂ) et K disjoints, et tous deux non vides. On construit une matrice d’intersection A à l’aide des potentiels conducteurs de K par rapport à Z_{ℂ}; c’est l’analogue de − ln γ dans le théorème 0. A est symétrique réelle. On montre le théorème suivant:

Théorème (4.6.1): On suppose det(−A) > 0. Soit U un ouvert de X(ℂ) contenant K. Alors X − Z admet un point entier E tel que E(ℂ) ⊂ U, et on peut contôler la hauteur de E explicitement en fonction de A.

Enfin, dans le cas critique det(A) = 0, on montre une généralisation du théorème d’équidistribution de Bilu [4], [20] (proposition 4.7.1).

Remarque: L’hypothèse “X_{K} de genre ≥ 1” est en fait superflue dans les théorèmes précédents. En effet, lorsque X_{K} est de genre 0, on peut, malgré l’absence de forme volume canonique sur X(ℂ), construire la théorie de l’intersection sur X (cf remarque 2.1.3), et les démonstrations s’adaptent. De même, on ne peut plus définir canoniquement les capacités, mais on peut toujours construire les fonctions potentiel conducteur (cf paragraphe 4.3), ce qui suffit pour la suite, et les démonstrations s’adaptent aussi.

Voici maintenant le plan de ce texte:

Après un chapitre de préliminaires, on rappelle la construction et les propriétés de la théorie de l’intersection dans les surfaces arithmétiques.

On démontre ensuite un théorème d’amplitude arithmétique de faisceaux inversibles hermitiens (théorème 3.3.4); il généralise le théorème de Zhang [24] (cf aussi [22], [23]) à des structures hermitiennes non nécessairement C^{∞}. Le passage du cas C^{∞} au cas général repose sur un procédé d’approximation de fonctions de Green qui utilise l’équation de la chaleur. Ce procédé a l’avantage de préserver les propriétés de positivité (proposition 3.2.3). On a également besoin d’un théorème de Hilbert-Samuel arithmétique (proposition 3.3.3).

Au paragraphe 4.1, on décrit quelques applications de ces théorèmes au points entiers. On donne aussi un théorème d’équidistribution (proposition 4.1.4).

Au paragraphe 4.2, on montre le théorème de Rumely effectif (théorème 4.2.3). L’idée de la démonstration, s’inspirant des travaux de Moret-Bailly ([15]) et Ullmo ([22], [23]), consiste à construire un faisceau inversible adapté au problème, puis une section globale d’une puissance de ce faisceau grâce au théorème d’amplitude précédent. Il suffit alors de regarder le diviseur de cette section.

Ensuite, après un rappel de théorie du potentiel et des capacités (paragraphe 4.3), on démontre le théorème 4.6.1, par une méthode inspirée des travaux de Rumely [19]. On établit au passage (paragraphe 4.4) le lien entre la théorie du potentiel et la théorie de l’intersection.

Enfin, on donne le théorème de Bilu généralisé (proposition 4.7.1). Remarquons que celuici est relié à la proposition 4.1.4.

Mes remerciements vont en premier lieu à Emmanuel Ullmo, qui m’a introduit au sujet en acceptant de diriger ma thèse. Ce papier s’inspire fortement de ses idées. Je remercie également Robert Rumely, avec qui j’ai pu discuter avec profit lors de séminaires à l’IHP.

1 Généralités; étude de la dimension 1

1.1 Généralités

Une variété arithmétique est un schéma X intègre, projectif et plat sur ℤ, tel que la fibre générique X_{ℚ} est régulière. Une courbe -respectivement surface- arithmétique est une variété arithmétique de dimension 1 -respectivement 2-.

Soit K un corps de nombres. On note G_{K} l’ensemble des plongements K ↪ ℂ. Une surface arithmétique sur O_{K} est un schéma X sur O_{K} tel que X est une surface arithmétique et X_{K} est géométriquement irréductible. Pour σ ∈ G_{K}, notons X_{σ} = X_{K} ⊗_{σ} ℂ. X_{σ}(ℂ) peut alors être vue comme une surface de Riemann compacte connexe. Remarquons que X_{ℂ} est l’union disjointe des X_{σ}.

1.2 Courbes arithmétiques

Soit C une courbe arithmétique. C est alors affine: C = Spec(A), avec A un ordre d’un corps de nombres K. On a alors G_{K} ≃ C(ℂ).

Définition: Un faisceau inversible hermitien L̂ = (L; ∥ ∥) sur C est la donnée d’un faisceau inversible L = L̃ (où L = Γ(C; L)) et d’une structure hermitienne ∥ ∥ sur L_{ℂ} (ie pour chaque σ ∈ G_{K} d’une norme hermitienne ∥ ∥_{σ} sur le ℂ-espace vectoriel (de dimension 1) L_{σ} = L_{K} ⊗_{σ} ℂ) invariante par conjugaison complexe.

Par l’identification G_{K} ≃ C(ℂ), tout σ ∈ G_{K} correspond à un P ∈ C(ℂ). Pour s ∈ L, on note ∥s(P)∥ = ∥s∥_{σ}.

Les classes d’isométries de faisceaux inversibles hermitiens sur C forment un groupe P̂ ic(C) pour le produit tensoriel.

Définition: Soit L̂ = (L̃; ∥ ∥) ∈ P̂ ic(C). Soit s une section globale non nulle de L. On pose

d̂eg(L̂) = ln #(L/As) − ∑_{σ∈C(ℂ)}ln ∥s∥_{σ}

(# désigne le cardinal). Ce nombre réel ne dépend pas du choix de s ∈ L − {0}; il est appelé le degré arithmétique de L̂.

On définit ainsi un morphisme d̂eg : P̂ ic(C) → ℝ.

1.3 Schémas de dimension 1

Soit K un corps de nombres, S_{K} l’ensemble de ses places à l’infini (ie G_{K} modulo conjugaison complexe). Pour σ ∈ S_{K}, on pose ϵ_{σ} égal à 1 si σ est réelle, à 2 sinon. On note ici

L(K) = ℝ^{S_{K}} et L′(K) = {(y_{σ})_{σ} ∈ L(K)| ∑_{σ∈S_{K}} y_{σ} = 0} .

D’après le théorème des unités de Dirichlet, l’image de O_{K}^{∗} (plus généralement du groupe des inversibles d’un ordre quelconque de K) par le morphisme logarithmique

\begin{aligned}ϕ_{K} : & K^{∗} & → & L(K) \\ & u & ↦ & (ϵ_{σ} ln |σ(u)|)_{σ} \end{aligned}

est un réseau dans L′(K). On aimerait une généralisation aux schémas (de dimension 1) de ce théorème. Dans tout ce paragraphe 1.3, Z désigne un schéma propre sur ℤ, de dimension 1. Z_{ℚ} est alors un schéma fini, et pour tout x ∈ Z_{ℚ}, le corps résiduel k(x) est un corps de nombres. On pose L(Z_{ℚ}) = ∏_{x∈Z_{ℚ}} L(k(x)). Du morphisme de schémas Z_{ℚ} → Z on déduit une

application logarithmique

\begin{aligned}Φ : & Γ(Z; O_{Z}^{∗}) & → & L(Z_{ℚ}) \\ & u & ↦ & (ϕ_{k(x)}(u(x)))_{x} \end{aligned}

Remarque 1.3.1: Chaque composante irréductible de Z est soit:

- un point au dessus d’un point fermé de B_{0} = Spec(ℤ);

- une courbe algébrique propre au dessus d’un point fermé de B_{0} (composante dite verticale);

- une courbe arithmétique (composante dite horizontale).

Proposition 1.3.2: L’image de Φ contient un produit ∏_{x∈Z_{ℚ}} Γ_{x}, où Γ_{x} est un réseau de

L′(k(x)).

Démonstration:

Réduction au cas Z réduit: Soit N le nilradical de O_{Z} (qui définit le sous-schéma fermé Z_{red} de Z). On a une suite exacte de faisceaux sur Z:

1 → 1 + N → O_{Z}^{∗} → (O_{Z}/N)^{∗} → 1

On en déduit une suite exacte en cohomologie:

Γ(Z; O_{Z}^{∗}) → Γ(Z_{red}; O_{Z_{red}}^{∗}) → H^{1}(Z; 1 + N)

Montrons que H^{1}(Z; 1 + N) est fini: Il existe une suite croissante d’idéaux de O_{Z}

0 = I_{0} ⊂ I_{1} ⊂ ⋯ ⊂ I_{n−1} ⊂ I_{n} = N

telle que pour tout 1 ≤ i ≤ n, on a I_{i}^{2} ⊂ I_{i−1} et I_{i}/I_{i−1} est de support contenu dans une composante irréductible Z_{i} de Z.

On a alors une suite exacte

\begin{aligned}1 → 1 + I_{i−1} → & 1 + I_{i} & → & I_{i}/I_{i−1} & → 0 \\ & 1 + a & ↦ & \overline{a} \end{aligned}

On en déduit la suite exacte

H^{1}(Z; 1 + I_{i−1}) → H^{1}(Z; 1 + I_{i}) → H^{1}(Z; I_{i}/I_{i−1})

Si Z_{i} est affine, on a H^{1}(Z; I_{i}/I_{i−1}) = 0. Sinon, Z_{i} est verticale et propre au dessus d’un premier p. Alors H^{1}(Z; I_{i}/I_{i−1}) est un 𝔽_{p}-espace vectoriel de dimension finie. Dans les deux cas, H^{1}(Z; I_{i}/I_{i−1}) est fini. Donc H^{1}(Z; 1 + I_{i−1}) fini implique H^{1}(Z; 1 + I_{i}) fini.

D’où, par récurrence, H^{1}(Z; 1 + N) est fini.

Donc Γ(Z; O_{Z}^{∗}) est d’indice fini dans Γ(Z_{red}; O_{Z_{red}}^{∗}). Et L(Z_{ℚ}) = L((Z_{red})_{ℚ}). On est donc ramené au cas où Z est réduit.

Réduction au cas Z intègre: Supposons donc Z réduit. Soient Z_{1}; …; Z_{r} les composantes irréductibles de Z, P_{i} l’idéal cohérent de O_{Z} définissant le sous-schéma fermé intègre Z_{i} de Z. On a une injection

0 → O_{Z} → A = ∏_{i=1}^{r} O_{Z}/P_{i}

Soit I le conducteur de A sur O_{Z}. l’injection O_{Z}/I ↪ A/I induit la suite exacte

1 → O_{Z}^{∗} → A^{∗} → G = (A/I)^{∗}/(O_{Z}/I)^{∗}

Le support de A/I est un ensemble fini de points fermés de Z, car il est contenu dans ⋃_{i<j}(Z_{i} ∩ Z_{j}). Donc Γ(Z; G) = Γ(Z; A/I)^{∗}/Γ(Z; O_{Z}/I)^{∗}, qui est fini puisque Γ(Z; A/I) l’est.

Donc Γ(Z; O_{Z}^{∗}) est d’indice fini dans Γ(Z; A^{∗}) = ∏_{i=1}^{r} Γ(Z; O_{Z}/P_{i})^{∗} = ∏_{i=1}^{r} Γ(Z_{i}; O_{Z_{i}}^{∗}). Et

L(Z_{ℚ}) = ∏_{i=1}^{r} L((Z_{i})_{ℚ}).

On est donc ramené au cas où Z est intègre.

Fin de la démonstration: On suppose donc Z intègre. Si Z n’est pas horizontal, on a L(Z_{ℚ}) = 0. On suppose donc Z horizontal: Z = Spec(A), où A est un ordre d’un corps de nombres K. Alors, d’après le théorème des unités, l’image de A^{∗} par ϕ_{K} est un réseau de L′(K). D’où le résultat.

Proposition 1.3.3: Soit Z un schéma propre sur ℤ, de dimension 1. Soit ∥ ∥ une structure hermitienne sur O_{Z_{ℂ}} invariante par conjugaison complexe. Pour chaque composante horizontale Z_{i} de Z, on pose Ô_{Z_{i}} = (O_{Z_{i}}; ∥ ∥_{|Z_{i}}). On note ∥ ∥_{n} la métrique produit sur O_{Z_{ℂ}}^{⊗n} ≃ O_{Z_{ℂ}}. On pose

a = min_{i} \frac{d̂eg(Ô_{Z_{i}})}{[k(Z_{i}) : ℚ]}  et  a′ = max_{i} \frac{d̂eg(Ô_{Z_{i}})}{[k(Z_{i}) : ℚ]} .

Alors il existe c ne dépendant que de Z_{ℚ} et de l’image du morphisme Φ (en particulier c ne dépend pas de ∥ ∥), tel que pour tout n ≥ 1, il existe u ∈ Γ(Z; O_{Z}^{∗}) tel que

∀P ∈ Z(ℂ) e^{−c−a′n} ≤ ∥u(P)∥_{n} ≤ e^{c−an}

Démonstration: Soit x_{i} le point générique de Z_{i}. Z_{ℚ} = {x_{1}; …; x_{q}}. On pose K_{i} = k(x_{i}) = k(Z_{i}), et S_{i} = S_{K_{i}}. Un x_{i} ∈ Z_{ℚ} et un plongement σ : K_{i} ↪ ℂ définissent un P ∈ Z(ℂ); on pose a_{i;σ} = ∥1(P)∥. Pour s ∈ Γ(Z; O_{Z}), on a ∥s(P)∥_{n} = |s(P)|.∥1(P)∥^{n} = |σ(s(x_{i}))|.a_{i;σ}^{n}.

