Équidistribution des sous-variétés de petite hauteur

Pascal Autissier

20 avril 2004

Abstract

In this paper, the equidistribution theorem of Szpiro-Ullmo-Zhang about sequences of small points in an abelian variety is extended to the case of sequences of higher dimensional subvarieties. A quantitative version of this result is also given.

Introduction

Dans ce texte, on appelle variété sur un corps K tout schéma intègre et projectif sur K.

Commençons par rappeler les travaux de Szpiro, Ullmo et Zhang sur l’équidistribution des petits points (cf [17]) :

Définition : Soit V une variété sur ℚ. Une suite (Y_{n})_{n≥0} de fermés intègres de V est dite générique dans V lorsque pour tout fermé Z ≠ V, l’ensemble {n ∈ ℕ | Y_{n} ⊂ Z} est fini.

Soit K un corps de nombres de degré N. Notons G_{K} l’ensemble des plongements σ : K ↪ ℂ. Soit A une variété abélienne sur K de dimension d. Remarquons que A(ℂ) est alors l’union disjointe des groupes A_{σ}(ℂ). Soit μ la mesure de probabilité sur A(ℂ) égale sur chaque A_{σ}(ℂ) à la mesure de Haar de masse 1/N.

Soit ĥ_{L} la hauteur de Néron-Tate relativement à un faisceau inversible L symétrique et ample sur A. Soit (P_{n})_{n≥0} une suite de points fermés de A. Pour tout n ≥ 0, on pose k_{n} = deg(P_{n}) = [k(P_{n}) : ℚ].

Lorsque Z est un fermé réduit de A_{ℂ} purement de codimension q, on désigne par δ_{Z} le courant d’intégration sur Z(ℂ) (c’est un (q; q)-courant sur A(ℂ)).

Szpiro, Ullmo et Zhang ont démontré le théorème d’équirépartition suivant :

Théorème 0 : Supposons que la suite (P_{n})_{n≥0} est générique dans A et que

lim_{n→+∞} ĥ_{L}(P_{n}) = 0. Alors la suite de mesures (\frac{1}{k_{n}} δ_{P_{nℂ}})_{n≥0} converge faiblement vers μ.

Ce résultat a permis à Ullmo [18] et Zhang [20] de prouver la conjecture de Bogomolov (cf aussi [1]).

On étend ici le théorème 0 aux suites génériques de sous-variétés :

Soit ∥ ∥ une “métrique du cube” (cf [12]) sur L_{ℂ}. Notons ω la (1; 1)-forme de courbure de (L_{ℂ}; ∥ ∥) sur A(ℂ) et posons k = deg_{L}(A). Remarquons que l’on a ω^{∧d} = kμ sur A(ℂ).

Soit (Y_{n})_{n≥0} une suite de fermés intègres de A de dimension p. On pose k_{n} = deg_{L}(Y_{n}) pour tout n ≥ 0. On prouve le résultat suivant :

Théorème (4.1) : Supposons que la suite (Y_{n})_{n≥0} est générique dans A et

que lim_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) = 0. Alors la suite de mesures (\frac{1}{k_{n}} ω^{∧p} ∧ δ_{Y_{nℂ}})_{n≥0} converge

faiblement vers μ.

La démonstration s’inspire de celle du théorème 0. Elle se place donc dans le cadre de la théorie d’Arakelov (cf [5]), et utilise le théorème de “Hilbert-Samuel arithmétique” dû à Gillet et Soulé [9] (cf aussi Abbes et Bouche [2]).

Remarquons en particulier que si (Y_{n})_{n≥0} est générique dans A et si U est un ouvert non vide de A(ℂ) disjoint de Y_{nℂ} pour tout n assez grand, alors on a lim inf_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) > 0. On peut donner une version quantitative de ce résultat :

Théorème (6.1) : On suppose la suite (Y_{n})_{n≥0} générique dans A. Soit U_{η} une boule ouverte de A(ℂ) de rayon η ∈]0; η_{0}[ telle que U_{η} soit disjoint de son conjugué complexe. On suppose que U_{η} et Y_{nℂ} sont disjoints pour tout n ≥ 0. Alors on a lim inf_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) ≥ c_{0}η^{2d+2} (η_{0} et c_{0} sont des constantes ne dépendant

que de (K; A; L; p)).

