Points entiers et théorèmes de Bertini arithmétiques

Pascal Autissier

14 décembre 2001

Introduction

On s’intéresse ici aux solutions, dans l’anneau \overline{ℤ} des entiers algébriques, de systèmes d’équations diophantiennes. Cela se traduit, dans le langage des schémas, de la manière suivante:

Soit K un corps de nombres, O_{K} = K ∩ \overline{ℤ} son anneau des entiers, et B = Spec(O_{K}). Soit Y un sous-schéma fermé de ℙ_{O_{K}}^{n}, défini par des polynômes homogènes G_{1}; …; G_{r} (à n+1 variables X_{0}; …; X_{n} et à coefficients dans O_{K}), et U le complémentaire du fermé de Y défini par X_{0} = 0.

On s’intéresse alors à l’ensemble U(\overline{ℤ}) des O_{K}-points de U à valeurs dans \overline{ℤ}. En effet, cet ensemble est en bijection naturelle avec l’ensemble des (x_{1}; …; x_{n}) solutions dans \overline{ℤ}^{n} du système:

∀i ∈ {1; …; r} G_{i}(1; x_{1}; …; x_{n}) = 0 .

On est en fait amené à poser la définition suivante:

Soit Y un schéma intègre, projectif et plat sur O_{K}, et U un ouvert de Y. On appelle point entier sur U tout fermé (de Y) intègre, horizontal, de dimension 1 et contenu dans U. L’ensemble des points entiers sur U est en bijection naturelle avec le quotient de U(\overline{ℤ}) par l’action du groupe de Galois de \overline{ℚ} sur K.

Un théorème de Rumely [15] (cf [12] et [13] pour la formulation suivante) donne alors des conditions géométriques d’existence de tels points entiers:

Théorème 0: On suppose que la fibre générique Y_{K} est géométriquement irréductible sur K. Alors:

U admet un point entier si et seulement si le morphisme U → B est surjectif.

On donne dans ce papier une version effective de ce théorème. Pour cela, on utilise le formalisme des hauteurs à la Arakelov, généralisé par Bost, Gillet et Soulé (cf [7], [3]). On peut alors démontrer le théorème suivant:

Théorème (2.1.3): Soit X une variété arithmétique, et hL̂ une bonne hauteur sur X. Soit Y un fermé intègre horizontal de dimension p ≥ 2, U un ouvert de Y, et ϵ > 0. On suppose que chaque fermé (de Y) irréductible vertical de dimension p − 1 rencontre U.

Il existe alors une infinité de points entiers E sur U vérifiant h′ ; L̂(E) ≤ S +ϵ, où S est une constante effective ne dépendant que de X, L̂ et Y (mais pas de U).

Plus précisément, l’ensemble des points fermés x de Y_{ℚ} tels que l’adhérence E = \overline{\{x\}} est un point entier sur U vérifiant h′ ; L̂(E) ≤ S + ϵ, est Zariski-dense dans Y_{ℚ}.

Notons que l’hypothèse sur U est ici plus forte que celle du théorème 0: “U → B surjectif”. Il est possible que la conclusion du théorème 2.1.3 reste vraie avec cette hypothèse faible (ie en permettant à U d’être disjoint de certains fermés verticaux de dimension p − 1), éventuellement avec une borne S plus grande. C’est le cas lorsque Y est régulier de dimension 2 (cf [2]).

On applique alors ce théorème aux schémas abéliens (proposition 2.2.1).

On décrit ensuite un analogue arithmétique des théorèmes de Bertini:

On peut, moyennant une extension de la base, couper une variété arithmétique X par un hyperplan de telle manière que l’intersection X′ conserve certaines propriétés géométriques de X, et cela avec un contrôle de la hauteur de X′. Plus précisément:

Théorème (3.2.3): Soit M̂ un O_{K}-module localement libre hermitien. On pose ℙ^{∨} = P(M^{∨}) et L̂ = { \atop O_{ℙ^{∨}}(1)}. Soit X ⊂ ℙ^{∨} une variété arithmétique sur O_{K} de dimension d ≥ 3, et ϵ > 0.

Il existe alors une extension finie L de K et un fermé X′ de X_{O_{L}} tels que, en posant B′ = Spec(O_{L}) et g : B′ → B le morphisme induit par O_{K} ↪ O_{L}, on a:

- Le fermé X′ est une variété arithmétique sur O_{L} de dimension d − 1;

- Pour tout b ∈ B′ tel que la fibre X_{g(b)} de X au-dessus de g(b) est lisse, la fibre X′_{b} de X′ au-dessus de b est lisse;

- Pour tout b ∈ B′, le k(b)-schéma X′_{b} et le k(g(b))-schéma X_{g(b)} ont le même nombre géométrique de composantes irréductibles;

- h′ ; L̂_{O_{L}} (X′) ≤ \frac{d}{d−1}h′ ; L̂(X) + S + ϵ, où S est une constante effective ne dépen-

dant que de M̂ et d.