Posons

m_{i} = \frac{1}{[K_{i} : ℚ]}d̂eg(Ô_{Z_{i}}) = \frac{−1}{[K_{i} : ℚ]} ∑_{σ∈S_{i}} ϵ_{σ} ln a_{i;σ}  et  b_{i;σ} = −ϵ_{σ}(m_{i} + ln a_{i;σ})

On a ∑_{σ∈S_{i}} b_{i;σ} = 0, et a ≤ m_{i} ≤ a′. On cherche en fait u ∈ Γ(Z; O_{Z}^{∗}) tel que pour tout

i et tout σ ∈ S_{i}, on a b_{i;σ}n − c ≤ ϵ_{σ} ln |σ(u(x_{i}))| ≤ b_{i;σ}n + c. Or, d’après la proposition

1.3.2, l’image de Γ(Z; O_{Z}^{∗}) par le morphisme logarithmique Φ contient un produit ∏_{i=1}^{q} Γ_{i}, où

Γ_{i} est un réseau de L′(K_{i}). Il suffit donc de trouver, pour chaque i, un (y_{σ})_{σ∈S_{i}} ∈ Γ_{i} tel que ∀σ ∈ S_{i} |y_{σ} − b_{i;σ}n| ≤ c. On est ramené au problème de réseaux suivant:

Lemme 1.3.4: Soient L′ = {(y_{1}; …; y_{s}) ∈ ℝ^{s}| ∑_{j=1}^{s} y_{j} = 0}, Γ un réseau de L′, et b_{j} des

réels vérifiant ∑_{j=1}^{s} b_{j} = 0. Alors il existe c ne dépendant que de Γ (et pas des b_{j}) tel que pour

tout n ≥ 1, il existe (y_{1}; …; y_{s}) ∈ Γ tel que ∀j |y_{j} − b_{j}n| ≤ c.

Preuve du lemme: Soit ∥ ∥_{∞} la norme sup canonique sur ℝ^{s}. Posons f = (b_{1}; …; b_{s}) ∈ L′. Soit {e_{1}; …; e_{s−1}}

une base de Γ. f s’écrit f = ∑_{j=1}^{s−1} λ_{j}e_{j}, avec les λ_{i} réels. Soit μ_{j} l’entier le plus proche de λ_{j}n.

Posons u_{n} = ∑_{j=1}^{s−1} μ_{j}e_{j} ∈ Γ. On a alors

∥u_{n} − nf∥_{∞} ≤ \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{s−1} ∥e_{j}∥_{∞} .

D’où le résultat avec c = \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{s−1} ∥e_{j}∥_{∞}, et (y_{1}; …; y_{s}) les coordonnées de u_{n} dans la base

canonique de ℝ^{s}.

Remarque 1.3.5: Dans la proposition 1.3.3, le fait que c ne dépend que de Z_{ℚ} et de l’image de Φ est utile dans la situation suivante: Si Z est un sous schéma fermé de Z_{1}, avec Z_{ℚ} = Z_{1ℚ} et Γ(Z_{1}; O_{Z_{1}}^{∗}) → Γ(Z; O_{Z}^{∗}) surjectif, alors la constante c convenant pour Z convient aussi pour Z_{1}.

Rappelons enfin un résultat dû à Moret-Bailly [15]: On note P ic^{0}(Z) l’ensemble des L ∈ P ic(Z) tels que pour toute composante irréductible verticale C de Z, on a deg(L_{|C}) = 0.

Proposition 1.3.6: P ic^{0}(Z) est un sous-groupe fini de P ic(Z).

2 Intersection dans les surfaces arithmétiques

2.1 Fonctions de Green

Soit M une surface de Riemann compacte connexe de genre g^{1} ≥ 1 (si g^{1} = 0, M est isomorphe à la sphère de Riemann, cf remarque 2.1.3). On munit le ℂ-espace vectoriel Ω(M) des différentielles holomorphes sur M du produit hermitien < ϕ; ψ >= \frac{i}{2} ∫_{M} ϕ ∧ \overline{ψ}. Ω(M) est alors un espace hermitien, de dimension g^{1}. Soit (ϕ_{1}; …; ϕ_{g^{1}}) une base orthonormée de

Ω(M). On pose μ = \frac{i}{2g^{1}} ∑_{j=1}^{g^{1}} ϕ_{j} ∧ \overline{ϕ}_{j}, qui ne dépend pas du choix de la base orthonormée (ϕ_{j}).

La (1; 1)-forme μ est réelle définie positive, ie une forme volume, et ∫_{M} μ = 1. μ s’appelle la forme volume canonique sur M.

W^{1}(M) désigne l’espace de Hilbert réel des f ∈ L^{2}(M; μ) tel que df est L^{2} sur M. On a, sur le quotient W^{1}(M)/ℝ de W^{1}(M) par l’espace des fonctions constantes sur M, le produit scalaire de Dirichlet: < g_{1}; g_{2} >_{Dir}= \frac{i}{2π} ∫_{M} ∂g_{1} ∧ \overline{∂}g_{2}.

Pour un ouvert U de M, W_{loc}^{1}(U) désigne l’espace des f ∈ L_{loc}^{2}(U; μ) tel que df est localement L^{2} sur U.

Définition: Soit D = ∑_{P} n_{P} [P] un diviseur sur M, de support Y. Une fonction de Green

W^{1} -respectivement C^{0}, C^{∞}- pour D est une fonction g ∈ W_{loc}^{1}(M − Y) -respectivement g ∈ C^{0}(M − Y), g ∈ C^{∞}(M − Y)- telle que:

Au voisinage de P ∈ Y, g = −2n_{P} ln |z| + α, où z est une coordonnée locale au voisinage de P (avec z(P) = 0) et α est une fonction localement W^{1} -respectivement C^{0}, C^{∞}- au voisinage de P.

Proposition 2.1.1: Il existe une et une seule fonction de Green C^{∞} g_{D} pour D telle que:

- Sur M − Y, \frac{i}{2π} ∂\overline{∂}g_{D} = deg(D)μ;

- ∫_{M} g_{D}μ = 0.

g_{D} est appelée la fonction de Green admissible de D sur M.

On a les propriétés suivantes:

- g_{D} = ∑ n_{P} g_{[P]}.

- Si f est méromorphe non nulle sur M, g_{div(f)} = −2 ln |f| + 2c(f), où c(f) est la constante ∫_{M} ln |f|μ.

Pour P ≠ Q, on pose g(P; Q) = g_{[P]}(Q). Alors, en notant Δ la diagonale de M × M, g est C^{∞} sur M × M − Δ, et pour P ≠ Q on a g(P; Q) = g(Q; P).

Remarque 2.1.2: Soit D un diviseur sur M, et g une fonction de Green W^{1} -resp. C^{0}, C^{∞}- pour D. Alors g−g_{D} se prolonge naturellement en une fonction W^{1} -resp. C^{0}, C^{∞}- sur M.

Définition: Soit D_{1} = ∑ n_{P} [P] et D_{2} = ∑ m_{P} [P] deux diviseurs sur M de supports disjoints. Soit g_{1} -respectivement g_{2}- une fonction de Green W^{1} pour D_{1} -respectivement D_{2}-. Notons e_{1} = deg(D_{1}) et e_{2} = deg(D_{2}). On définit l’étoile-produit de g_{1} et g_{2} par:

< g_{1} ∗ g_{2} >= ∑_{P;Q} n_{P} m_{Q}g(P; Q) + ∫_{M}(e_{2}g_{1} + e_{1}g_{2})μ− < g_{1} − g_{D_{1}}; g_{2} − g_{D_{2}} >_{Dir}

On remarque que < g_{1} ∗ g_{2} >=< g_{2} ∗ g_{1} >.

Pour des précisions sur ce qui vient d’être introduit dans ce paragraphe (fonctions de Green, étoile-produit), on pourra consulter l’article de Bost [5] pages 254-256 et 268-269.

Définition: Soit L un faisceau inversible sur M. Une structure hermitienne C^{0} -resp. C^{∞}- ∥ ∥ sur L est la donnée, en chaque P ∈ M, d’une norme hermitienne ∥ ∥(P) sur le ℂ-espace vectoriel (de dimension 1) résiduel de L en P, telle que ∥ ∥ varie de manière C^{0} -resp. C^{∞}- sur M.

Posons L̂ = (L; ∥ ∥). On note c_{1}(L̂) la forme de courbure (ou forme de Chern) de L̂: c’est le (1;1)-courant réel sur M caractérisé par la propriété suivante:

Si s est une section rationnelle non nulle de L sur M, alors sur M, on a c_{1}(L̂) = δ_{div(s)} − \frac{i}{π} ∂\overline{∂} ln ∥s∥ au sens des courants (pour un diviseur D = ∑ n_{P} [P], δ_{D} désigne la combinaison linéaire de masses de Dirac ∑ n_{P} δ_{P}).

On dit que L̂ est admissible lorsque c_{1}(L̂) = deg(L)μ sur M.

On verra au paragraphe 2.4 le lien entre fonctions de Green et structures hermitiennes.

Remarque 2.1.3: Si g^{1} = 0, M est isomorphe à ℙ^{1}(ℂ). En fixant un tel isomorphisme, la mesure de Lebesgue habituelle sur la sphère de Riemann induit une forme volume μ sur M. C’est aussi la forme de courbure de O(1) muni de la structure hermitienne de Fubini-Study. On peut encore construire les notions de ce paragraphe. La mesure μ et l’admissibilité dépendent alors de l’isomorphisme choisi, mais pas l’étoile-produit.

2.2 Diviseurs d’Arakelov

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. Un diviseur d’Arakelov W^{1} -respectivement C^{0}, C^{∞}- sur X est un couple (D; g) où D est un diviseur de Weil sur X et g est une fonction X(ℂ) → ℝ invariante par conjugaison complexe, telle que pour tout σ ∈ G_{K}, si l’on note D_{σ} = D_{K} ⊗_{σ} ℂ et g_{σ} la restriction de g à X_{σ}(ℂ), g_{σ} est une fonction de Green W^{1} -respectivement C^{0}, C^{∞}- pour D_{σ}.

(D; g) est dit admissible si pour tout σ ∈ G_{K}, g_{σ} − g_{D_{σ}} est une fonction constante sur X_{σ}(ℂ).

L’ensemble des diviseurs d’Arakelov W^{1} -resp. C^{0}, C^{∞}- forme un groupe D̂iv(W^{1}; X) -resp. D̂iv(C^{0}; X), D̂iv(C^{∞}; X)- pour l’addition.

Pour f rationnelle non nulle sur X, (div(f); −2 ln |f_{ℂ}|) est un diviseur d’Arakelov C^{∞}. On définit ainsi un morphisme k(X)^{∗} → D̂iv(C^{∞}; X). Tout élément de son image P̂ r(X) s’appelle un diviseur d’Arakelov principal sur X. On pose Ĉl(C^{∞}; X) = D̂iv(C^{∞}; X)/P̂ r(X); de même Ĉl(C^{0}; X) = D̂iv(C^{0}; X)/P̂ r(X), et Ĉl(W^{1}; X) = D̂iv(W^{1}; X)/P̂ r(X).

2.3 Construction de la forme intersection

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. Soient D et E deux diviseurs de Weil sans composante irréductible commune. Pour x point fermé de X, on définit de manière habituelle le nombre d’intersection i_{x}(D; E) de D et E en x. On pose

(D.E)_{f} = ∑_{x} i_{x}(D; E) ln #k(x).

Soient D̂_{1} = (D_{1}; g_{1}) et D̂_{2} = (D_{2}; g_{2}) deux diviseurs d’Arakelov W^{1} tels que D_{1} et D_{2} sont sans composante irréductible commune. On définit leur intersection d’Arakelov par:

(D̂_{1}.D̂_{2}) = (D_{1}.D_{2})_{f} + \frac{1}{2} ∑_{σ∈G_{K}} < g_{1;σ} ∗ g_{2;σ} >

On a le résultat suivant (cf [5]):

Théorème 2.3.1: La forme ( . ) ainsi définie induit une forme bilinéaire symétrique sur Ĉl(W^{1}; X).

Cette forme bilinéaire vérifie la variante suivante du théorème de l’indice de Hodge:

Proposition 2.3.2: Soit D̂ ∈ D̂iv(W^{1}; X) tel que deg(D_{K}) = 0. Alors on a (D̂.D̂) ≤ 0.

2.4 Faisceaux inversibles hermitiens

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1.