Par ailleurs, Zhang a proposé une généralisation de la conjecture de Bogomolov (cf [19]) :

Soient V une variété lisse sur ℚ et L un faisceau inversible ample sur V. Supposons que l’on a un morphisme fini f : V → V et un isomorphisme L^{⊗m} ≃ f^{∗}L, où m est un entier > 1.

Définition : Un fermé intègre Y de V est dit prépériodique lorsque l’ensemble {f^{n}(Y) ; n ∈ ℕ} est fini.

Lorsque l’on a de telles données, Zhang a montré comment obtenir une hauteur canonique ĥ_{L} généralisant la construction de Néron-Tate. En particulier, la fonction ĥ_{L} est positive ; si un fermé intègre Y de V est prépériodique, alors on a ĥ_{L}(Y) = 0 ; et un point fermé P est prépériodique si et seulement si ĥ_{L}(P) = 0.

Dans cette situation, la conjecture de Zhang s’énonce ainsi :

Conjecture (i) : Soit Y un fermé intègre de V. Si ĥ_{L}(Y) = 0, alors Y est prépériodique.

Zhang a montré que ĥ_{L}(Y) = 0 si et seulement si Y contient une suite de points fermés (P_{n})_{n≥0} générique dans Y telle que lim_{n→+∞} ĥ_{L}(P_{n}) = 0. En particulier, si Y contient un ensemble Zariski-dense de points fermés prépériodiques, alors Y est conjecturalement prépériodique.

Ce dernier énoncé, qui ne fait plus intervenir de hauteur, rappelle une conjecture de dynamique complexe :

Conjecture (ii) : Soient M une variété lisse sur ℂ et f : M → M un morphisme fini. On suppose qu’il existe un faisceau inversible L ample sur M tel que L^{⊗m} ≃ f^{∗}L avec m > 1. Si un fermé intègre Y de M contient un ensemble Zariski-dense de points prépériodiques, alors Y est prépériodique.

Cette conjecture “s’applique” en particulier au cas où M est l’espace projectif ℙ_{ℂ}^{d} et f un morphisme fini de degré > 1 (on prend alors L = O(1)).

Par ailleurs, lorsque M est une variété abélienne sur ℂ et f la multiplication par un entier > 1, la conjecture (ii) est un théorème de Raynaud (cf [15]).

Pour attaquer la conjecture (i), on pourrait commencer par prouver un résultat d’équidistribution des petits points analogue au théorème 0. La mesure limite μ serait alors la mesure à l’équilibre du système dynamique (V_{ℂ}; f_{ℂ}).

La difficulté de cette approche est que l’on est amené, semble-t-il, à utiliser un théorème de Hilbert-Samuel arithmétique sans hypothèse de positivité de la courbure, qui n’est connu que pour les surfaces arithmétiques (cf propositions 3.3.3 et 4.1.4 de [3]).

Je remercie Romain Dujardin et Charles Favre pour des discussions intéressantes concernant la conjecture (ii). Je remercie également Antoine Chambert-Loir pour ses suggestions concernant la section 5. Je remercie Serge Cantat pour de fructueuses conversations et pour ses conseils concernant ce papier. Enfin, je remercie Emmanuel Ullmo pour l’inspiration qu’il m’a procurée.

1 Définitions et notations

Soient M une variété lisse sur ℂ et L un faisceau inversible sur M.

Définition : Une métrique sur L est une famille ∥ ∥ de normes hermitiennes sur L variant de manière continue sur M(ℂ). Posons L̂ = (L; ∥ ∥).

On note ωL̂ le (1; 1)-courant de courbure de L̂ sur M(ℂ) ; il est caractérisé par la propriété suivante : pour toute section rationnelle s non nulle de L, on a

l’égalité ωL̂ = δ_{div(s)} − \frac{i}{π} ∂\overline{∂} ln ∥s∥.

Définition : Soit ∥ ∥ une métrique sur L; posons L̂ = (L; ∥ ∥). On dit que ∥ ∥ est p.s.h. lorsque le courant ωL̂ est positif, autrement dit lorsque pour tout ouvert U de M et tout s ∈ Γ(U; L) ne s’annulant pas sur U, la fonction − ln ∥s∥ est plurisousharmonique sur U(ℂ).

Définitions : Une variété arithmétique est un schéma X intègre, projectif et plat sur ℤ, tel que la fibre générique X_{ℚ} soit lisse sur ℚ. Remarquons que X_{ℂ} est alors l’union disjointe de variétés lisses sur ℂ.