On remarque que l’on permet ici une extension de la base O_{K}, ce qui n’est pas nécessaire dans les théorèmes de Bertini classiques (ie sur les corps).

Précisons maintenant les stratégies des preuves des deux théorèmes précédents:

On démontre le théorème 2.1.3 par récurrence sur la dimension de Y. L’ingrédient clef est alors le théorème d’amplitude arithmétique de Zhang (cf [18] p. 207); on obtient un diviseur vérifiant de bonnes propriétés d’horizontalité, et de hauteur majorée (cf proposition 2.1.2). Cette preuve s’inspire des travaux de Moret-Bailly [13] et d’Ullmo [17].

En ce qui concerne le théorème 3.2.3, l’idée est d’utiliser la dualité entre points entiers et hyperplans dans l’espace projectif. Par les théorèmes de Bertini classiques (cf [9] p. 89), on voit que les propriétés que l’on veut conserver sont “génériquement vraies” et constructibles, donc vraies sur un ouvert adéquat de l’espace projectif dual (cf proposition 3.1.1). Il suffit alors de prendre un point entier (donné par le théorème 2.1.3) sur cet ouvert et d’utiliser la dualité.

Je remercie Emmanuel Ullmo de m’avoir guidé dans l’élaboration de ce papier.

1 Les préliminaires

1.1 Un peu de théorie des hauteurs

Définitions: Une variété arithmétique est un schéma X intègre, projectif et plat sur ℤ, tel que la fibre générique X_{ℚ} est régulière. Un faisceau inversible hermitien est un couple L̂ = (L; ∥ ∥), formé d’un faisceau inversible L sur X, et d’une famille ∥ ∥ de normes hermitiennes sur L_{ℂ} variant de manière C^{∞} sur X(ℂ) et invariante par conjugaison complexe.

On note ωL̂ la (1;1)-forme de courbure de L̂_{ℂ} sur X(ℂ).

Soit K un corps de nombres, et O_{K} son anneau des entiers. Une variété arithmétique sur O_{K} est un O_{K}-schéma X tel que X est une variété arithmétique et la fibre générique X_{K} est géométriquement irréductible sur K.

Soit X une variété arithmétique de dimension d ≥ 1. On désigne par P̂ic(X) le groupe des classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens sur X. Pour 0 ≤ p ≤ d, on note Z_{p}(X) le groupe des combinaisons ℤ-linéaires de fermés intègres de dimension p. On définit aussi (cf [7] p. 485, [3] p. 933) le groupe de Chow arithmétique de dimension p, noté ĈH_{p}(X). Le degré arithmétique définit un morphisme de groupes d̂eg : ĈH_{0}(X) → ℝ.

Dans toute la suite de ce paragraphe, on se donne une variété arithmétique X de dimension d ≥ 1 et L̂ ∈ P̂ic(X).

Pour 1 ≤ p ≤ d, on définit la première classe de Chern arithmétique ĉ_{1}(L̂) : ĈH_{p}(X) → ĈH_{p−1}(X), qui est un morphisme de groupes.

Soit p ∈ {0; …; d}, et D ∈ Z_{p}(X). Soit g un courant de Green pour D. Le réel

hL̂(D) = d̂eg[ĉ_{1}(L̂)^{p}(D; g) − (0; ω∧p ; L̂ ∧ g)]

ne dépend pas du choix de g. On l’appelle la hauteur de D relativement à L̂.

Soit Y un fermé intègre horizontal de dimension p. La hauteur normalisée de Y relativement à L̂ est le réel

h′ ; L̂(Y) = \frac{hL̂(Y)}{deg_{L_{ℚ}}(Y_{ℚ})p} .

Proposition 1.1.1: Soit Y un fermé intègre de dimension p, n un entier ≥ 1, et s une section rationnelle non nulle de L_{|Y}^{⊗n} sur Y. Alors on a

hL̂(Y)n = hL̂(div(s)) − ∫_{Y (ℂ)} ln ∥s_{ℂ}∥ωp−1 ; L̂

(L’intégrale est nulle si Y est vertical).

Démonstration: C’est la proposition 3.2.1 (iv) de [3] p. 949. □

Dans la suite de ce paragraphe, on se donne un fermé intègre horizontal Y de dimension p.

Le ℝ-espace vectoriel Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n})_{ℝ} s’identifie à l’espace des sections holomorphes de L_{ℂ|Y_{ℂ}} sur Y (ℂ) invariantes par conjugaison complexe. Il est naturellement muni de la norme ∥ ∥_{∞} définie par ∥s∥_{∞} = max_{P ∈Y (ℂ)}∥s(P)∥.