Définition: Un faisceau inversible hermitien C^{0} -respectivement C^{∞}- L̂ = (L; ∥ ∥) sur X est la donnée d’un faisceau inversible L sur X et d’une structure hermitienne C^{0} -resp. C^{∞}- ∥ ∥ sur L_{ℂ} (ie pour chaque σ ∈ G_{K} d’une structure hermitienne C^{0} -resp. C^{∞}- ∥ ∥_{σ} sur L_{σ} = L_{K} ⊗_{σ} ℂ) et invariante par conjugaison complexe.

Les classes d’isométries de faisceaux inversibles hermitiens C^{0} -resp. C^{∞}- forment un groupe P̂ ic(C^{0}; X) -resp. P̂ ic(C^{∞}; X)- pour le produit tensoriel.

Soit D̂ = (D; g) ∈ Ĉl(C^{0}; X). On lui associe le faisceau inversible O_{X}(D) muni de la structure hermitienne ∥ ∥ telle que ∥1(P)∥ = exp[−\frac{1}{2}g(P)]. On note Ô_{X}(D̂) ce faisceau inversible hermitien C^{0}. On définit ainsi un isomorphisme Ĉl(C^{0}; X) ⟶^{∼} P̂ ic(C^{0}; X).

Décrivons l’isomorphisme réciproque: Soit L̂ = (L; ∥ ∥) ∈ Ĉl(C^{0}; X). Soit s une section rationnelle non nulle de L sur X. A L̂ on associe (div(s); − 2 ln ∥s_{ℂ}∥).

Si D̂ est un diviseur d’Arakelov C^{∞}, alors Ô_{X}(D̂) est un faisceau inversible hermitien C^{∞}. L’isomorphisme précédent induit donc un isomorphisme Ĉl(C^{∞}; X) ⟶^{∼} P̂ ic(C^{∞}; X).

On identifiera diviseurs d’Arakelov C^{0} -respectivement C^{∞}- et faisceaux inversibles C^{0} -respectivement C^{∞}-.

Soit L̂ = (L; ∥ ∥) ∈ P̂ ic(C^{0}; X). On note L̂_{σ} = (L_{σ}; ∥ ∥_{σ}), et c_{1}(L̂) le (1;1)-courant réel sur X(ℂ) égal à c_{1}(L̂_{σ}) sur X_{σ}(ℂ).

On dit que L̂ est admissible lorsque, pour tout σ ∈ G_{K}, L̂_{σ} est admissible (sur X_{σ}(ℂ)). Les faisceaux inversibles hermitiens admissibles correspondent bien sûr aux diviseurs

d’Arakelov admissibles par l’identification précédente.

Remarque 2.4.1: Le groupe Cl(X) des classes de diviseurs de Weil sur X modulo équivalence linéaire s’injecte canoniquement dans Ĉl(C^{∞}; X) par D ↦ (D; g_{D}), où g_{D} désigne la fonction sur X(ℂ) égale à la fonction de Green admissible g_{D_{σ}} de D_{σ} sur X_{σ}(ℂ).

2.5 Lien entre intersection et degré; hauteur

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. Soit C un diviseur de Weil premier sur X. C est soit (cf remarque 1.3.1):

- une courbe algébrique au dessus d’un point fermé de B = Spec(O_{K}) (C est dit vertical);

- une courbe arithmétique (C est dit horizontal).

Définition: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X), et C un diviseur de Weil premier sur X. On définit la hauteur de C relativement à L̂ de la manière suivante:

- Si C est vertical au dessus d’un point fermé P de B, L_{|C} est un faisceau inversible sur C. On pose hL̂(C) = deg(L_{|C}) ln #(O_{K}/P).

- Si C est horizontal, L̂_{|C} est un faisceau inversible hermitien sur C. On pose hL̂(C) = d̂eg(L̂_{|C}).

Proposition 2.5.1: Soit D̂ = (D; g) ∈ D̂iv(C^{0}; X), et C un diviseur de Weil premier qui n’est pas une composante de D. On a alors

hD̂(C) = (D.C)_{f} + \frac{1}{2} ∫_{X(ℂ)} gδ_{C_{ℂ}}

Démonstration: Ceci est une conséquence directe de la définition du degré arithmétique (cf paragraphe 1.2).

Proposition 2.5.2: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X) tel que c_{1}(L̂) est d’ordre 0 (ie une mesure réelle) sur X(ℂ). Alors L̂ peut être représenté par un diviseur d’Arakelov W^{1}. Soit Ĉ = (C; g) un diviseur d’Arakelov C^{0} et W^{1} tel que C est intègre. Alors

(L̂.Ĉ) = hL̂(C) + \frac{1}{2} ∫_{X(ℂ)} gc_{1}(L̂)

Démonstration: cf [5]. On peut aussi démontrer cette proposition à l’aide des résultats du paragraphe 3.2.

3 Théorème d’amplitude arithmétique

3.1 Théorème d’amplitude dans le cas C^{∞}

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. Rappelons d’abord le résultat suivant (cf [12]):

Proposition 3.1.1: Soit L ∈ P ic(X). L est ample si et seulement si pour tout diviseur premier vertical C, on a deg(L_{|C}) > 0.

Le théorème ci-dessous, dû à Zhang, est un analogue arithmétique du théorème d’amplitude de Nakai-Moishezon (cf [22], [23], [24]):

Définition: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X). L̂ est arithmétiquement ample lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées:

- L est ample;

- Il existe c > 0 tel que pour tout M̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X), pour tout n assez grand, Γ(X; L^{⊗n} ⊗ M) admet une ℤ-base constituée de sections de norme en tout point de X(ℂ) inférieure à e^{−cn}.

Théorème 3.1.2: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{∞}; X) vérifiant:

- La (1;1)-forme réelle c_{1}(L̂) est définie positive;

- (L̂.L̂) > 0;

- Pour tout diviseur de Weil premier C, hL̂(C) > 0.

Alors L̂ est arithmétiquement ample.

On aimerait généraliser ce résultat aux faisceaux inversibles hermitiens C^{0}.

On généralisera également le résultat suivant:

Soit M une surface de Riemann compacte connexe de genre ≥ 1, Y une partie finie de M, L̂ -respectivement M̂- un faisceau inversible muni d’une structure hermitienne C^{∞} - respectivement C^{0}- tel que deg(L) > 0 et la (1;1)-forme c_{1}(L̂) est définie positive. On considère Y comme un sous-schéma fermé réduit de M. Alors pour tout n assez grand, le morphisme ψ_{n} : Γ(M; L^{⊗n} ⊗ M) → Γ(Y; L^{⊗n} ⊗ M_{|Y}) est surjectif.

Proposition 3.1.3: Pour tout ϵ > 0, pour tout n assez grand, pour tout u ∈ Γ(Y; L^{⊗n} ⊗ M_{|Y}), il existe s ∈ Γ(M; L^{⊗n} ⊗ M) tel que ψ_{n}(s) = u et max_{M} ∥s∥ ≤ e^{ϵn} max_{Y} ∥u∥.

S’il existe une courbe algébrique réelle régulière M′ telle que M = M′_{ℂ}, et si Y, L̂, M̂, et u sont invariants par conjugaison complexe, alors on peut imposer en plus s invariant par conjugaison complexe.

3.2 Equation de la chaleur

Soit M une surface de Riemann compacte connexe, μ sa forme volume canonique. Pour f ∈ C^{∞}(M), on définit le laplacien Δf de f par la formule: \frac{i}{2π} ∂\overline{∂}f = Δfμ (Δf ∈ C^{∞}(M)).

Soit f_{0} une distribution réelle (ie un 0-courant réel) sur M. Une solution à l’équation de la chaleur avec condition initiale f_{0} est une fonction f ∈ C^{∞}(M × ℝ_{+}^{∗}) telle que, si l’on note f_{t}(x) = f(x; t), et Δ_{x} le laplacien à t fixé, on a:

- Sur M × ℝ_{+}^{∗}: Δ_{x}f = \frac{∂f}{∂t};

- Lorsque t tend vers 0, f_{t} tend vers f_{0} au sens des distributions.

Proposition 3.2.1: Il existe une et une seule solution f à l’équation de la chaleur avec condition initiale f_{0}. On peut expliciter f de la manière suivante:

Il existe une base hilbertienne (ϕ_{n})_{n≥0} de L^{2}(M; μ) et une suite croissante de réels positifs (λ_{n})_{n≥0} telles que:

- Pour tout n ≥ 0, ϕ_{n} : M → ℝ est C^{∞} et Δϕ_{n} = −λ_{n}ϕ_{n};

- On a λ_{0} = 0, ϕ_{0} = 1, λ_{1} > 0, et l’équivalent λ_{n} ∼ n;

- ϕ_{n}(x) est borné uniformément en x et n.

Posons a_{n} = ∫_{M} f_{0}ϕ_{n}μ. Alors:

∀(x, t) ∈ M × ℝ_{+}^{∗} f(x; t) = ∑_{n≥0} a_{n}e^{−λ_{n}t}ϕ_{n}(x)

On a le résultat suivant (cf [2]):

Proposition 3.2.2: Si f_{0} est une fonction continue sur M, alors la solution f se prolonge en une fonction continue sur M × ℝ_{+}, avec pour tout x ∈ M f(x; 0) = f_{0}(x).

Par ailleurs, on a la version suivante du principe du maximum (cf [16]):

Proposition 3.2.3: Si f_{0} est une distribution positive et non nulle, alors pour tout t > 0,

on a min_{x∈M} f(x; t) > 0.

Remarque 3.2.4: Si f_{0} ∈ W^{1}(M), alors pour tout t > 0, on a:

∥f_{t}∥_{Dir}^{2} = ∑_{n≥1} λ_{n}a_{n}^{2}e^{−2λ_{n}t} ≤ ∑_{n≥1} λ_{n}a_{n}^{2} = ∥f_{0}∥_{Dir}^{2}

Cette étude de l’équation de la chaleur permet de démontrer le résultat suivant:

Proposition 3.2.5: Soit f_{0} ∈ W^{1}(M) telle que f_{0} est continue sur M, et ϵ > 0. Alors pour tout r assez grand et tout m ≥ 0, on a

min_{(x_{1};...;x_{r})∈M^{r}}[∑_{i<j} g(x_{i}; x_{j}) + m ∑_{i=1}^{r} f_{0}(x_{i})] ≥ −\frac{m^{2}}{2} ∥f_{0}∥_{Dir}^{2} + mr(a_{0} − ϵ) − \frac{r}{2} ln r − O(r)

où a_{0} = ∫_{M} f_{0}μ, et le O ne dépend que de M.

Démonstration: On utilise les notations précédentes. On pose de plus, pour t > 0:

g_{t}(x; y) = ∑_{n≥1} \frac{1}{λ_{n}} e^{−λ_{n}t}ϕ_{n}(x)ϕ_{n}(y)

On a les résultats suivants (cf [3], [11]):

- ∀(x; y; t) ∈ M × M × ℝ_{+}^{∗} g(x; y) ≥ g_{t}(x; y) − t.

- Lorsque t tend vers 0, on a, uniformément en x ∈ M: g_{t}(x; x) = − ln t + O(1).

Soit ϵ > 0. Par continuité de f, on a, pour tout t assez petit:

∑_{i<j} g(x_{i}; x_{j}) + m ∑_{i=1}^{r} f_{0}(x_{i}) ≥ ∑_{i<j} g_{2t}(x_{i}; x_{j}) + m ∑_{i=1}^{r} f_{t}(x_{i}) − r^{2}t − mrϵ

Après calcul, on trouve que le membre de droite vaut

∑_{n≥1} \frac{1}{2λ_{n}} (mλ_{n}a_{n} + ∑_{i=1}^{r} e^{−λ_{n}t}ϕ_{n}(x_{i}))^{2} − \frac{m^{2}}{2} ∥f_{0}∥_{Dir}^{2} − \frac{1}{2} ∑_{i=1}^{r} g_{2t}(x_{i}; x_{i}) + mr(a_{0} − ϵ) − r^{2}t

On obtient le résultat en choisissant t = \frac{1}{2r}.

3.3 Théorème d’amplitude dans le cas C^{0}

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre g^{1} ≥ 1.

Définition: Soit D̂ = (D; g) ∈ D̂iv(C^{0}; X). D̂ est effectif lorsque D est un diviseur de Weil effectif et ∀P ∈ X(ℂ) g(P) ≥ 0. D̂ est strictement effectif lorsque D est un diviseur de Weil effectif et ∀P ∈ X(ℂ) g(P) > 0.

Définition: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X). L̂ est dit numériquement positif lorsque pour tout diviseur de Weil premier C, on a hL̂(C) ≥ 0. L̂ est dit numériquement strictement positif lorsque pour tout diviseur de Weil premier C, on a hL̂(C) > 0.

Proposition 3.3.1: Soit D̂ = (D; g) un diviseur d’Arakelov strictement effectif. D̂ est numériquement strictement positif si et seulement si: D est ample et pour toute composante horizontale C de D, on a hD̂(C) > 0.

Démonstration: C’est une conséquence immédiate des propositions 2.5.1 et 3.1.1.