Un faisceau inversible hermitien sur X est un couple L̂ = (L; ∥ ∥), formé d’un faisceau inversible L sur X et d’une métrique ∥ ∥ sur L_{ℂ} invariante par conjugaison complexe.

Remarque : Soit Y un schéma intègre et projectif sur ℤ. On a deux possibilités :

- Y est plat et surjectif sur B_{0} = Spec(ℤ) ; Y est alors dit horizontal ;

- Y est au-dessus d’un point fermé b = pℤ de B_{0} (ie Y est une variété sur 𝔽_{p}) ; Y est alors dit vertical.

2 Théorie d’Arakelov

Soient X une variété arithmétique de dimension (absolue) d, et L̂ = (L; ∥ ∥) un faisceau inversible hermitien sur X dont la métrique ∥ ∥ est C^{∞}. Pour 0 ≤ p ≤ d, on désigne par Z_{p}(X) le groupe des combinaisons ℤ-linéaires de fermés intègres (de X) de dimension p.

Faisons quelques rappels de la théorie des hauteurs développée par Bost, Gillet et Soulé :

Pour 0 ≤ p ≤ d, on définit (cf [9] p. 485, [5] p. 933) le groupe de Chow arithmétique de dimension p, noté ĈH_{p}(X). Le degré arithmétique définit une application ℤ-linéaire d̂eg : ĈH_{0}(X) → ℝ. Pour 1 ≤ p ≤ d, on construit la première classe de Chern arithmétique ĉ_{1}(L̂) : ĈH_{p}(X) → ĈH_{p−1}(X), qui est ℤ-linéaire.

Soient maintenant p ∈ {0; ⋯; d} et D ∈ Z_{p}(X). Soit g un courant de Green pour D_{ℂ}. Le réel

hL̂(D) = d̂eg[ĉ_{1}(L̂)^{p}(D; g) − (0; ω∧p ; L̂_{ℂ} ∧ g)]

ne dépend pas du choix de g. On l’appelle la hauteur d’Arakelov de D relativement à L̂.

Soit Y un fermé intègre horizontal de dimension p tel que deg_{L_{ℚ}}(Y_{ℚ}) > 0. La hauteur normalisée de Y relativement à L̂ est le réel

h′ ; L̂(Y) = \frac{hL̂(Y)}{deg_{L_{ℚ}}(Y_{ℚ})p} .

Proposition 2.1 : Soient Y un fermé intègre de X de dimension p ≥ 1, n un entier ≥ 1, et s une section rationnelle non nulle de L_{|Y}^{⊗n} (sur Y). Alors on a l’égalité

hL̂(Y)n = hL̂(div(s)) − ∫_{Y (ℂ)} ln ∥s_{ℂ}∥ωp−1 ; L̂_{ℂ}

(On convient que l’intégrale est nulle si Y est vertical).

Démonstration : C’est la proposition 3.2.1 (iv) de [5] p. 949. □

Le résultat suivant est un analogue arithmétique du théorème de Hilbert-Samuel :

Théorème 2.2 : Supposons L ample et la métrique ∥ ∥ p.s.h.. Soit ϵ > 0. Alors pour tout entier n assez grand, il existe une section globale s non nulle de

L^{⊗n} telle que max_{X(ℂ)}ln ∥s_{ℂ}∥ ≤ ϵn − h′ ; L̂(X)n.

Démonstration : cf théorème 9 de [9] p. 539 ou corollaire du théorème principal de [2]. □

3 Hauteurs

3.1 Hauteurs de Weil

Soient V une variété lisse sur ℚ et L un faisceau inversible ample sur V. Notons V^{⋄} l’ensemble des fermés intègres de V.

Définition : Un modèle entier de (V; L) est un couple (X; L̂), formé d’une variété arithmétique X et d’un faisceau inversible hermitien L̂ = (L; ∥ ∥) sur X tels que (X_{ℚ}; L_{ℚ}) soit isomorphe à (V; L), que L soit ample sur X, que la métrique ∥ ∥ soit C^{∞}, et que la courbure ωL̂_{ℂ} soit définie positive sur X(ℂ).

Remarquons que pour tout entier e assez grand, le couple (V; L^{⊗e}) admet un modèle entier.