Lemme 1.1.2: On suppose L ample et ωL̂ semipositive. Soit n ≥ 1, et s ∈ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n}) − {0}. On écrit div(s) = ∑_{i} m_{i}F_{i} + ∑_{j} l_{j}V_{j}, avec les F_{i} intègres

horizontaux et les V_{j} intègres verticaux.

Alors il existe i_{0} tel que (p − 1)h′ ; L̂(F_{i_{0}}) ≤ h′ ; L̂(Y)p + \frac{1}{n} ln ∥s_{ℂ}∥_{∞}.

Démonstration: Soit i_{0} tel que h′ ; L̂(F_{i_{0}}) = min_{i} h′ ; L̂(F_{i}). On a alors:

hL̂(div(s)) = ∑_{i} m_{i}hL̂(F_{i}) + ∑_{j} l_{j}hL̂(V_{j})

≥ (p − 1)h′ ; L̂(F_{i_{0}}) ∑_{i} m_{i} deg_{L_{ℚ}}(F_{i}) = (p − 1)h′ ; L̂(F_{i_{0}}) deg_{L_{ℚ}}(Y_{ℚ})n .

Par ailleurs, on a:

∫_{Y (ℂ)} ln ∥s_{ℂ}∥ωp−1 ; L̂ ≤ ln ∥s_{ℂ}∥_{∞} ∫_{Y (ℂ)} ωp−1 ; L̂ = ln ∥s_{ℂ}∥_{∞} deg_{L_{ℚ}}(Y_{ℚ}) .

On utilise alors la proposition 1.1.1 pour conclure. □

Définition: Soit U un ouvert de Y. Un point entier sur U est un fermé (de Y) intègre horizontal de dimension 1 contenu dans U.

On dit que hL̂ est une bonne hauteur lorsque L est ample et ωL̂ semipositive. On pose alors AL̂(Y) = inf_{E} h′ ; L̂(E), où E parcourt l’ensemble des points

entiers sur Y. C’est un réel (cf [3] p. 954).

1.2 Quelques résultats

Voici quelques résultats dont on aura besoin dans la suite. On note B_{0} = Spec(ℤ). Par ailleurs, on convient que le mot “composante” sous-entend “composante irréductible”.

Proposition 1.2.1: Soit Y un schéma projectif et plat sur ℤ, purement de dimension p ≥ 1. Alors il existe un fermé F horizontal purement de dimension 1 tel que:

- Tout fermé irréductible vertical de dimension p − 1 (ie toute composante de chaque fibre spéciale du morphisme Y → B_{0}) rencontre F;

- Chaque composante de Y contient une composante de F.

Démonstration: Il existe un corps de nombres K tel que les composantes Z_{1}; …; Z_{r} de Y_{K} sont géométriquement irréductibles sur K. On pose B = Spec(O_{K}). Le changement de base p : B → B_{0} induit un morphisme p_{1} : Y_{O_{K}} → Y. Soit Y′_{i} l’adhérence de Z_{i} dans Y_{O_{K}}. Alors Y′_{1}; …; Y′_{r} sont les composantes de Y_{O_{K}}. La propriété d’irréductibilité géométrique étant constructible (cf [9] p. 36), il existe un ensemble fini A de B tel que, pour tout i ∈ {1; …; r} et tout b ∈ B − A, la fibre Y′_{ib} de Y′_{i} au dessus de b est géométriquement irréductible sur k(b). Soit x_{i} un point fermé de Z_{i}.

Soit F_{1} l’adhérence de {p_{1}(x_{1}); …; p_{1}(x_{r})} dans Y. Chaque composante de Y contient alors une composante de F_{1}. De plus, pour tout b ∈ B_{0} − p(A), chaque composante de la fibre Y_{b} rencontre F_{1}.

Il reste à traiter le cas de l’ensemble \underline{fini} J des composantes des fibres de Y au dessus des points de p(A). Pour V ∈ J, soit x_{V} un point fermé de V, et E_{V} un fermé irréductible horizontal de dimension 1 passant par x_{V}.

Le fermé F = F_{1} ∪ ⋃_{V ∈J} E_{V} convient alors pour la proposition. □

Proposition 1.2.2: Soit F un schéma réduit, projectif et plat sur ℤ, purement de dimension 1. Il existe alors c et n_{0} ≥ 1 vérifiant:

Pour tout L̂ ∈ P̂ic(F) et tout n ≥ 1, il existe u ∈ Γ(F; L^{⊗n_{0}n}) ne s’annulant pas sur F, tel que ∥u_{ℂ}∥_{∞} ≤ e^{c−an_{0}n}, où a = min_{C} h′ ; L̂(C), C parcourant les composantes intègres de F.