Lemme 3.3.2: Soit M une surface de Riemann compacte connexe de genre ≥ 1, et M̂ un faisceau inversible muni d’une structure hermitienne C^{0}. Alors pour tout ϵ > 0, il existe T tel que

∀n ≥ 1 ∀s ∈ Γ(X; M^{⊗n})  max_{M} ∥s∥^{2} ≤ T e^{ϵn} ∫_{M} ∥s∥^{2}μ

Démonstration: Soit ϵ > 0. Pour tout x ∈ M, il existe une carte locale ϕ_{x} : U_{x} →^{∼} B(0; 1) (B(a; r) désigne ici le disque ouvert de ℂ de centre a et de rayon r) telle que:

- ϕ_{x}(x) = 0;

- M_{|U_{x}} ≃ O_{M|U_{x}};

- ∀y ∈ U_{x} |ln ∥1(y)∥ − ln ∥1(x)∥| ≤ \frac{ϵ}{4}.

Posons V_{x} = ϕ_{x}^{−1}(B(0; \frac{1}{2})). Par compacité de M, il existe (x_{1}; …; x_{l}) ∈ M^{l} tel que M =

⋃_{i=1}^{l} V_{x_{i}}. Soit λ la mesure de Lebesgue sur ℂ, et c_{i} > 0 tel que μ ≥ c_{i}λ sur B(0; 1) = ϕ_{x_{i}}(U_{x_{i}}).

On pose c = min_{i} c_{i} > 0.

Soit maintenant n ≥ 1 et s ∈ Γ(M; M^{⊗n}). Soit x_{0} un point de M où ∥s∥ atteint son maximum, et i tel que x_{0} ∈ V_{x_{i}}. Alors, en posant B = B(ϕ_{x_{i}}(x_{0}); \frac{1}{2}), on a:

∫_{M} ∥s∥^{2}μ ≥ c_{i} ∫_{B} |s|^{2}∥1∥^{2n}λ ≥ c∥1(x_{0})∥^{2n}e^{−ϵn} ∫_{B} |s|^{2}λ

Comme s est holomorphe sur B, on a ∫_{B} |s|^{2}λ ≥ λ(B)|s(x_{0})|^{2}. D’où le résultat.

Proposition 3.3.3: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X) tel que deg(L_{K}) > 0 et L̂ peut être représenté par un diviseur d’Arakelov W^{1}. Alors pour tout ϵ > 0, pour tout n assez grand, L^{⊗n} admet une section globale non nulle de norme en tout point de X(ℂ) inférieure à

exp[−\frac{(L̂.L̂)}{2[K : ℚ]deg(L_{K})}n + ϵn] .

Démonstration: On pose N = [K : ℚ] et e = deg(L_{K}). La structure hermitienne de L̂ = (L; ∥ ∥) s’écrit de manière unique sous la forme ∥ ∥ = ∥ ∥_{ad}e^{−f/2} (cf remarque 2.1.2) avec:

- L̂_{ad} = (L; ∥ ∥_{ad}) admissible;

- f continue sur X(ℂ);

- ∀σ ∈ G_{K} ∫_{X_{σ}(ℂ)} fμ = 0.

Γ(X; L^{⊗n})_{ℝ} = Γ(X; L^{⊗n}) ⊗_{ℤ} ℝ s’identifie à l’ensemble des éléments de ⨁_{σ∈G_{K}} Γ(X_{σ}; L_{σ}^{⊗n})

invariants par conjugaison complexe. Pour tout n ≥ 2g^{1} −1, on munit Γ(X; L^{⊗n})_{ℝ} de la forme volume de Faltings induite par L̂_{ad}. Posons

B(R) = {s ∈ Γ(X; L^{⊗n})_{ℝ}|∀σ ∈ G_{K} ∫_{X_{σ}(ℂ)} ∥s∥^{2}μ ≤ R^{2}}

et soit V (R) le volume de Faltings de B(R). On a (cf [8], [11]):

ln V (R) ≥ Nr ln R + \frac{1}{2} ∑_{σ∈G_{K}} min_{(P_{1};...;P_{r})∈X_{σ}(ℂ)}[∑_{i<j} g_{σ}(P_{i}; P_{j}) + n ∑_{i=1}^{r} f(P_{i})] − O(r)

où r = en + 1 − g^{1}. En utilisant la proposition 3.2.5, on trouve, pour ϵ′ > 0:

ln V (R) ≥ Nr ln R − \frac{n^{2}}{4} ∑_{σ∈G_{K}} ∥f_{σ}∥_{Dir}^{2} − n^{2}ϵ′ − O(n ln n)

D’autre part, le théorème de Riemann-Roch arithmétique pour les faisceaux admissibles permet de calculer le covolume V_{Γ} du réseau Γ(X; L^{⊗n}):

ln V_{Γ} = −\frac{n^{2}}{2} (L̂_{ad}.L̂_{ad}) + O(n)

On prend alors ln R = −\frac{(L̂.L̂)}{2Ne}n + \frac{ϵ}{2}n, et ϵ′ = \frac{Ne}{4}ϵ. On remarque que

(L̂.L̂) = (L̂_{ad}.L̂_{ad}) − \frac{1}{2} ∑_{σ∈G_{K}} ∥f_{σ}∥_{Dir}^{2}

On trouve alors ln V (R) − ln V_{Γ} ≥ ϵ′n^{2} − O(n ln n). On en déduit, par le théorème de Minkowski (la dimension de Γ(X; L^{⊗n})_{ℝ} est Nr = o(ϵ′n^{2})), que pour tout n assez grand, il existe s ∈ Γ(X; L^{⊗n}) − {0} tel que s ∈ B(R). On conclut par le lemme 3.3.2.

Théorème 3.3.4: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X) vérifiant:

- c_{1}(L̂) est une mesure positive; - L̂ est numériquement strictement positif;

- (L̂.L̂) > 0.

Alors L̂ est arithmétiquement ample.

Démonstration: D’après la proposition 3.3.3, on peut supposer L̂^{⊗k} représenté par un diviseur d’Arakelov strictement effectif D̂ = (D; f), pour un k assez grand.

La structure hermitienne de L̂ = (L; ∥ ∥_{0}) s’écrit de manière unique sous la forme ∥ ∥_{0} = ∥ ∥_{ad}e^{−g_{0}/2} avec: (L; ∥ ∥_{ad}) admissible, g_{0} continue, et ∀σ ∈ G_{K} ∫_{X_{σ}(ℂ)} g_{0}μ = 0.

Pour σ ∈ G_{K}, soit g_{0;σ} la restriction de g_{0} à X_{σ}(ℂ), et g_{σ} la solution à l’équation de la chaleur sur X_{σ}(ℂ) avec condition initiale g_{0;σ}. On pose g_{t;σ}(x) = g_{σ}(x; t). Soit g la fonction sur X(ℂ) égale à g_{σ} sur X_{σ}(ℂ). On pose g_{t}(x) = g(x; t), ∥ ∥_{t} = ∥ ∥_{ad}e^{−g_{t}/2}, et L̂_{t} = (L; ∥ ∥_{t}).

L̂_{t} vérifie, pour tout t > 0 assez petit, les conditions du théorème 3.1.2. En effet:

- On a, pour tout t > 0, c_{1}(L̂_{t}) = \frac{i}{2π} ∂\overline{∂}g_{t} + eμ = (Δg_{t} + e)μ au sens des courants, où e = deg(L_{K}). Or Δ_{x}g + e est solution à l’équation de la chaleur avec condition initiale la distribution positive Δg_{0} + e. Donc pour tout t > 0, c_{1}(L̂_{t}) est définie positive (d’après la proposition 3.2.3).

- (L̂_{t}.L̂_{t}) = (L̂.L̂) + \frac{1}{2} ∑_{σ}(∥g_{0;σ}∥_{Dir}^{2} − ∥g_{t;σ}∥_{Dir}^{2}) ≥ (L̂.L̂) > 0 (cf remarque 3.2.4).

- Pour tout diviseur de Weil premier C, on a hL̂_{t}(C) = \frac{1}{k}hL̂_{t}^{⊗k}(C). Et L̂_{t}^{⊗k} est représenté par (D; f + k(g_{t} − g_{0})), qui est strictement effectif pour tout t > 0 assez petit. D’après la proposition 3.3.1, il suffit donc de montrer que pour toute composante horizontale C de D, on a hL̂_{t}^{⊗k}(C) > 0. Or, par continuité de g, hL̂_{t}^{⊗k}(C) tend vers hL̂^{⊗k}(C) quand t tend vers 0 (cf proposition 2.5.1). D’où le résultat pour tout t > 0 assez petit.

Donc L̂_{t} est arithmétiquement ample pour tout t > 0 assez petit.

Par ailleurs, g est continue sur X(ℂ) × ℝ_{+}, donc pour tout ϵ > 0, il existe t > 0 tel que ∀P ∈ X(ℂ) |g_{t}(P) − g_{0}(P)| ≤ ϵ. Alors pour n ≥ 1 et s ∈ Γ(X; L^{⊗n} ⊗ M), on a ∀P ∈ X(ℂ) ∥s(P)∥_{0} ≤ ∥s(P)∥_{t}e^{nϵ/2}. D’où le résultat.

Proposition 3.3.5: Soit M une surface de Riemann compacte connexe de genre ≥ 1, Y une partie finie de M, L̂ et M̂ deux faisceaux inversibles munis d’une structure hermitienne C^{0}, tels que deg(L) > 0 et c_{1}(L̂) est une mesure positive. Soit ψ_{n} le morphisme ψ_{n} : Γ(M; L^{⊗n} ⊗ M) → Γ(Y; L^{⊗n} ⊗ M_{|Y}), qui est surjectif pour tout n assez grand.

Alors pour tout ϵ > 0, pour tout n assez grand, pour tout u ∈ Γ(Y; L^{⊗n} ⊗ M_{|Y}), il existe

s ∈ Γ(M; L^{⊗n} ⊗ M) tel que ψ_{n}(s) = u et max_{M} ∥s∥ ≤ e^{ϵn} max_{Y} ∥u∥.

S’il existe une courbe algébrique réelle régulière M′ telle que M = M′_{ℂ}, et si Y, L̂, M̂, et u sont invariants par conjugaison complexe, alors on peut imposer en plus s invariant par conjugaison complexe.

Démonstration: La démonstration est similaire à celle du théorème 3.3.4: La structure hermitienne de L̂ s’écrit de manière unique sous la forme ∥ ∥ = ∥ ∥_{ad}e^{−g_{0}/2} avec: (L; ∥ ∥_{ad}) admissible, g_{0} continue, et ∫_{M} g_{0}μ = 0.

Soit g la solution à l’équation de la chaleur sur M avec condition initiale g_{0}. On pose g_{t}(x) = g(x; t), ∥ ∥_{t} = ∥ ∥_{ad}e^{−g_{t}/2}, et L̂_{t} = (L; ∥ ∥_{t}).

L̂_{t} vérifie, pour tout t > 0, les conditions de la proposition 3.1.3: En effet, d’après la proposition 3.2.3, c_{1}(L̂_{t}) est définie positive pour tout t > 0.

Par ailleurs, g est continue sur M × ℝ_{+}, donc pour tout ϵ > 0, il existe t > 0 tel que ∀x ∈ M |g_{t}(x)−g_{0}(x)| ≤ \frac{ϵ}{2}. Alors pour n ≥ 1, u ∈ Γ(Y; L^{⊗n}⊗M_{|Y}), et s ∈ Γ(M; L^{⊗n}⊗M), on a ∥u∥_{t} ≤ e^{nϵ/4}∥u∥, et ∥s∥ ≤ e^{nϵ/4}∥s∥_{t}. D’où le résultat.

4 Applications

4.1 Points entiers et effectivité

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. Dans ce paragraphe, on généralise les résultats d’Ullmo [22].

Définition: Soit U un ouvert de X. Un point entier sur U est un diviseur de Weil premier horizontal sur X de support inclus dans U.

Définition: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X) et E un point entier sur X. La hauteur normalisée de E relativement à L̂ est le réel

h′ ; L̂(E) = \frac{hL̂(E)}{deg(E_{K})}

Proposition 4.1.1 Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X) tel que deg(L_{K}) > 0 et L̂ peut être représenté par un diviseur d’Arakelov W^{1}. Alors pour tout ϵ > 0, X n’admet qu’un nombre fini de points entiers E tels que

h′ ; L̂(E) ≤ \frac{(L̂.L̂)}{2deg(L_{K})} − ϵ

Démonstration: D’après la proposition 3.3.3, pour n assez grand, L̂^{⊗n} peut être représenté par un diviseur d’Arakelov D̂ = (D; g) tel que D est effectif et

g ≥ \frac{(L̂.L̂)}{[K : ℚ]deg(L_{K})}n − \frac{2ϵ}{[K : ℚ]}n

Soit E un point entier sur X qui n’est pas une composante de D. Alors, d’après la proposition 2.5.1:

hL̂(E) = \frac{1}{n}hL̂^{⊗n}(E) = \frac{1}{n}(D.E)_{f} + \frac{1}{2n} ∫_{X(ℂ)} gδ_{E_{ℂ}} ≥ (\frac{(L̂.L̂)}{2deg(L_{K})} − ϵ)deg(E_{K})

D’où le résultat.