La définition suivante étend aux sous-variétés la notion classique de hauteur de Weil sur les points :

Définition : Une application ĥ : V^{⋄} → ℝ est une hauteur de Weil relativement à L lorsqu’il existe un entier e ≥ 1, un modèle entier (X; L̂) de (V; L^{⊗e}) et un réel C tels que

∀Y ∈ V^{⋄} |ĥ(Y) − \frac{1}{e}h′ ; L̂(\overline{Y})| ≤ C

(\overline{Y} désigne l’adhérence de Y dans X).

La proposition suivante montre entre autres que cette définition “ne dépend pas du choix de (e; X; L̂)” :

Proposition 3.1 : Soit ĥ une hauteur de Weil relativement à L. Alors pour tout entier e ≥ 1 et tout modèle entier (X; L̂) de (V; L^{⊗e}), il existe un réel C

tel que ∀Y ∈ V^{⋄} |ĥ(Y) − \frac{1}{e}h′ ; L̂(\overline{Y})| ≤ C.

En outre, la fonction ĥ est minorée sur V^{⋄}.

Démonstration : La première partie de l’énoncé est une reformulation de la proposition 3.2.2 de [5] p. 950. La deuxième partie se déduit de la remarque (iii) de [5] p. 954. □

3.2 Hauteur canonique

Soient V une variété lisse sur ℚ et L un faisceau inversible ample sur V. On suppose que l’on a un morphisme fini f : V → V et un isomorphisme α : L^{⊗m} ⟶^{∼} f^{∗}L, où m est un entier > 1.

À partir de ces données, Zhang construit une hauteur de Weil particulière relativement à L par un procédé dynamique :

Proposition 3.2 : Il existe une unique hauteur de Weil ĥ_{L} relativement à L telle que pour tout Y ∈ V^{⋄}, on ait l’égalité ĥ_{L}(f(Y)) = ĥ_{L}(Y)m.

De plus, on a les propriétés suivantes :

- Si ĥ est une hauteur de Weil relativement à L, alors la suite de fonctions

(\frac{1}{m^{n}} ĥ ∘ f^{n})_{n≥0} converge uniformément sur V^{⋄} vers la fonction ĥ_{L};

- La fonction ĥ_{L} est positive sur V^{⋄};

- Si Y est un fermé intègre prépériodique de V, alors on a ĥ_{L}(Y) = 0 ;

- Un point fermé P de V est prépériodique si et seulement si ĥ_{L}(P) = 0.

Démonstration : C’est une reformulation du théorème 2.4 de [19] p. 292. □

L’application ĥ_{L} est appelé la hauteur canonique relativement à (L; f). Remarquons qu’elle ne dépend pas du choix de l’isomorphisme α.

4 Équidistribution

Soit K un corps de nombres de degré N. Soient A une variété abélienne sur K de dimension d et 0_{A} ∈ A(K) sa section neutre. Pour tout entier non nul c, on note [c] : A → A le morphisme de multiplication par c.

Soit L un faisceau inversible symétrique (ie [−1]^{∗}L ≃ L) et ample sur A. On fixe un isomorphisme 0_{A}^{∗}L ≃ O_{B} sur B = Spec(K). Par le théorème du cube, on en déduit naturellement un isomorphisme [c]^{∗}L ≃ L^{⊗c^{2}} sur A pour chaque entier c ≥ 2.

La hauteur canonique ĥ_{L} relativement à (L; [c]) ne dépend pas du choix de l’entier c ≥ 2 ; c’est la hauteur de Néron-Tate relativement à L (cf aussi [13] et [10]).

On fixe un entier c ≥ 2. D’après [12] p. 50-52, il existe une unique métrique ∥ ∥ de classe C^{∞} sur L_{ℂ} telle que l’isomorphisme [c]^{∗}L ≃ L^{⊗c^{2}} devienne une isométrie (ie une “métrique du cube”).

Notons ω la courbure de (L_{ℂ}; ∥ ∥) ; posons k = deg_{L}(A) et μ = \frac{1}{k} ω^{d}. Pour tout plongement σ : K ↪ ℂ, la mesure μ_{σ} est alors la mesure de Haar de masse 1/N sur A_{σ}(ℂ).

Soit (Y_{n})_{n≥0} une suite de fermés intègres de A de dimension p. On pose k_{n} = deg_{L}(Y_{n}) pour tout n ≥ 0.