Démonstration: Comme Pic(F) est fini (cf [13] p. 165), il existe n_{0} ≥ 1 tel que pour tout L ∈ Pic(F), on a L^{⊗n_{0}} ≃ O_{F}. On applique alors la proposition 1.3.3 de [2] p. 206. □

Proposition 1.2.3 (Zhang): Soit X une variété complexe projective lisse, purement de dimension d ≥ 1, et L̂ un faisceau inversible hermitien sur X tel que L est ample et la courbure de L̂ est semipositive. Soient Y et Z deux fermés de Zariski de X, avec Z ⊂ Y. Soit enfin t ∈ Γ(Z; L_{|Z}), et ϵ > 0.

Alors, pour tout n assez grand, il existe s ∈ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n}) tel que s_{|Z} = t^{⊗n} et ∥s∥_{∞} ≤ e^{ϵn}∥t∥_{∞}^{n}.

S’il existe une variété algébrique réelle X′ projective lisse telle que X = X′_{ℂ}, et si L̂, Y, Z, t sont invariants par conjugaison complexe, alors on peut imposer à s de l’être aussi.

Démonstration: D’après le théorème 3.5 (1) de [18] p. 200, L̂_{ℂ|Y_{ℂ}} est “semiample” (au sens de Zhang) sur Y_{ℂ}. On applique alors le théorème 3.3 de [18] p. 198. □

2 Le théorème de Rumely effectif

2.1 Le théorème

Dans tout ce qui suit, X est une variété arithmétique de dimension d ≥ 2. C’est l’espace ambiant dans lequel on travaille par la suite. On se donne aussi L̂ ∈ P̂ic(X) tel que L est ample et la courbure ωL̂ de L̂_{ℂ} est semipositive.

Soit enfin Y un fermé intègre horizontal de dimension p. Le ℝ-espace vectoriel Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n})_{ℝ} est muni de la norme ∥ ∥_{∞} (cf paragraphe 1.1).

Rappelons le résultat suivant, dû à Zhang:

Théorème 2.1.1: Soit I un idéal cohérent non nul de O_{Y}, et ϵ > 0. Posons Γ_{n} = Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n} ⊗ I). L’injection Γ_{n} ↪ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n}) munit naturellement l’espace Γ_{nℝ} de la norme ∥ ∥_{∞}.

Alors, pour tout n assez grand, il existe une base (s_{1}; …; s_{N}) du ℤ-module libre Γ_{n} telle que

∀i ∈ {1; …; N} ∥s_{iℂ}∥_{∞} ≤ exp(−AL̂(Y)n + ϵn) .

Démonstration: C’est une variante du corollaire 4.8 de [18] p. 207. □

Proposition 2.1.2: Soit Y un fermé intègre horizontal de dimension p ≥ 2, et Z un fermé horizontal de Y purement de dimension p − 1. Soit ϵ > 0.

Il existe n ≥ 1 et s ∈ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n}) tels que:

- Le schéma des zéros de s_{|Z} est horizontal purement de dimension p − 2;

- On a ∥s_{ℂ}∥_{∞} ≤ exp(−AL̂(Y)n + ϵn).

Démonstration: D’après la proposition 1.2.1, il existe un fermé F de Z horizontal purement de dimension 1 tel que:

- Tout fermé irréductible vertical de Z de dimension p − 2 rencontre F;

- Chaque composante de Z contient une composante de F.

Soit I l’idéal définissant F dans Y. Posons Γ_{n} = Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n} ⊗ I). Par amplitude de L_{|Y}, on a, pour tout n assez grand, la suite exacte de ℤ-modules libres suivante:

0 → Γ_{n} → Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n}) → Γ(F; L_{|F}^{⊗n}) → 0 . (∗)

D’après la proposition 1.2.2, il existe n_{1} ≥ 1 et u ∈ Γ(F; L_{|F}^{⊗n_{1}}) ne s’annulant pas sur F, et tel que ∥u_{ℂ}∥_{∞} ≤ e^{−AL̂(Y)n_{1}+ϵn_{1}}.

D’après la proposition 1.2.3, il existe v ∈ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n_{1}n})_{ℝ} tel que v_{|F_{ℂ}} = u_{ℂ}^{⊗n} et ∥v∥_{∞} ≤ e^{ϵn}∥u_{ℂ}∥_{∞}^{n}.

Par ailleurs, d’après la suite exacte (∗), il existe t ∈ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n_{1}n}) tel que t_{|F} = u^{⊗n}. Alors (v − t_{ℂ})_{|F_{ℂ}} = 0 donc v − t_{ℂ} ∈ Γ_{nℝ}.