Sous les conditions de la proposition 4.1.1, on peut donc définir le réel

A(L̂) = inf_{E} h′ ; L̂(E) où E parcourt l’ensemble des points entiers sur X.

Définition: Soit L ∈ P ic(X). X est verticalement positif lorsque pour tout diviseur de Weil premier vertical C, on a deg(L_{|C}) ≥ 0.

Proposition 4.1.2: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X) tel que deg(L_{K}) > 0, c_{1}(L̂) est une mesure positive, et L est verticalement positif. Alors

A(L̂) ≤ \frac{(L̂.L̂)}{2deg(L_{K})}

Démonstration: Soit ϵ > 0. D’après la proposition 3.3.3, pour n assez grand, L̂^{⊗n} peut être représenté par un diviseur d’Arakelov D̂ = (D; g) avec D effectif et

g ≥ \frac{(L̂.L̂)}{[K : ℚ]deg(L_{K})}n − \frac{2ϵ}{[K : ℚ]}n

D s’écrit D = ∑_{i} m_{i}V_{i} + ∑_{j} n_{j}E_{j} avec les V_{i} premiers verticaux et les E_{i} premiers horizon-

taux. Soit j_{0} tel que h′ ; L̂(E_{j_{0}}) = min_{j} h′ ; L̂(E_{j}), et E = E_{j_{0}}. Alors, d’après la proposition 2.5.2, on a

n(L̂.L̂) = (L̂.D̂) = ∑_{i} m_{i}hL̂(V_{i}) + ∑_{j} n_{j}deg(E_{jK})h′ ; L̂(E_{j}) + \frac{1}{2} ∫_{X(ℂ)} gc_{1}(L̂)

≥ h′ ; L̂(E)deg(L_{K})n + \frac{(L̂.L̂)}{2}n − deg(L_{K})ϵn

On en déduit

h′ ; L̂(E) ≤ \frac{(L̂.L̂)}{2deg(L_{K})} + ϵ

D’où le résultat.

Proposition 4.1.3: Soit L̂ = (L; ∥ ∥) ∈ P̂ ic(C^{0}; X) tel que L est ample et c_{1}(L̂) est une mesure positive. Alors pour tout M̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X), pour tout ϵ > 0, pour tout n assez grand, Γ(X; L^{⊗n} ⊗ M) admet une ℤ-base de sections de norme sup sur X(ℂ) inférieure à exp(−\frac{A(L̂)}{[K:ℚ]}n + ϵn).

Démonstration: Posons N = [K : ℚ] et ∥ ∥′ = ∥ ∥ exp(\frac{A(L̂)}{N} − ϵ). Il suffit de montrer que

L̂′ = (L; ∥ ∥′) vérifie les conditions du théorème 3.3.4:

Soit C un point entier sur X. On a h′ ; L̂′(C) = h′ ; L̂(C) − A(L̂) + Nϵ > 0. D’autre part, on a

(L̂′.L̂′) = (L̂.L̂) − 2A(L̂)deg(L_{K}) + 2deg(L_{K})Nϵ > 0

d’après la proposition 4.1.2.

D’où le résultat.

Soit maintenant L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X) tel que deg(L_{K}) > 0 et c_{1}(L̂) est une mesure réelle. Soit (E_{n})_{n≥0} une suite injective de points entiers sur X. Posons e_{n} = deg(E_{nK}), et e = deg(L_{K}). D’après la proposition 4.1.1, on a: lim inf_{n→+∞} h′ ; L̂(E_{n}) ≥ \frac{(L̂.L̂)}{2e}. La proposition suivante précise,

dans le cas “critique”, la répartition des ensembles E_{n}(ℂ) dans X(ℂ):

Proposition 4.1.4: Avec les notations précédentes, supposons que: lim_{n} h′ ; L̂(E_{n}) = \frac{(L̂.L̂)}{2e}.

Alors la suite de mesures (\frac{1}{e_{n}} δ_{E_{nℂ}}) converge faiblement vers \frac{1}{e}c_{1}(L̂). En particulier, c_{1}(L̂) est une mesure positive.

Démonstration: Posons ν_{n} = \frac{1}{e_{n}} δ_{E_{nℂ}}. Il s’agit de montrer que, pour toute fonction f continue sur X(ℂ), la suite numérique (∫ fν_{n}) converge vers \frac{1}{e} ∫ fc_{1}(L̂) (les intégrales sont ici sur X(ℂ)).

Il suffit en fait de le vérifier pour f C^{∞} sur X(ℂ). Soit t ∈ ℝ. On pose L̂_{t} = (L̂; ∥ ∥e^{−tf/2}). D’après la proposition 2.5.1, on a, pour tout n ≥ 0, h′ ; L̂_{t}(E_{n}) = h′ ; L̂(E_{n}) + \frac{t}{2} ∫ fν_{n}. On en

déduit que

lim inf_{n→+∞} h′ ; L̂_{t}(E_{n}) = \frac{(L̂.L̂)}{2e} + lim inf_{n→+∞}(\frac{t}{2} ∫_{X(ℂ)} fν_{n})

D’autre part, d’après la proposition 2.5.2, on a

(L̂_{t}.L̂_{t}) = (L̂.L̂) + t ∫_{X(ℂ)} fc_{1}(L̂) − \frac{t^{2}}{2} ∥f∥_{Dir}^{2}

Alors, d’après la proposition 4.1.1, on a: lim inf h′ ; L̂_{t}(E_{n}) ≥ \frac{(L̂_{t}.L̂_{t})}{2e}. En remplaçant les deux membres, on trouve

lim inf_{n→+∞}(t ∫_{X(ℂ)} fν_{n}) ≥ \frac{t}{e} ∫_{X(ℂ)} fc_{1}(L̂) − \frac{t^{2}}{2e}∥f∥_{Dir}^{2}

En faisant tendre t vers 0:

- par valeurs supérieures, on obtient: lim inf ∫ fν_{n} ≥ \frac{1}{e} ∫ fc_{1}(L̂);

- par valeurs inférieures, on obtient: lim sup ∫ fν_{n} ≤ \frac{1}{e} ∫ fc_{1}(L̂).

On en déduit le résultat.

Définition: Soit L̂ ∈ P̂ ic(C^{0}; X). hL̂ est une bonne hauteur sur X lorsque: deg(L_{K}) > 0, c_{1}(L̂) est une mesure positive, et L est verticalement positif.

4.2 Théorème de Rumely effectif

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. Posons B = Spec(O_{K}). Pour un point fermé b de B, on note N_{b} le cardinal du corps résiduel k(b), X_{b} la fibre au dessus de b, et n_{b} le nombre de composantes irréductibles de X_{b}. Soit J l’ensemble des points fermés b de B tels que X a mauvaise réduction en b. J est fini. On pose aussi

κ_{X} = ∑_{b∈J}(n_{b} − 1) ln N_{b}

Lemme 4.2.1: Soit A = [a_{ij}] une matrice (n; n) (n ≥ 2) à coefficients entiers vérifiant toutes les conditions suivantes:

- A est symétrique;

- i ≠ j ⇒ a_{ij} ≤ 0;

- ∀j ∑_{j=1}^{n} a_{ij} = 0;

- i et j sont dits adjacents lorsque a_{ij} ≤ −1. Alors pour tout i, il existe i_{0}; …; i_{q} tels que i_{0} = i, i_{q} = n, et pour tout k, i_{k−1} et i_{k} sont adjacents.

Soit A′ la matrice (n−1; n−1) extraite de A en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne. Alors A′ est inversible et tous les coefficients de A^{′−1} sont dans [0; n − 1].

Démonstration: On vérifie que A′ est symétrique définie positive, donc inversible. Posons B = [b_{ij}] l’inverse de A′.

On construit un circuit électrique à n sommets, numérotés de 1 à n, de la manière suivante: Pour tout (i; j) tel que a_{ij} ≤ −1, on place entre les sommets i et j une résistance de −\frac{1}{a_{ij}} Ohm.

Le circuit ainsi obtenu est connexe. On fixe la masse du circuit au sommet n.

Soit maintenant un sommet j fixé. On applique un courant de 1 Ampère entrant en j et sortant en n. Alors b_{ij} est la tension en Volts au sommet i. La théorie des circuits électriques linéaires montre les faits suivants:

- La tension est minimale en n et maximale en j, c’est-à-dire 0 ≤ b_{ij} ≤ b_{jj}.

- Dans chaque branche, l’intensité du courant est inférieure à 1 Ampère. Les résistances étant toutes inférieures à 1 Ohm, on en déduit que la différence de tension entre 2 sommets adjacents est inférieure à 1 Volt.

En considérant un chemin reliant j à n et passant par au plus n − 1 branches, on voit que l’on a b_{jj} ≤ n − 1. D’où le résultat.

Lemme 4.2.2: Soit L ∈ P ic(X) verticalement positif tel que deg(L_{K}) > 0. Alors il existe n_{0} ≥ 1 et V_{0} un diviseur de Weil effectif à composantes verticales tels que L^{⊗n_{0}}(V_{0}) est ample.

Théorème 4.2.3: Soit L̂ = (L; ∥ ∥) ∈ P̂ ic(C^{0}; X) tel que hL̂ est une bonne hauteur sur X. Soit Z un fermé de X tel que l’application X − Z → B est surjective, et ϵ > 0. Alors X − Z admet un point entier E tel que

h′ ; L̂(E) ≤ \frac{(L̂.L̂)}{deg(L_{K})} − A(L̂) + κ_{X}deg(L_{K}) + ϵ

Démonstration:

Etape 1: Quitte à l’agrandir, on peut supposer que Z est purement de dimension 1, et que pour tout point fermé b de B, Z contient exactement n_{b} − 1 composantes irréductibles de X_{b}. On peut également supposer que Z a au moins une composante horizontale.

Soit F -resp. V - la réunion des diviseurs premiers horizontaux -resp. verticaux- contenus dans Z. On verra aussi F comme un sous-schéma fermé réduit de X.

D’après le lemme 4.2.2, il existe n_{0} ≥ 1 et V_{0} à composantes verticales tels que L^{⊗n_{0}}(V_{0}) est ample. Alors pour tout n_{1} ≥ n_{0}, L^{⊗n_{1}}(V_{0}) est ample. On choisit n_{1} tel que deg(L_{K})ϵn_{1} ≥ 2(L.V_{0}), et on pose L̂_{1} = L̂^{⊗n_{1}} ⊗Ô_{X}(V_{0}). Soit h tel que F̂ = (F; h) est un diviseur d’Arakelov C^{∞} effectif. Posons N̂ = Ô_{X}(−F̂), et N = [K : ℚ].

Etape 2: On cherche un ℚ-diviseur de Weil effectif D de support V tel que, pour tout diviseur premier C contenu dans V, on a (L_{1}.C) + (D.C) = 0.

Soit b ∈ J. Si n_{b} = 1, on pose D_{b} = 0.

Supposons maintenant n_{b} ≥ 2. Soient C_{1}; …; C_{n_{b}} les composantes irréductibles de X_{b},

avec C_{i} ⊂ V pour 1 ≤ i ≤ n_{b} − 1. Soit m_{i} la multiplicité de C_{i} dans X_{b}: X_{b} = ∑_{i=1}^{n_{b}} m_{i}C_{i}.

On cherche D_{b} = ∑_{j=1}^{n_{b}−1} λ_{j}m_{j}C_{j} tel que pour 1 ≤ i ≤ n_{b} − 1, on a (C_{i}.D_{b}) = −(C_{i}.L_{1}). En

posant

a_{ij} = \frac{−1}{ln N_{b}} (m_{i}C_{i}.m_{j}C_{j}) et δ_{i} = \frac{1}{ln N_{b}} (m_{i}C_{i}.L_{1}) > 0 ,

cela revient à résoudre le système: ∑_{j=1}^{n_{b}−1} a_{ij}λ_{j} = δ_{i} pour 1 ≤ i ≤ n_{b} − 1.

Or la matrice A = [a_{ij}] vérifie les conditions du lemme 4.2.1, donc le système précédent admet une solution (λ_{1}; …; λ_{n_{b}−1}), avec

0 < λ_{j} ≤ ∑_{i=1}^{n_{b}−1}(n_{b} − 1)δ_{i} ≤ \frac{n_{b} − 1}{ln N_{b}}(X_{b}.L_{1}) = (n_{b} − 1)deg(L_{K})n_{1}

On obtient ainsi le D_{b} cherché. On remarque que

(D_{b}.L) = ∑_{j=1}^{n_{b}−1} λ_{j}(m_{j}C_{j}.L) ≤ (n_{b} − 1)deg(L_{K})n_{1}(X_{b}.L) = (deg(L_{K}))^{2}n_{1}(n_{b} − 1) ln N_{b}

Alors D = ∑_{b∈J} D_{b} est le ℚ-diviseur de Weil cherché. On remarque que l’on a l’inégalité

(D.L) ≤ κ_{X}(deg(L_{K}))^{2}n_{1}.