Théorème 4.1 : Supposons que la suite (Y_{n})_{n≥0} est générique dans A et

que lim_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) = 0. Alors la suite de mesures (\frac{1}{k_{n}} ω^{p}δ_{Y_{nℂ}})_{n≥0} converge fai-

blement vers μ.

Démonstration : Posons ν_{n} = \frac{1}{k_{n}} ω^{p}δ_{Y_{nℂ}} pour tout entier n ≥ 0. Il s’agit

de montrer que pour toute fonction ϕ continue sur A(ℂ), la suite numérique

(∫_{A(ℂ)} ϕν_{n})_{n≥0} converge vers ∫_{A(ℂ)} ϕμ.

Il suffit en fait de le vérifier pour ϕ invariante par conjugaison complexe et C^{∞} sur A(ℂ). Il existe alors un réel t_{0} > 0 tel que pour tout t ∈ [−t_{0}; t_{0}],

la (1; 1)-forme ω_{t} = ω+ \frac{it}{π}∂\overline{∂}ϕ soit positive sur A(ℂ). Soient t ∈ [−t_{0}; t_{0}] et ϵ > 0.

On choisit un entier e ≥ 1 et un modèle (X; L̂) de (A; L^{⊗e}) tels que la métrique sur L soit la métrique du cube ∥ ∥^{⊗e}.

Pour tout Y ∈ A^{⋄}, on pose ĥ(Y) = \frac{1}{e}h′ ; L̂(\overline{Y}), où \overline{Y} désigne l’adhérence de Y

dans X. L’application ĥ est par définition une hauteur de Weil relativement à L. D’après la proposition 3.2, il existe n_{1} ≥ 0 tel que |ĥ ∘ [c^{n_{1}}] − c^{2n_{1}} ĥ_{L}| ≤ c^{2n_{1}}ϵ sur A^{⋄}. On pose e_{1} = c^{2n_{1}}e.

On construit un modèle (X′; L̂′) de (A; L^{⊗e_{1}}) de la manière suivante :

On désigne par f : X′ → X la normalisation de X par le morphisme [c^{n_{1}}] : A → A, de sorte que l’on a f_{ℚ} = [c^{n_{1}}] sur X′_{ℚ} ≃ A. On pose alors L̂′ = (L′; ∥ ∥′) = f^{∗}L̂.

Par la formule de projection (cf proposition 3.2.1 (iii) de [5] p. 949), on a, pour tout Y ∈ A^{⋄}, la relation ĥ([c^{n_{1}}](Y))e = h′ ; L̂′(\overline{Y}′), où \overline{Y}′ désigne l’adhérence de Y dans X′. On en déduit :

∀Y ∈ A^{⋄} |ĥ_{L}(Y) − \frac{1}{e_{1}} h′ ; L̂′(\overline{Y}′)| ≤ ϵ . (1)

On pose ∥ ∥′_{t} = ∥ ∥′ exp(−e_{1}tϕ) et L̂′_{t} = (L′; ∥ ∥′_{t}). Par multilinéarité, on a la formule

hL̂′_{t}(X′) − hL̂′(X′) = (d + 1)e_{1}^{d+1}kt^{2}Q(t) + (d + 1)e_{1}^{d+1}t ∫_{A(ℂ)} ϕω^{d} ,

où Q(T) = ∑_{j=1}^{d} \frac{C_{d+1}^{j+1}}{(d + 1)k} T^{j−1} ∫_{A(ℂ)} ϕ(\frac{i}{π} ∂\overline{∂}ϕ)^{j}ω^{d−j} est un polynôme en T.

Sachant que ĥ_{L}(A) = 0, on en déduit à l’aide de (1) la minoration

\frac{1}{e_{1}} h′ ; L̂′_{t}(X′) ≥ t^{2}Q(t) − ϵ + t ∫_{A(ℂ)} ϕμ . (2)

Maintenant, appliquons le théorème 2.2 (Hilbert-Samuel arithmétique) : il

existe n_{2} ≥ 1 et s ∈ Γ(X′; L^{′⊗n_{2}})−{0} tels que max_{A(ℂ)}ln ∥s_{ℂ}∥′_{t} ≤ ϵn_{2}−h′ ; L̂′_{t}(X′)n_{2}.