D’après le théorème 2.1.1, il existe s′ ∈ Γ_{n} tel que l’on a la majoration: ∥v − t_{ℂ} − s′_{ℂ}∥_{∞} ≤ e^{−AL̂(Y)n_{1}n+ϵn_{1}n}.

On pose s = s′ + t. On a alors ∥s_{ℂ}∥_{∞} ≤ e^{−AL̂(Y)n_{1}n+3ϵn_{1}n}. Et par construction de F, le schéma des zéros de s_{|Z} ne contient pas de composante de Z et n’a pas de composante verticale. □

Théorème 2.1.3: Soit Y un fermé intègre horizontal de dimension p ≥ 2, et Z un fermé de Y ne contenant aucun fermé irréductible vertical de dimension p−1. Soit ϵ > 0, et Y_{ϵ} l’ensemble des points fermés x de Y_{ℚ} tels que l’adhérence E = \overline{\{x\}} est un point entier sur Y − Z vérifiant h′ ; L̂(E) ≤ h′ ; L̂(Y)p − (p − 1)AL̂(Y) + ϵ.

Alors Y_{ϵ} est Zariski-dense dans Y_{ℚ} (donc infini).

Démonstration: Montrons d’abord qu’il existe un point entier E sur Y − Z tel que

h′ ; L̂(E) ≤ h′ ; L̂(Y)p − (p − 1)AL̂(Y) + ϵ . (1)

Quitte à l’agrandir, on peut supposer Z horizontal purement de dimension p − 1. On procède alors par récurrence sur p:

Supposons p = 2. La proposition 2.1.2 fournit une section s ∈ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n}) − {0} telle que div(s) et Z sont disjoints et ∥s_{ℂ}∥_{∞} ≤ e^{−AL̂(Y)n+ϵn}. On écrit div(s) = ∑_{i} m_{i}F_{i}+∑_{j} l_{j}V_{j}, avec les F_{i} intègres horizontaux et les V_{i} intègres ver-

ticaux. D’après le lemme 1.1.2, il existe i_{0} tel que h′ ; L̂(F_{i_{0}}) ≤ 2h′ ; L̂(Y)−AL̂(Y)+ϵ. Donc E = F_{i_{0}} convient.

Supposons maintenant p ≥ 3. D’après la proposition 2.1.2, il existe s ∈ Γ(Y; L_{|Y}^{⊗n}) tel que:

- Le schéma des zéros de s_{|Z} est horizontal purement de dimension p − 2;

- On a ∥s_{ℂ}∥_{∞} ≤ e^{−AL̂(Y)n+ϵn/2}.

On écrit div(s) = ∑_{i} m_{i}F_{i} + ∑_{j} l_{j}V_{j}. D’après le lemme 1.1.2, il existe i_{0} tel

que (p − 1)h′ ; L̂(F_{i_{0}}) ≤ h′ ; L̂(Y)p − AL̂(Y) + \frac{ϵ}{2}.

On pose Y′ = F_{i_{0}} et Z′ = Z ∩ F_{i_{0}}. Alors, par hypothèse de récurrence, il existe un point entier E sur Y′ − Z′ tel que h′ ; L̂(E) ≤ (p − 1)h′ ; L̂(Y′) − (p − 2)AL̂(Y′) + \frac{ϵ}{2}. Alors E est un point entier sur Y − Z, et sachant que AL̂(Y′) ≥ AL̂(Y), on obtient h′ ; L̂(E) ≤ h′ ; L̂(Y)p − (p − 1)AL̂(Y) + ϵ.

D’où le résultat.

Raisonnons maintenant par l’absurde en supposant que Y_{ϵ} n’est pas Zariskidense dans Y_{ℚ}. En appliquant ce qui précède à Z′ = Z ∪ \overline{Y_{ϵ}}, on voit que Y − Z admet un point entier E vérifiant l’inégalité (1) et de point générique non contenu dans Y_{ϵ}. D’où une contradiction. □

2.2 Une application aux schémas abéliens

Soit X un schéma abélien sur O_{K} de dimension d ≥ 2, et e ∈ X(O_{K}) sa section neutre. On pose B = Spec(O_{K}). Pour tout entier non nul m, on note [m] : X → X le morphisme de multiplication par m.

Soit L un faisceau inversible ample sur X, symétrique (ie [−1]^{∗}L ≃ L sur X), et rigidifié (ie e^{∗}L ≃ O_{B} sur B). Par le théorème du cube, on en déduit naturellement, pour tout m ≠ 0, un isomorphisme [m]^{∗}L ≃ L^{⊗m^{2}} sur X.

Posons A = X_{K} et L = L_{K}. Pour un point fermé x de A, on note h̃_{L}(x) la hauteur de Néron-Tate de x relativement à L.