Prenons n_{2} ≥ 1 tel que D_{1} = n_{2}D est un diviseur de Weil (à coefficients entiers), et posons M̂ = L̂_{1}^{⊗n_{2}} ⊗ Ô_{X}(D_{1}).

Etape 3: Pour toute composante C de D_{1}, on a −(D_{1}.C) = n_{2}(L_{1}.C) > 0. On en déduit que O_{X}(−D_{1})_{|D_{1}} est ample sur D_{1} (cf proposition 3.1.1). Il existe donc n_{3} ≥ 1 tel que pour tout n ≥ n_{3}, on a H^{1}(D_{1}; O_{X}(−nD_{1} − F)_{|D_{1}}) = 0. On en déduit par récurrence les propriétés suivantes, pour tout n ≥ n_{3}:

- Le morphisme Γ(nD_{1} + F; O_{nD_{1}+F}^{∗}) → Γ(n_{3}D_{1} + F; O_{n_{3}D_{1}+F}^{∗}) est surjectif;

- Le morphisme P ic(nD_{1} + F) → P ic(n_{3}D_{1} + F) est un isomorphisme.

D’après la proposition 1.3.6, P ic^{0}(n_{3}D_{1} + F) est fini, donc il existe n_{4} ≥ 1 tel que M_{|n_{3}D_{1}+F}^{⊗n_{4}} ≃ O_{n_{3}D_{1}+F}.

Alors, d’après la proposition 1.3.3 et la remarque 1.3.5, pour tout n ≥ n_{3}, il existe u_{n} ∈ Γ(n_{4}nD_{1} + F; M_{|n_{4}nD_{1}+F}^{⊗n_{4}n}) tel que u_{n} ne s’annule en aucun point de n_{4}nD_{1} + F et

max_{F (ℂ)}∥u_{n}∥ ≤ exp(c − \frac{A(M̂)}{N}n_{4}n)

où c est une constante.

Etape 4: Par l’amplitude de L_{1}, on a, pour tout n assez grand, la suite exacte suivante:

0 → Γ(X; L_{1}^{⊗n_{2}n} ⊗ N) → Γ(X; M^{⊗n}) → Γ(Z; M_{|nD_{1}+F}^{⊗n}) → 0 (∗)

Donc, pour tout n assez grand, il existe s_{n} ∈ Γ(X; M^{⊗n_{4}n}) tel que s_{n|n_{4}nD_{1}+F} = u_{n}. En outre, par application de la proposition 3.3.5, pour tout n assez grand, il existe s′_{n} ∈

Γ(X; M^{⊗n_{4}n})_{ℝ} tel que s′_{n|F_{ℂ}} = u_{nℂ} et

max_{X(ℂ)}∥s′_{n}∥ ≤ e^{ϵ′n} max_{F (ℂ)}∥u_{n}∥

où l’on a posé ϵ′ = \frac{1}{4N} n_{1}n_{2}n_{4}ϵ.

Alors (s′_{n} − s_{n})_{|F_{ℂ}} = 0, donc s′_{n} − s_{n} ∈ Γ(X; L_{1}^{⊗n_{2}n_{4}n} ⊗ N)_{ℝ} d’après la suite exacte (∗) tensorisée.

D’après la proposition 4.1.3, Γ(X; L_{1}^{⊗n_{2}n_{4}n} ⊗ N) admet une ℤ-base (e_{1}; …; e_{r}) telle que pour tout i, on a

max_{X(ℂ)}∥e_{i}∥ ≤ exp(−\frac{A(L̂_{1})}{N}n_{2}n_{4}n + ϵ′n)

s′_{n} − s_{n} s’écrit alors s′_{n} − s_{n} = ∑_{i=1}^{r} λ_{i}e_{i} avec les λ_{i} réels. Soit μ_{i} l’entier le plus proche de

λ_{i}, et t_{n} = s_{n} + ∑_{i=1}^{r} μ_{i}e_{i}. t_{n} est une section globale de M^{⊗n_{4}n}.

La norme de M̂^{⊗k} étant plus petite que celle de L̂_{1}^{⊗n_{2}k} ⊗ N̂, on a

max_{X(ℂ)}∥s′_{n} − t_{n}∥ ≤ \frac{r}{2} exp(−\frac{A(L̂_{1})}{N}n_{2}n_{4}n + ϵ′n)

De plus, on a A(M̂) ≥ A(L̂_{1})n_{2}. On en déduit que

max_{X(ℂ)}∥t_{n}∥ ≤ (\frac{r}{2} + e^{c}) exp(−\frac{A(L̂_{1})}{N}n_{2}n_{4}n + ϵ′n)

D’après le théorème de Riemann-Roch sur X_{K}, on a r = O(n). Donc pour n assez grand, on a \frac{r}{2} + e^{c} ≤ e^{ϵ′n}.

Etape 5: On a t_{n|n_{4}nD_{1}+F} = u_{n}, donc le support de div(t_{n}) est disjoint de Z. Ecrivons div(t_{n}) = ∑_{i} l_{i}W_{i} + ∑_{j} p_{j}E_{j} avec les W_{i} premiers verticaux et les E_{j} premiers horizontaux.

Soit j_{0} tel que h′ ; L̂(E_{j_{0}}) = min_{j} h′ ; L̂(E_{j}), et E = E_{j_{0}}. Alors, à l’aide de la proposition 2.5.2, on

obtient

n_{4}n(M̂.L̂) = ∑_{i} l_{i}hL̂(W_{i}) + ∑_{j} p_{j}deg(E_{jK})h′ ; L̂(E_{j}) − ∫_{X(ℂ)} ln ∥t_{n}∥c_{1}(L̂)

≥ h′ ; L̂(E)deg(M_{K})n_{4}n + A(L̂_{1})deg(L_{K})n_{2}n_{4}n − 2deg(L_{K})Nϵ′n

Or deg(M_{K}) = deg(L_{K})n_{1}n_{2}, A(L̂_{1}) ≥ A(L̂)n_{1}, et

(L̂.M̂) = (L̂.L̂)n_{1}n_{2}+(L.V_{0})n_{2}+(L.D_{1}) ≤ (L̂.L̂)n_{1}n_{2}+ \frac{1}{2}deg(L_{K})ϵn_{1}n_{2}+κ_{X}(deg(L_{K}))^{2}n_{1}n_{2}

Après simplifications, on obtient bien

h′ ; L̂(E) ≤ \frac{(L̂.L̂)}{deg(L_{K})} − A(L̂) + κ_{X}deg(L_{K}) + ϵ

Remarque 4.2.4: La condition X − Z → B surjective est nécessaire à l’existence d’un point entier sur X − Z. Par ailleurs, la borne pour la hauteur dans le théorème 4.2.3 est indépendante de Z. On en déduit aisément qu’il existe en fait une infinité de points entiers sur X − Z de hauteur ainsi bornée.

4.3 Théorie du potentiel

Soit M une surface de Riemann compacte connexe, munie de sa forme volume canonique μ. On continue d’utiliser les notations du paragraphe 2.1 concernant les fonctions de Green sur M. Par ailleurs, on pose

[P; Q]_{x} = exp[\frac{1}{2}[g(P; x) + g(Q; x) − g(P; Q)]]

Ceci mesure la “pseudo-distance” entre P et Q (c’est l’analogue de la distance induite par la valeur absolue sur ℂ).

Soit maintenant K un compact non vide de M, et x ∈ M − K. Pour une mesure de probabilité ν sur M à support inclus dans K, on pose

u_{ν}(P) = − ∫_{K} ln[P; Q]_{x}dν(Q)

u_{ν} est la fonction potentiel de ν. On a les propriétés suivantes (cf [17], [19]):

Proposition 4.3.1: u_{ν} est harmonique sur M − (K ∪ {x}), sur-harmonique sur M − {x}. Au voisinage de x, on a u_{ν} = −\frac{1}{2}g_{x} + α avec α C^{∞} au voisinage de x et nulle en x. De plus, on a \frac{i}{π} ∂\overline{∂}u_{ν} = δ_{x} − ν au sens des courants.

On définit ensuite l’intégrale d’énergie de ν:

I(ν) = ∫_{K} u_{ν}dν = − ∫_{K} ∫_{K} ln[P; Q]_{x}dν(Q)dν(P)

Le potentiel de K par rapport à x est V_{x}(K) = inf_{ν}[I(ν)]. La capacité de K par rapport

à x est γ_{x}(K) = e^{−V_{x}(K)}.

Si γ_{x}(K) > 0 (ie si V_{x}(K) ≠ +∞), il existe une et une seule mesure de probabilité μ_{K;x} réalisant l’inf dans V_{x}(K). μ_{K;x} est appelée la distribution à l’équilibre. On note u_{K;x} = u_{μ_{K;x}}.

Proposition 4.3.2: Soit D_{x} la composante connexe de M − K contenant x. Alors:

- Sur M − \overline{D_{x}}, u_{K;x} est constante égale à V_{x}(K).

- Sur ∂D_{x}, on a u_{K;x} ≤ V_{x}(K) avec inégalité stricte seulement sur un ensemble de capacité nulle.

- Sur D_{x}, on a en tout point u_{K;x} < V_{x}(K).

Remarque 4.3.3: K et ∂D_{x} ont même capacité, même distribution d’équilibre, et même potentiel conducteur.

On suppose γ_{x}(K) > 0. On définit la fonction potentiel conducteur de K par rapport à x: g_{K;x}(P) = 2(V_{x}(K) − u_{K;x}(P)).

Proposition 4.3.4: Soient P et Q deux points distincts de M − K. Alors g_{K;Q}(P) = g_{K;P} (Q). On pose g_{K}(P; Q) = g_{K;P} (Q). Alors g_{K} est continue sur (M − K)^{2} − Δ, où Δ désigne la diagonale de (M − K)^{2}.

Proposition 4.3.5: Soit P ∈ ∂D_{x}. Soit C la composante connexe de ∂D_{x} contenant P. Si C ≠ {P }, alors g_{K;x} est continue en P et g_{K;x}(P) = 0.

Si K est la réunion (non vide) de parties connexes non réduites à un point, on dit que K est à bord régulier. Alors pour tout x ∈ M − K, on a γ_{x}(K) > 0.

Pour D = ∑ n_{P} [P] un diviseur sur M, on notera g_{K;D} = ∑ n_{P} g_{K;P} la fonction potentiel conducteur de K par rapport à D, et μ_{K;D} = ∑ n_{P} μ_{K;P} la distribution à l’équilibre correspondante.

4.4 Lien entre intersection et potentiel

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre ≥ 1. On utilise les notations du paragraphe 4.3. Soit D un diviseur de Weil sur X, et K un compact de X(ℂ) invariant par conjugaison complexe. Pour σ ∈ G_{K}, on note K_{σ} = X_{σ}(ℂ) ∩ K. On suppose K à bord régulier (ie pour tout σ ∈ G_{K}, K_{σ} est à bord régulier), et disjoint du support de D_{ℂ}. Soit g_{K;D} la fonction sur X(ℂ) égale à la fonction potentiel conducteur g_{K_{σ};D_{σ}} sur X_{σ}(ℂ), et L̂ = Ô_{X}(D; g_{K;D}). Pour σ ∈ G_{K}, écrivons D_{σ} sous la forme D_{σ} = ∑_{P} n_{P}^{σ} [P].

Proposition 4.4.1: On a les formules suivantes:

(L̂.L̂) = (D.D) + ∑_{σ}[∑_{P} n_{P}^{σ2}V_{P} (K_{σ}) + \frac{1}{2} ∑_{{P;Q \atop P ≠Q}} n_{P}^{σ} n_{Q}^{σ}(g_{K_{σ}}(P; Q) − g_{σ}(P; Q))]

∀σ ∈ G_{K} c_{1}(L̂_{σ}) = μ_{K_{σ};D_{σ}} = ∑_{P} n_{P}^{σ} μ_{K_{σ};P}

4.5 Théorèmes d’approximation

On conserve les notations du paragraphe 4.3. On a les résultats suivants (cf [19] pages 167 et 173-174):

Proposition 4.5.1: Soit K_{0} un compact à bord régulier de M, U un ouvert de M contenant K_{0}, Y une partie finie de M − U, et ϵ > 0. Il existe alors un compact à bord régulier K contenu dans U tel que M − K est connexe et:

∀x ∈ Y ∀P ∈ M  |g_{K;x}(P) − g_{K_{0};x}(P)| ≤ ϵ

S’il existe une courbe algébrique réelle régulière M′ telle que M = M′_{ℂ}, et si Y et K_{0} sont invariants par conjugaison complexe, alors on peut imposer à K d’être invariant par conjugaison complexe.

Théorème 4.5.2: Soit K un compact à bord régulier tel que M − K est connexe, U un ouvert de M contenant K, Y = {x_{1}; …; x_{r}} une partie finie de M − U, et ϵ > 0. Alors il existe δ > 0 vérifiant la propriété suivante:

Soit D un diviseur effectif de support Y, et L̂ le faisceau inversible O_{X}(D) muni de la structure hermitienne C^{0} telle que ∥1∥ = exp[−\frac{1}{2}g_{K;D}]. Notons e = deg(D). Pour 1 ≤ i ≤ r, soit u_{i} ∈ Γ(x_{i}; L_{|x_{i}}) tel que e^{−δe} ≤ ∥u_{i}∥ ≤ e^{δe}. Alors il existe n ≥ 1 et s ∈ Γ(M; L^{⊗n}) tels que:

- Pour tout i, on a s_{|x_{i}} = u_{i}^{⊗n};

- ∀P ∈ M ∥s(P)∥ ≤ e^{ϵen};

- ∀P ∈ M − U ∥s(P)∥ ≥ e^{−ϵen}.