Posons Z = div(s_{ℚ}). Puisque la suite (Y_{n})_{n≥0} est générique dans A, il existe un entier n_{3} ≥ 0 tel que ∀n ≥ n_{3} Y_{n} ⊄ Z. Alors, d’après la proposition 2.1, on a (pour tout n ≥ n_{3}) :

hL̂′(\overline{Y_{n}}′)n_{2} − hL̂′(div(s_{|\overline{Y_{n}}′})) = −e_{1}^{p} ∫_{Y_{n}(ℂ)}(n_{2}e_{1}tϕ + ln ∥s_{ℂ}∥′_{t})ω^{p}
≥ [h′ ; L̂′_{t}(X′) − ϵ]e_{1}^{p}n_{2}k_{n} − e_{1}^{p+1}n_{2}k_{n}t ∫_{A(ℂ)} ϕν_{n} .

Majorons le premier membre : En utilisant (1) et la positivité de ĥ_{L}, on obtient d’une part l’inégalité hL̂′(div(s_{|\overline{Y_{n}}′})) ≥ −e_{1}^{p+1}pn_{2}k_{n}ϵ et d’autre part

l’inégalité hL̂′(\overline{Y_{n}}′) ≤ [ĥ_{L}(Y_{n}) + ϵ](p + 1)e_{1}^{p+1}k_{n}. On en déduit à l’aide de la minoration (2) que l’on a (pour tout n ≥ n_{3}) :

(p + 1)ĥ_{L}(Y_{n}) + t ∫_{A(ℂ)} ϕν_{n} ≥ t^{2}Q(t) − (2p + 3)ϵ + t ∫_{A(ℂ)} ϕμ . (3)

On fait tendre n vers +∞ puis ϵ vers 0 dans ce qui précède ; sachant que lim_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) = 0, on trouve l’inégalité

lim inf_{n→+∞}(t ∫_{A(ℂ)} ϕν_{n}) ≥ t^{2}Q(t) + t ∫_{A(ℂ)} ϕμ .

Finalement, en faisant tendre t vers 0 :

- Par valeurs supérieures, on obtient lim inf_{n→+∞}(∫_{A(ℂ)} ϕν_{n}) ≥ ∫_{A(ℂ)} ϕμ; - Par valeurs inférieures, on obtient lim sup_{n→+∞}(∫_{A(ℂ)} ϕν_{n}) ≤ ∫_{A(ℂ)} ϕμ.

On en déduit le résultat. □

5 Variante arakelovienne

Soient X une variété arithmétique de dimension d et L̂ = (L; ∥ ∥) un faisceau inversible hermitien sur X. On suppose que L est ample sur X, que la métrique ∥ ∥ est C^{∞}, et que la courbure ω = ωL̂_{ℂ} est définie positive sur X(ℂ). Le couple (X; L̂) est donc un modèle entier de (X_{ℚ}; L_{ℚ}).

Posons k = deg_{L_{ℚ}}(X_{ℚ}) et μ = \frac{1}{k} ω^{d−1}. Soit (Y_{n})_{n≥0} une suite de fermés intègres de X_{ℚ} de dimension p. On pose k_{n} = deg_{L_{ℚ}}(Y_{n}) pour tout n ≥ 0.

On fait l’hypothèse (∗) suivante : pour tout fermé intègre Y de X_{ℚ} de dimension p − 1, on a h′ ; L̂(\overline{Y}) ≥ h′ ; L̂(X).

Remarquons que cette hypothèse est automatiquement vérifiée lorsque p = 0.

Proposition 5.1 : Supposons que la suite (Y_{n})_{n≥0} est générique dans X_{ℚ} et

que lim_{n→+∞} h′ ; L̂(\overline{Y_{n}}) = h′ ; L̂(X). Alors la suite de mesures (\frac{1}{k_{n}} ω^{p}δ_{Y_{nℂ}})_{n≥0} converge

faiblement vers μ.

Démonstration : Posons ν_{n} = \frac{1}{k_{n}} ω^{p}δ_{Y_{nℂ}} pour tout entier n ≥ 0. Soit ϕ une

fonction invariante par conjugaison complexe et C^{∞} sur X(ℂ). Il existe un réel

t_{0} > 0 tel que pour tout t ∈ [−t_{0}; t_{0}], la (1; 1)-forme ω_{t} = ω + \frac{it}{π}∂\overline{∂}ϕ soit positive sur X(ℂ).