Proposition 2.2.1: Soit U un ouvert de X tel que l’application U → B est surjective. Soit ϵ > 0, et A_{ϵ} l’ensemble des points fermés x de A vérifiant: h̃_{L}(x) ≤ ϵ et l’adhérence \overline{\{x\}} dans X est un point entier sur U.

Alors A_{ϵ} est Zariski-dense dans A.

Démonstration: Il existe, d’après [11] p. 50-52, une unique famille C^{∞} de normes hermitiennes ∥ ∥ sur L_{ℂ} à courbure invariante par translations (ie une “métrique du cube”), telle que pour tout m ≠ 0, l’isomorphisme [m]^{∗}L ≃ L^{⊗m^{2}} devient une isométrie.

On pose L̂ = (L; ∥ ∥). Si x est un point fermé de A et E est l’adhérence \overline{\{x\}} dans X, alors on a h′ ; L̂(E) = h̃_{L}(x) (cf [1] p. 150). En particulier, on a AL̂(X) = 0. Par ailleurs, on a hL̂(X) = 0 (cf [16] p. 344). Il suffit alors d’appliquer le théorème 2.1.3. □

3 Une application: Bertini arithmétique

3.1 La partie algébrique

Lorsque A est un anneau noethérien et M un A-module de type fini, on notera P(M) le A-schéma Proj[Sym(M)].

Pour des précisions sur les propriétés de l’hyperplan universel, on pourra consulter [5] p. 122-124, ainsi que [6].

Soit K un corps de nombres, et M un O_{K}-module localement libre de rang r + 1. On pose B = Spec(O_{K}), ℙ = P(M), ℙ^{∨} = P(M^{∨}), et β la projection ℙ → B. Soit ℍ ⊂ ℙ ×_{B} ℙ^{∨} l’hyperplan universel. On a la propriété universelle suivante:

Pour tout O_{K}-schéma noethérien T, l’ensemble ℙ(T) des O_{K}-points de ℙ à valeurs dans T est en bijection avec l’ensemble des hyperplans de ℙ_{T}^{∨}, par l’application qui à ϕ : T → ℙ associe ℍ_{ϕ} = ℍ ×_{ℙ} T.

Soit maintenant X ⊂ ℙ^{∨} une variété arithmétique sur O_{K} de dimension d ≥ 3, et f : X → B le morphisme structural.

On pose ℍ′ = ℍ ×_{ℙ^{∨}} X = ℍ ∩ (ℙ ×_{B} X) (intersection dans ℙ ×_{B} ℙ^{∨}), et π : ℍ′ → ℙ le morphisme induit par la première projection. Pour ϕ ∈ ℙ(T), on a ℍ′_{ϕ} = ℍ′ ×_{ℙ} T = ℍ_{ϕ} ∩ X_{T} (intersection dans ℙ_{T}^{∨}).

L’objectif des théorèmes de Bertini est de relier les propriétés du morphisme π (en particulier celles de ses fibres) à celles de f.

Soit U_{0} l’ensemble des y ∈ ℙ tels que pour tout x ∈ ℍ′_{y} = π^{−1}(y), π est plat en x. U_{0} est un ouvert non vide de ℙ, au dessus duquel les fibres de π sont purement de dimension d − 2 (et non vides).

Soit J l’ensemble fini des b ∈ B tels que X_{b} = f^{−1}(b) n’est pas lisse sur k(b). On désigne par W l’ensemble des y ∈ U_{0} vérifiant: β(y) ∈ B − J, et ℍ′_{y} est lisse et géométriquement irréductible sur k(y).

Pour un schéma T de type fini sur un corps, notons n(T) le nombre géométrique de composantes irréductibles de T sur ce corps. On pose alors, pour b ∈ J, W_{b} égal à l’ensemble des y ∈ U_{0} tels que: β(y) = b et n(ℍ′_{y}) = n(X_{b}).

La proposition suivante, qui s’intéresse à W′ = W ∪ ⋃_{b∈J} W_{b}, est la partie

algébrique du théorème de Bertini arithmétique que l’on veut démontrer:

Proposition 3.1.1: L’ensemble ℙ − W′ est contenu dans un fermé horizontal purement de codimension 1 dans ℙ.

Démonstration: On remarque d’abord que W et les W_{b} sont constructibles, donc W′ l’est aussi (Pour des rappels sur la constructibilité, on pourra consulter [9] p. 2-4 et 36).

Pour b ∈ B, notons η_{b} le point générique de ℙ_{b} = β^{−1}(b). Alors ℍ′ est plat sur B, et π_{b} : ℍ′_{b} → ℙ_{b} est plat en tout x tel que π_{b}(x) = η_{b} (car O_{ℙ_{b};η_{b}} est un corps). Donc par le critère de platitude par fibres (cf [8] p. 138), on a η_{b} ∈ U_{0}, et ce pour tout b ∈ B.