S’il existe une courbe algébrique réelle régulière M′ telle que M = M′_{ℂ}, et si Y, K, D, (u_{i}) sont invariants par conjugaison complexe, alors on peut imposer à s d’être invariant par conjugaison complexe.

4.6 Théorème de type Fekete-Szegö

Soit X une surface arithmétique régulière sur O_{K}, avec X_{K} de genre g^{1} ≥ 1. On note α : X(ℂ) → X(ℂ) la conjugaison complexe.

On s’intéresse ici au problème suivant:

On se donne un fermé de Zariski Z de X purement de dimension 1, et un compact à bord régulier K de X(ℂ) invariant par α. On suppose Z(ℂ) et K disjoints, et tous deux non vides. Sous des conditions suffisantes (heuristiquement, on demande à K d’être assez “gros”), on cherche, pour tout ouvert U de X(ℂ) contenant K, un point entier E sur X − Z, tel que E_{ℂ} est à support dans U, avec un contrôle de la hauteur de E.

Dans ce paragraphe et dans le suivant (4.7), on utilisera les notations suivantes:

Soit Z_{1}; …; Z_{r} les composantes de Z, avec Z_{1}; …; Z_{q} horizontales et Z_{q+1}; …; Z_{r} verticales. Pour σ ∈ G_{K}, on note K_{σ} = X_{σ}(ℂ) ∩ K. Pour 1 ≤ i ≤ q, soit g_{K;i} la fonction sur X(ℂ) égale à g_{K_{σ};Z_{iσ}} sur X_{σ}(ℂ), et Ẑ_{i} = (Z_{i}; g_{K;i}). Pour q + 1 ≤ i ≤ r, on pose Ẑ_{i} = (Z_{i}; 0).

On note alors A la matrice (r; r) de coefficients [(Ẑ_{i}.Ẑ_{j})]. A est symétrique réelle, à coefficients non diagonaux positifs.

Dans tout ce paragraphe, on suppose A définie négative. A^{−1} est alors à coefficients négatifs. Soit R le vecteur colonne de i-ème coordonnée: −[k(Z_{i}) : K] si 1 ≤ i ≤ q, 0 si q + 1 ≤ i ≤ r.

On note (λ_{i}) les coordonnées du vecteur A^{−1}R, et d = ∑_{i=1}^{q} λ_{i}[k(Z_{i}) : K]. On a λ_{i} > 0 pour

1 ≤ i ≤ q, et λ_{i} ≥ 0 pour q + 1 ≤ i ≤ r.

Théorème 4.6.1: On conserve les notations précédentes et l’hypothèse A définie négative. Soit U un ouvert de X(ℂ) contenant K, hM̂ une bonne hauteur sur X, et ϵ > 0. Alors X − Z admet un point entier E tel que E(ℂ) ⊂ U et

h′ ; M̂(E) ≤ \frac{1}{d} ∑_{i=1}^{r} λ_{i}(M̂.Ẑ_{i}) + \frac{1}{d}deg(M_{K}) + ϵ

Démonstration:

Etape 1: Quitte à restreindre U, on peut supposer U et Z(ℂ) disjoints. En utilisant la continuité de l’application A ↦ A^{−1} et la proposition 4.5.1, on peut se ramener au cas où pour tout σ ∈ G_{K}, X_{σ}(ℂ) − K_{σ} est connexe, ce que l’on suppose désormais.

On pose N = [K : ℚ], F̂ = ∑_{i=1}^{q} Ẑ_{i}, et N̂ = Ô_{X}(−F̂). On pose aussi T_{0} = max_{i;j} |(Ẑ_{i}.Ẑ_{j})|, et

c_{0} = N \frac{deg(F_{K})}{8rT_{0}}. Quitte à changer ϵ, on supposera ϵ ≤ \frac{1}{2c_{0}} et ϵ ≤ \frac{1}{6Nd}.

D’après le théorème 4.5.2, il existe δ > 0 (δ ≤ ϵ) vérifiant la propriété suivante:

Soit L̂ de la forme L̂ = Ô_{X}(∑_{i=1}^{q} β_{i}Ẑ_{i} + V ), avec β_{i} ≥ 1 et V à composantes verticales.

Posons e = deg(L_{K}). Soit u ∈ Γ(F_{ℂ}; L_{|F_{ℂ}}) invariant par α, tel que ∀P ∈ F (ℂ) e^{−δe} ≤ ∥u(P)∥ ≤ e^{δe}. Alors il existe n ≥ 1 et s ∈ Γ(X_{ℂ}; L_{ℂ}^{⊗n}) invariant par α, tel que:

- s_{|F_{ℂ}} = u^{⊗n};

- ∀P ∈ X(ℂ) ∥s(P)∥ ≤ e^{ϵen};

- ∀P ∈ X(ℂ) − U ∥s(P)∥ ≥ e^{−ϵen}.

Etape 2: On considère le système de r − q équations à r inconnues (ν_{1}; …; ν_{r}) suivant:

∀i ∈ {q + 1; …; r}  ∑_{j=1}^{r}(Ẑ_{i}.Ẑ_{j})ν_{j} = 0

Soit L l’espace des solutions dans ℚ^{r}, et L_{1} l’espace des solutions dans ℝ^{r}. Les coefficients de l’équation i sont tous des multiples entiers de ln N_{b_{i}} pour un b_{i} ∈ Spec(O_{K}). On en déduit que L_{1} = L ⊗_{ℚ} ℝ. Donc L est dense dans L_{1}. Or (λ_{1}; …; λ_{r}) ∈ L_{1}, et λ_{i} > 0 pour tout 1 ≤ i ≤ q. Donc, en notant η = \frac{Ndδ}{8rT_{0}} , il existe (ν_{1}; …; ν_{r}) ∈ L tel que |ν_{i} − λ_{i}| ≤ η pour 1 ≤ i ≤ r et \frac{λ_{i}}{2} ≤ ν_{i} ≤ 2λ_{i} pour 1 ≤ i ≤ q. Alors, on a automatiquement ν_{i} ≥ 0 pour tout 1 ≤ i ≤ r (car A[ν_{i}] est à coordonnées négatives).

Soit n_{0} ≥ 1 tel que pour tout 1 ≤ i ≤ r, n_{0}ν_{i} est un entier. D’après le lemme 4.2.2, il existe

V_{0} un diviseur effectif à composantes verticales et n_{1} ≥ 1 tels que le diviseur n_{1} ∑_{j=1}^{q} n_{0}ν_{j}Z_{j} +V_{0}

est ample.

Soit maintenant (ν′_{q+1}; …; ν′_{r}) la solution du système suivant:

∀i ∈ {q + 1; …; r}  ∑_{j=q+1}^{r}(Z_{i}.Z_{j})ν′_{j} = −(Z_{i}.V_{0})

Alors chaque ν′_{i} est rationnel et positif. Soit n_{2} ≥ 1 tel que pour tout q + 1 ≤ i ≤ r,

n_{2}ν′_{i} est un entier. Soit n_{3} ≥ n_{1}n_{2} tel que \frac{Nδdn_{0}}{8n_{2}} n_{3} ≥ (V_{0}.F) + T_{0} ∑_{j} ν′_{j} et \frac{n_{0}ϵ}{n_{2}}n_{3} ≥ (V_{0}.M) +

∑_{j} ν′_{j}(Z_{j}.M). On pose alors

L̂_{1} = Ô_{X}(n_{3} ∑_{j=1}^{q} n_{0}ν_{j}Ẑ_{j} + n_{2}V_{0}) , D = ∑_{j=q+1}^{r}(n_{3}n_{0}ν_{j} + n_{2}ν′_{j})Z_{j} , L̂ = L̂_{1} ⊗ Ô_{X}(D) .

On note également e = deg(L_{K}) = n_{3}n_{0} ∑_{j=1}^{q} ν_{j}[k(Z_{j}) : K].

Résumons les propriétés des objets construits:

- L_{1} est ample sur X;

- Pour 1 ≤ i ≤ q, on a |h′ ; L̂(Z_{i}) + n_{0}n_{3}| ≤ Ne\frac{δ}{2};

- Pour q + 1 ≤ i ≤ r, on a (L.Z_{i}) = 0;

- D est effectif de support ⋃_{i=q+1}^{r} Z_{i}.

Pour démontrer la deuxième propriété, on écrit:

hL̂(Z_{i}) + n_{0}n_{3}[k(Z_{i}) : K] = n_{0}n_{3} ∑_{j=1}^{r}(ν_{j} − λ_{j})(Ẑ_{i}.Ẑ_{j}) + n_{2}(V_{0}.Z_{i}) + n_{2} ∑_{j=q+1}^{r} ν′_{j}(Ẑ_{i}.Ẑ_{j})

puis on majore chaque terme:

|hL̂(Z_{i}) + n_{0}n_{3}[k(Z_{i}) : K]| ≤ n_{0}n_{3}ηrT_{0} + n_{2}(V_{0}.F) + n_{2}T_{0} ∑_{j} ν′_{j} ≤ Ne\frac{δ}{2}

Etape 3: On procède ici comme dans l’étape 3 de la démonstration du théorème 4.2.3: O_{X}(−D)_{|D} est ample sur D, donc il existe n_{4} ≥ 1 tel que pour tout n ≥ n_{4}, on a

H^{1}(D; O_{X}(−nD − F)_{|D}) = 0. On en déduit, pour tout n ≥ n_{4}, les propriétés suivantes:

- Le morphisme Γ(nD + F; O_{nD+F}^{∗}) → Γ(n_{4}D + F; O_{n_{4}D+F}^{∗}) est surjectif;

- Le morphisme P ic(nD + F) → P ic(n_{4}D + F) est un isomorphisme.

D’après la proposition 1.3.6, P ic^{0}(n_{4}D+F) est fini, donc il existe n_{5} ≥ 1 tel que L_{|n_{4}D+F}^{⊗n_{5}} ≃ O_{n_{4}D+F}. Alors, d’après la proposition 1.3.3 et l’étape 2, pour tout n ≥ n_{4}, il existe u_{n} ∈ Γ(n_{5}nD + F; L_{|n_{5}nD+F}^{⊗n_{5}n}) tel que u_{n} ne s’annule en aucun point de n_{5}nD + F et

∀P ∈ F (ℂ) exp(−c + \frac{n_{0}n_{3}n_{5}}{N} n − n_{5}ne\frac{δ}{2}) ≤ ∥u_{n}(P)∥ ≤ exp(c + \frac{n_{0}n_{3}n_{5}}{N} n + n_{5}ne\frac{δ}{2})

où c ≥ 0 est une constante. On peut supposer c ≥ 1.

Par l’amplitude de L_{1}, on choisit n_{6} ≥ n_{4} tel que pour tout n ≥ n_{6}, on a H^{1}(X; L_{1}^{⊗n_{5}n} ⊗ N) = 0; on peut aussi supposer que n_{5}n_{6}eδ ≥ 2c et n_{6} ≥ 2g^{1} − 1. Alors, d’après l’étape 1, il existe n_{7} ≥ 1 et s_{0} ∈ Γ(X; L^{⊗n_{5}n_{6}n_{7}})_{ℝ} tel que, en posant m = n_{5}n_{6}n_{7}, on a:

- s_{0|F_{ℂ}} = u_{ℂ};

- ∀P ∈ X(ℂ) ∥s_{0}(P)∥ ≤ exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} m + meϵ);

- ∀P ∈ X(ℂ) − U ∥s_{0}(P)∥ ≥ exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} m − meϵ).

Soit u ∈ Γ(mD + F; L_{mD+F}^{⊗m}) ne s’annulant en aucun point de mD + F et tel que u_{|n_{5}n_{6}D+F} = u_{n_{6}}^{⊗n_{7}}.

Par ailleurs, on a la suite exacte de ℤ-modules libres suivante:

0 → Γ(X; L_{1}^{⊗m} ⊗ N) → Γ(X; L^{⊗m}) → Γ(mD + F; L_{|mD+F}^{⊗m}) → 0

Il existe donc s_{1} ∈ Γ(X; L^{⊗m}) tel que s_{1|mD+F} = u. Alors s_{1} − s_{0} ∈ Γ(X; L_{1}^{⊗m} ⊗ N)_{ℝ}. Par densité de Γ(X; L_{1}^{⊗m} ⊗ N)_{ℚ} dans Γ(X; L_{1}^{⊗m} ⊗ N)_{ℝ}, il existe s_{2} ∈ Γ(X; L_{1}^{⊗m} ⊗ N)_{ℚ} tel que, en posant s = s_{1} + s_{2}, on a:

- ∀P ∈ X(ℂ) ∥s(P)∥ ≤ exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} m + 2meϵ);

- ∀P ∈ X(ℂ) − U ∥s(P)∥ ≥ exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} m − 2meϵ). s est une section rationnelle de L^{⊗m}.