Soient t ∈ [−t_{0}; t_{0}] et ϵ > 0. On pose ∥ ∥_{t} = ∥ ∥ exp(−tϕ) et L̂_{t} = (L; ∥ ∥_{t}). Par multilinéarité, on a la relation

hL̂_{t}(X) − hL̂(X) = dkt^{2}Q(t) + dt ∫_{X(ℂ)} ϕω^{d−1} ,

où Q est une fonction polynômiale.

D’après le théorème 2.2, il existe n_{1} ≥ 1 et s ∈ Γ(X; L^{⊗n_{1}}) − {0} tels que

max_{X(ℂ)}ln ∥s_{ℂ}∥_{t} ≤ ϵn_{1} − h′ ; L̂_{t}(X)n_{1}.

Posons Z = div(s_{ℚ}). La suite (Y_{n})_{n≥0} étant générique dans X_{ℚ}, il existe un entier n_{2} ≥ 0 tel que ∀n ≥ n_{2} Y_{n} ⊄ Z. Alors, en appliquant la proposition 2.1, on obtient (pour tout n ≥ n_{2}) :

hL̂(\overline{Y_{n}})n_{1} − hL̂(div(s_{|\overline{Y_{n}}})) = − ∫_{Y_{n}(ℂ)}(n_{1}tϕ + ln ∥s_{ℂ}∥_{t})ω^{p}
≥ [h′ ; L̂_{t}(X) − ϵ]n_{1}k_{n} − n_{1}k_{n}t ∫_{X(ℂ)} ϕν_{n} .

Grâce à l’hypothèse (∗), on a la minoration hL̂(div(s_{|\overline{Y_{n}}})) ≥ pn_{1}k_{n}h′ ; L̂(X). On en déduit que pour tout n ≥ n_{2}, on a

(p + 1)h′ ; L̂(\overline{Y_{n}}) + t ∫_{X(ℂ)} ϕν_{n} ≥ (p + 1)h′ ; L̂(X) + t^{2}Q(t) − ϵ + t ∫_{X(ℂ)} ϕμ .

On conclut comme dans la démonstration du théorème 4.1. □

6 Version quantitative

Soient K un corps de nombres, A une variété abélienne sur K de dimension d, et L un faisceau inversible symétrique et ample sur A. Soit ∥ ∥ une métrique du cube sur L_{ℂ}. On note ω la courbure de (L_{ℂ}; ∥ ∥) et on pose k = deg_{L}(A).

On fixe un plongement σ : K ↪ ℂ et un isomorphisme A_{σ}(ℂ) ≃ ℂ^{d}/Γ de groupes analytiques (où Γ est un réseau de ℂ^{d}) tel que la (1; 1)-forme ω_{σ} s’écrive

ω_{σ} = \frac{i}{2} ∑_{j=1}^{d} dz_{j} ∧ d\overline{z_{j}} dans ℂ^{d}/Γ.

On munit ℂ^{d} de la norme hermitienne canonique, notée || ||. Lorsque z ∈ ℂ^{d}, on note ici ż l’image de z dans ℂ^{d}/Γ. On munit ℂ^{d}/Γ de la distance D induite

par || ||, ie D(ẋ; ẏ) = min_{γ∈Γ} ||x − y + γ||. Par ailleurs, on pose η_{0} = \frac{1}{2} min_{γ∈Γ−\{0\}} ||γ||.

Soit (Y_{n})_{n≥0} une suite de fermés intègres de A de dimension p. Posons

c_{0} = \frac{2π^{d}}{(p + 1)(d + 1)k}. Soit U_{η} une boule ouverte de A_{σ}(ℂ) de rayon η ∈]0; η_{0}[.

Si σ est réel, on suppose U_{η} disjoint de son conjugué complexe.

Théorème 6.1 : On suppose que la suite (Y_{n})_{n≥0} est générique dans A et que Y_{nℂ} est disjoint de U_{η} pour tout n ≥ 0. Alors on a lim inf_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) ≥ c_{0}η^{2d+2}.

Démonstration : Soient ż_{0} le centre de U_{η} et U′_{η} le conjugué complexe de U_{η}. Soit ψ : [0; η_{0}[→ ℝ une fonction C^{∞} vérifiant :

- La fonction ψ est nulle sur [η; η_{0}[ ;

- On a ψ′ ≥ −1 et ψ′′ ≥ 0 sur [0; η_{0}[.