Soit maintenant b ∈ B − J. X_{b} est géométriquement connexe (théorème de Zariski) et lisse, donc géométriquement irréductible. D’après les théorèmes de Bertini classiques (ie sur les corps) (cf [9] p. 89), ℍ′_{η_{b}} est donc lisse et géométriquement irréductible sur k(η_{b}); d’où η_{b} ∈ W.

De même, en prenant cette fois b ∈ J, on a, par une variante des théorèmes de Bertini classiques (cf [9]), la relation n(ℍ′_{η_{b}}) = n(X_{b}), ie η_{b} ∈ W_{b}.

Finalement, on a montré que η_{b} ∈ W′ pour tout b ∈ B. Sachant que W′ est constructible, on en déduit le résultat. □

3.2 La version effective

On conserve les notations du paragraphe 3.1, en supposant de plus que M̂ est hermitien. Le faisceau inversible L = O_{ℙ^{∨}}(1) est alors naturellement muni d’une structure hermitienne.

De même, en munissant M^{∨} de la structure hermitienne duale, on a une structure hermitienne sur M = O_{ℙ}(1).

Remarquons par ailleurs que si L est une extension finie de K, X_{O_{L}} est une variété arithmétique sur O_{L}.

On pose, pour n ≥ 1, a_{n} = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i}. Par ailleurs, on définit d̂eg(M̂) =

d̂eg(Λ^{r+1}M̂) = h_{Λ^{r+1}M̂}(B).

Le lemme qui suit relie les hauteurs dans ℙ et dans ℙ^{∨}:

Proposition 3.2.1: Soit L une extension finie de K, et ϕ ∈ ℙ(O_{L}). On note E l’image de ϕ dans ℙ; c’est un point entier sur ℙ. On a alors:

h′ ; L̂_{O_{L}} (ℍ_{ϕ}) = \frac{1}{r}h′ ; M̂(E) − \frac{d̂eg(M̂)}{r[K : ℚ]} + \frac{a_{r} − 1}{2} .

Démonstration: On pose ici, pour Y fermé intègre horizontal de ℙ_{O_{L}}^{∨} de dimension p:

h′(Y) = h′ ; L̂_{O_{L}} (Y) + \frac{d̂eg(M̂)}{p[K : ℚ]} − \frac{a_{p} − 1}{2} ;

h′ est la “hauteur projective” de Bost, Gillet et Soulé (cf [3] p. 964), normalisée comme dans le paragraphe 1.1.

Le morphisme ϕ définit un O_{L}-module inversible F et un morphisme surjectif de O_{L}-modules M_{O_{L}} → F. Soit N le noyau de ce morphisme, de sorte que l’on a une suite exacte de O_{L}-modules localement libres:

0 → N → M_{O_{L}} → F → 0 .

On a alors ℍ_{ϕ} = P(N^{∨}), et l’immersion ℍ_{ϕ} ↪ ℙ_{O_{L}}^{∨} est induite par le morphisme surjectif de O_{L}-modules M_{O_{L}}^{∨} → N^{∨}.

On munit N et F des normes induites par M̂_{O_{L}}. D’un côté, on a h′ ; M̂(E) =

\frac{d̂eg(F̂)}{[L:ℚ]}. Et de l’autre, on a, d’après la proposition 4.1.2 (ii) de [3] p. 965:

r[L : ℚ]h′(ℍ_{ϕ}) = d̂eg(M̂_{O_{L}}) − d̂eg(N̂) .

Or, par additivité du degré arithmétique (cf [10] p. 106), on a la relation d̂eg(M̂_{O_{L}}) = d̂eg(F̂) + d̂eg(N̂). On en déduit h′(ℍ_{ϕ})r = h′ ; M̂(E). D’où le résultat. □

Le lemme suivant est une forme faible du théorème de Bézout arithmétique:

Proposition 3.2.2: Soit H un hyperplan de ℙ_{O_{L}}^{∨} ne contenant pas X_{O_{L}}. On a alors:

(d − 1)h′ ; L̂_{O_{L}} (H ∩ X_{O_{L}}) ≤ h′ ; L̂_{O_{L}} (H)r + h′ ; L̂(X)d + \frac{d̂eg(M̂)}{[K : ℚ]} − \frac{r}{2}(a_{r} − 1) − \frac{a_{d−1}}{2} .