Etape 4: D’après l’étape 1, L̂^{⊗m} s’écrit L̂^{⊗m} = Ô_{X}(∑_{i=1}^{k} D̂_{i}), où pour chaque i, D̂_{i} est l’un

des Ẑ_{j} (pour un j ∈ {1; …; r}) ou bien l’une des composantes (verticales) de V_{0}. Pour a ≥ 0 et 1 ≤ b ≤ k, on pose

Γ_{ak+b} = Γ(X; L^{⊗ma}(∑_{i=1}^{b} D_{i}))  et  Γ′_{ak+b} = Γ(D_{b}; L^{⊗ma}(∑_{i=1}^{b} D_{i})_{|D_{b}}) .

Pour tout n ≥ k + 1, on a les suites exactes suivantes:

0 → Γ_{n−1} → Γ_{n} → Γ′_{n}  et  0 → Γ_{n−1ℚ} → Γ_{nℚ} → Γ′_{nℚ} → 0

Soit (f_{k;i})_{i} une ℚ-base de Γ_{kℚ} contenue dans Γ_{k}. Pour tout k + 1 ≤ n ≤ 2k, soit (f_{n;i})_{i} des éléments de Γ_{n} dont les images dans Γ′_{nℚ} en forment une ℚ-base.

Posons T_{1} = max_{P ∈X(ℂ)} ∑_{b=k}^{2k} ∑_{j} ∥f_{b;j}(P)∥, et T_{2} = exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} m − 2meϵ). On a 3Neϵ ≤ n_{0}n_{3},

donc T_{2} > 1. Soit v ≥ 1 tel que T_{2}^{v} ≥ \frac{2T_{1}}{T_{2}−1}.

D’après l’étape 3, on a s = s_{1} + s_{2}, avec s_{1} ∈ Γ_{k} et s_{2} ∈ Γ(X; L_{1}^{⊗m} ⊗ N)_{ℚ}. Donc s_{2} s’écrit s_{2} = \frac{1}{Q}s_{3}, avec s_{3} ∈ Γ(X; L_{1}^{⊗m} ⊗ N) et Q ≥ 1. Alors pour tout n ≥ 1, on a

s^{⊗n} = ∑_{i=0}^{n} \frac{C_{n}^{i}}{Q^{i}} s_{1}^{⊗(n−i)} ⊗ s_{3}^{⊗i}

A i ≥ 1 fixé, \frac{C_{n}^{i}}{Q^{i}} est un polynôme en n à coefficients rationnels et admettant 0 comme

racine. Il existe donc w ≥ 1 tel que pour tout i ∈ \{1; …; mv\}, \frac{C_{w}^{i}}{Q^{i}} est un entier. Alors, en posant

s′ = ∑_{i=0}^{v−1} \frac{C_{w}^{i}}{Q^{i}} s_{1}^{w−i}s_{3}^{i}  et  t = ∑_{i=v}^{w} \frac{C_{w}^{i}}{Q^{i}} s_{1}^{w−i}s_{3}^{i}

(les produits et puissances sont ici tensoriels), on a s^{⊗w} = s′+t, avec s′ ∈ Γ_{wk}, s′_{|mD+F} = u^{⊗w}, et t ∈ Γ_{(w−v)kℚ}.

On construit 3 suites (s′_{i}), (t_{i}), (t′_{i}) par récurrence descendante sur i:

On pose t_{wk−vk} = t_{n} ∈ Γ_{wk−vkℚ}. Soit i ∈ {k + 1; …; wk − vk}. On écrit i sous la forme i = ak + b, avec a ≥ 1 et 1 ≤ b ≤ k. On a 2 cas:

- Si D_{b} est vertical, alors Γ_{i−1ℚ} = Γ_{iℚ}. On pose donc s′_{i} = 0, t′_{i} = 0, et t_{i−1} = t_{i}.

- On suppose maintenant D_{b} horizontal. u_{|D_{b}}^{1−a} ⊗ t_{i|D_{b}} est un élément de Γ′_{k+bℚ} (u_{|D_{b}}^{−1} est une section bien définie de L_{|D_{b}}^{⊗−m} car u est partout non nulle le long de D_{b}), donc il s’écrit ∑_{j} z_{j}f_{k+b;j|D_{b}} avec les z_{j} rationnels. Soit z′_{j} l’entier le plus proche de z_{j}. On pose alors

s′_{i} = s_{1}^{a−1} ∑_{j} z′_{j}f_{k+b;j}, t′_{i} = s^{a−1} ∑_{j}(z_{j} − z′_{j})f_{k+b;j}, et t_{i−1} = t_{i} − s′_{i} − t′_{i}. On a s′_{i} ∈ Γ_{i}, t′_{i} ∈ Γ_{iℚ},

et t_{i−1}|D_{b} = 0 dans Γ′_{iℚ} donc t_{i−1} ∈ Γ_{i−1ℚ}. On remarque aussi que ∥t′_{i}∥ ≤ ∥s∥^{a−1} \frac{1}{2} ∑_{j} ∥f_{k+b;j}∥.

On a t_{k} ∈ Γ_{kℚ}, donc t_{k} s’écrit t_{k} = ∑_{j} z_{j}f_{k;j} avec les z_{j} rationnels. Soit z′_{j} l’entier le plus

proche de z_{j}. On pose s′_{k} = ∑_{j} z′_{j}k_{k;j}, et t′_{k} = t_{k} − s′_{k}.

On pose finalement s̃ = s′ + ∑_{i=k}^{wk−vk} s′_{i}. s̃ est une section globale de L^{⊗mw}.

On a alors s^{⊗w} − s̃ = ∑_{i=k}^{wk−vk} t′_{i}, donc:

∥s^{⊗w} − s̃∥ ≤ T_{1} ∑_{a=1}^{w−v−1} ∥s∥^{a−1}∥1∥^{w−v−1−a} ≤ T_{1} ∑_{a=0}^{w−v−2} ∥s∥^{a}

où 1 est une section globale de L^{⊗m}.

- Soit P ∈ X(ℂ) − U. Alors on a ∥s^{⊗w}(P) − s̃(P)∥ ≤ \frac{T_{1}}{T_{2}−1}T_{2}^{−v}∥s(P)∥^{w} ≤ \frac{1}{2}∥s(P)∥^{w}. Donc ∥s̃(P)∥ ≥ \frac{1}{2}∥s(P)∥^{w} > 0. On en déduit que s̃_{ℂ} ne s’annule en aucun point de X(ℂ) − U.

- Soit P ∈ X(ℂ). On a, de manière similaire, ∥s^{⊗w}(P)−s̃(P)∥ ≤ \frac{1}{2} exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} mw+2mweϵ). On en déduit

∥s̃(P)∥ ≤ \frac{3}{2} exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} mw + 2mweϵ) ≤ exp(\frac{n_{0}n_{3}}{N} mw + 3mweϵ)

- Enfin, on a s̃_{|mD+F} = s′_{|mD+F} = u^{⊗w}, et mD + F est de support Z. Etape 5: On écrit div(s̃) = ∑_{i} l_{i}W_{i} + ∑_{j} p_{j}E_{j} avec les W_{i} premiers verticaux et les E_{j}

premiers horizontaux. Soit j_{0} tel que h′ ; M̂(E_{j_{0}}) = min_{j} h′ ; M̂(E_{j}), et E = E_{j_{0}}. Alors, d’après l’étape 4, E et Z sont disjoints, et E(ℂ) ⊂ U. On écrit alors, comme dans l’étape 5 de la démonstration du théorème 4.2.3:

mw(L̂.M̂) ≥ h′ ; M̂(E)mwe − ∫_{X(ℂ)} ln ∥s̃∥c_{1}(M̂)

Après simplifications, en posant c_{1} = \frac{Nd}{8rT_{0}} et c_{2} = 3deg(M_{K})N, on obtient:

h′ ; M̂(E) ≤ \frac{n_{0}n_{3}}{e} [deg(M_{K}) + ϵ + ∑_{i=1}^{r} ν_{i}(M̂.Ẑ_{i})] + c_{2}ϵ

avec |ν_{i} − λ_{i}| ≤ c_{1}ϵ et |\frac{e}{n_{0}n_{3}} − d| ≤ c_{0}dϵ. On en déduit le théorème.

Remarque 4.6.2: En vertu de la proposition 2.3.2, la condition A définie négative est équivalente à det(−A) > 0.

4.7 Equidistribution dans le cas critique

On conserve les notations du paragraphe 4.6 concernant X, Z, K, les Ẑ_{i}, A. On suppose maintenant A négative non définie, et le morphisme X − Z → B = Spec(O_{K}) surjectif. La matrice A étant à coefficients non diagonaux positifs, il existe alors un vecteur colonne [λ_{i}] dans Ker(A) − {0} tel que: λ_{i} ≥ 0 pour tout i ∈ {1; …; r} (c’est une conséquence du théo-

rème de Frobenius). On pose d = ∑_{i=1}^{q} λ_{i}[k(Z_{i}) : K] > 0.

Soit (E_{n})_{n≥0} une suite injective de points entiers sur X − Z vérifiant: Pour tout ouvert U de X(ℂ) contenant K, il existe n_{0} tel que pour tout n ≥ n_{0}, on a E_{n}(ℂ) ⊂ U.

On pose e_{n} = deg(E_{nK}). On note μ_{K;i} la mesure sur X(ℂ) égale, sur chaque X_{σ}(ℂ), à μ_{K_{σ};Z_{iσ}}. La proposition suivante est une généralisation du théorème d’équidistribution de Bilu [4] (cf aussi [20]):

Proposition 4.7.1: Avec les notations précédentes, et sous les hypothèses X − Z → B surjectif et A négative non définie, la suite de mesures (\frac{1}{e_{n}} δ_{E_{nℂ}}) converge faiblement vers

\frac{1}{d} ∑_{i=1}^{q} λ_{i}μ_{K;i}.

Démonstration: Posons ν_{n} = \frac{1}{e_{n}} δ_{E_{nℂ}}, et ν_{∞} = \frac{1}{d} ∑_{i=1}^{q} λ_{i}μ_{K;i}. On s’inspire de la démonstra-

tion de la proposition 4.1.4: Soit f une fonction C^{∞} sur X(ℂ), et ϵ > 0.

Soient (a_{i}) des rationnels tels que:

- Pour tout i ∈ \{1; …; r\}, on a |a_{i} − \frac{λ_{i}}{d} | ≤ ϵ et a_{i} ≥ 0;

- On a ∑_{i=1}^{q} a_{i}[k(Z_{i}) : K] = 1.

Soit n_{1} ≥ 1 tel que pour tout 1 ≤ i ≤ r, n_{1}a_{i} est un entier. On pose L̂ = Ô_{X}(∑_{i=1}^{r} n_{1}a_{i}Ẑ_{i}).

On pose aussi T_{0} = max_{i;j} |(Ẑ_{i}.Ẑ_{j})|, T_{1} = ∑_{i=1}^{q} ∫ |f|μ_{K;i}, et c_{0} = r^{2}T_{0} + T_{1} + \frac{1}{2}∥f∥_{Dir}^{2}.

L’hypothèse vérifiée par la suite (E_{n}) implique que: lim_{n} h′ ; L̂(E_{n}) = 0. Soit maintenant t ∈ ℝ,

et L̂_{t} = L̂⊗ Ô_{X}(0; tf). Alors, d’après la proposition 4.1.1, on a: lim inf h′ ; L̂_{t}(E_{n}) ≥ \frac{(L̂_{t}.L̂_{t})}{2n_{1}}. En

explicitant les deux membres, et en utilisant l’inégalité |(L̂.L̂)| ≤ r^{2}T_{0}n_{1}^{2}ϵ^{2}, on trouve

lim inf_{n→+∞}(t ∫_{X(ℂ)} fν_{n}) ≥ −r^{2}T_{0}n_{1}ϵ^{2} + t ∑_{i=1}^{q} ∫_{X(ℂ)} fa_{i}μ_{K;i} − \frac{t^{2}}{2n_{1}} ∥f∥_{Dir}^{2}

En choisissant t = n_{1}ϵ, on obtient: lim inf ∫ fν_{n} ≥ ∫ fν_{∞} − c_{0}ϵ.

En choisissant t = −n_{1}ϵ, on obtient: lim sup ∫ fν_{n} ≤ ∫ fν_{∞} + c_{0}ϵ.

D’où le résultat.

Remarque 4.7.2: Dans la proposition 4.7.1, l’hypothèse det(A) = 0 est suffisante, car X − Z → B est alors surjectif (cf remarque 4.2.4), et on montre aisément, à l’aide de la proposition 4.1.1, que l’existence de la suite (E_{n}) implique la négativité de A.

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Pascal Autissier, Département de Mathématiques, Bâtiment 425, Université Paris XI, 91405 ORSAY Cedex, FRANCE

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