Soit ϕ : A(ℂ) → ℝ la fonction caractérisée par les propriétés suivantes :

- Si ||z − z_{0}|| < η, alors ϕ(ż) = \frac{π}{2} ψ(||z − z_{0}||^{2});

- La fonction ϕ est invariante par conjugaison complexe ; - La fonction ϕ est nulle en dehors de U_{η} ∪ U′_{η}.

La (1; 1)-forme ω_{1} = ω + \frac{i}{π} ∂\overline{∂}ϕ est alors positive sur A(ℂ). On reprend avec t_{0} = t = 1 la démonstration du théorème 4.1, jusqu’à l’inégalité (3) :

∀n ≥ n_{3} (p + 1)ĥ_{L}(Y_{n}) + ∫_{A(ℂ)} ϕν_{n} ≥ Q_{1} − (2p + 3)ϵ ,

où Q_{1} = \frac{1}{k} ∑_{j=0}^{d} ∫_{A(ℂ)} ϕω_{1}^{j}ω^{d−j}.

L’intégrale dans le premier membre est nulle puisque Y_{nℂ} et U_{η} sont disjoints. En faisant tendre n vers +∞ puis ϵ vers 0 dans l’inégalité précédente, on

obtient donc la minoration lim inf_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) ≥ \frac{Q_{1}}{p + 1}.

Par ailleurs, un calcul que j’épargne au lecteur montre que

Q_{1} = \frac{4π^{d}}{k} ∫_{0}^{η}[1 − (1 + ψ′(r^{2}))^{d+1}]r^{2d+1}dr .

On a donc

lim inf_{n→+∞} ĥ_{L}(Y_{n}) ≥ c_{0} ∫_{0}^{η}[1 − (1 + ψ′(r^{2}))^{d+1}](2d + 2)r^{2d+1}dr .

Maintenant, soit ψ_{0} : [0; η_{0}[→ ℝ la fonction définie par ψ_{0}(ρ) = η − ρ si ρ < η et ψ_{0}(ρ) = 0 si ρ ≥ η. En faisant tendre ψ vers ψ_{0} convenablement, on en déduit le résultat. □

7 Cas des courbes

Soient V une courbe lisse sur ℚ, L un faisceau inversible ample sur V, f : V → V un morphisme fini, et α : L^{⊗m} ⟶^{∼} f^{∗}L un isomorphisme, où m est un entier > 1.

Notons μ la mesure à l’équilibre du système dynamique (V_{ℂ}; f_{ℂ}). Soit (P_{n})_{n≥0} une suite de points fermés de V. Pour tout n ≥ 0, on pose k_{n} = [k(P_{n}) : ℚ].

Citons pour mémoire la variante suivante de la proposition 4.1.4 de [3] :

Proposition 7.1 : Supposons que la suite (P_{n})_{n≥0} est générique dans V et

que lim_{n→+∞} ĥ_{L}(P_{n}) = 0. Alors la suite de mesures (\frac{1}{k_{n}} δ_{P_{nℂ}})_{n≥0} converge faiblement vers μ.

Références

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[4] Y. Bilu : Limit distribution of small points on algebraic tori. Duke Math. Journal 89 (1997), p. 465-476.

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[11] V. Maillot : Géométrie d’Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables. Mémoires de la SMF 80 (2000).

[12] L. Moret-Bailly : Métriques permises. Astérisque 127 (1985), p. 29-87.

[13] P. Philippon : Sur des hauteurs alternatives I. Math. Annalen 289 (1991), p. 255-283.

[14] B. Poonen : Mordell-Lang plus Bogomolov. Inventiones Math. 137 (1999), p. 413-425.

[15] M. Raynaud : Sous-variétés d’une variété abélienne et points de torsion. Progress in Math. 35 (1983), p. 327-352.

[16] R. Rumely : On Bilu’s equidistribution theorem. Contemporary Math. 237 (1999), p. 159-166.

[17] L. Szpiro, E. Ullmo, S. Zhang : Équirépartition des petits points. Inventiones Math. 127 (1997), p. 337-347.

[18] E. Ullmo : Positivité et discrétion des points algébriques des courbes. Annals of Math. 147 (1998), p. 167-179.

[19] S. Zhang : Small points and adelic metrics. Journal of Algebraic Geometry 4 (1995), p. 281-300.

[20] S. Zhang : Equidistribution of small points on abelian varieties. Annals of Math. 147 (1998), p. 159-165.

Pascal Autissier. pascal.autissier@univ-rennes1.fr I.R.M.A.R., Université de Rennes I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France.