Démonstration: D’après le théorème 5.4.4 (i) de [3] p. 1007, on a

(d − 1)h′(H ∩ X_{O_{L}}) ≤ h′(X_{O_{L}})d + h′(H)r ,

où h′ désigne, comme dans la démonstration de la proposition précédente, la hauteur projective normalisée. On en déduit le résultat en remarquant que

h′ ; L̂_{O_{L}} (X_{O_{L}}) = h′ ; L̂(X). □

Théorème 3.2.3: Soit ϵ > 0. Il existe une extension finie L de K et un fermé X′ de X_{O_{L}} tels que, en posant B′ = Spec(O_{L}) et g : B′ → B le morphisme induit par O_{K} ↪ O_{L}:

- Le fermé X′ est une variété arithmétique sur O_{L} de dimension d − 1;

- Pour tout b ∈ B′ tel que g(b) ∈ B − J, X′_{b} est lisse et géométriquement irréductible sur k(b);

- Pour tout b ∈ B′ tel que g(b) ∈ J, on a n(X′_{b}) = n(X_{g(b)});

- On a l’inégalité

(d − 1)h′ ; L̂_{O_{L}} (X′) ≤ h′ ; L̂(X)d + \frac{d̂eg(M̂)}{[K : ℚ]} − AM̂(ℙ)r + \frac{r + 1}{2}a_{r} − \frac{r}{2} − \frac{a_{d−1}}{2} + ϵ .

Démonstration: D’après la proposition 3.1.1, il existe un fermé horizontal Z purement de codimension 1 dans ℙ tel que ℙ − Z ⊂ W′. D’après le théorème 2.1.3, il existe alors un point entier E sur ℙ − Z tel que

h′ ; M̂(E) ≤ (r + 1)h′ ; M̂(ℙ) − AM̂(ℙ)r + ϵ . (1)

Il existe une extension finie L de K et ϕ ∈ ℙ(O_{L}) tel que E est l’image de ϕ dans ℙ.

On pose H = ℍ_{ϕ}, X′ = ℍ′_{ϕ} = H ∩ X_{O_{L}}, B′ = Spec(O_{L}) et g : B′ → B le morphisme induit par l’injection O_{K} ↪ O_{L}.

On a E ⊂ U_{0}, donc X′ est plat sur O_{L}. De plus, pour b ∈ B′, on a X′_{b} = ℍ′_{ϕ(b)}. On en déduit que X′_{b} est purement de dimension d − 2 (et non vide). En outre, si g(b) ∈ B − J, X′_{b} est lisse et géométriquement irréductible sur k(b); et si g(b) ∈ J, on a n(X′_{b}) = n(X_{g(b)}).

Cela implique que X′ est une variété arithmétique sur O_{L} de dimension d−1. Pour finir, on sait que (r + 1)h′ ; M̂(ℙ) = \frac{r+1}{2}a_{r} − \frac{r}{2} + \frac{d̂eg(M̂)}{[K:ℚ]} (cf [3] p. 965).

Ceci, associé à la proposition 3.2.1 et à l’inégalité (1), nous donne

h′ ; L̂_{O_{L}} (H)r ≤ (2r + 1)\frac{a_{r}}{2} − r − AM̂(ℙ)r + ϵ .

La majoration de (d − 1)h′ ; L̂_{O_{L}} (X′) s’en déduit à l’aide de la proposition 3.2.2. □

Références

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[2] P. Autissier: Points entiers sur les surfaces arithmétiques. Journal für die reine und angew. Math. 531 (2001), p. 201-235.

[3] J.B. Bost, H. Gillet, C. Soulé: Heights of projective varieties and positive Green forms. Journal of the AMS 7 (1994), p. 903-1027.

[4] T. Chinburg, R. Rumely: Well-adjusted models for curves over Dedekind rings. Progress in Math. 89 (1991), p. 3-24.

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[10] S. Lang: Introduction to Arakelov theory. Springer-Verlag (1988).

[11] L. Moret-Bailly: Métriques permises. Astérisque 127 (1985), p. 29-87.

[12] L. Moret-Bailly: Points entiers des variétés arithmétiques. Progress in Math. 71 (1987), p. 147-154.

[13] L. Moret-Bailly: Groupes de Picard et problèmes de Skolem I. Annales Scientifiques de l’ENS 22 (1989), p. 161-179.

[14] A. Moriwaki: Arithmetic Bogomolov-Gieseker’s inequality. American Journal of Math. 117 (1995), p. 1325-1347.

[15] R. Rumely: Arithmetic over the ring of all algebraic integers. Journal für die reine und angew. Math. 368 (1986), p. 127-133.

[16] L. Szpiro, E. Ullmo, S. Zhang: Equirépartition des petits points. Inventiones Math. 127 (1997), p. 337-347.

[17] E. Ullmo: Points entiers, points de torsion et amplitude arithmétique. American Journal of Math. 117 (1995), p. 1039-1055.

[18] S. Zhang: Positive line bundles on arithmetic varieties. Journal of the AMS 8 (1995), p. 187-221.

Pascal Autissier, Département de Mathématiques, Bâtiment 425, Université Paris XI, 91405 ORSAY Cedex, FRANCE

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