Hauteur des correspondances de Hecke

Pascal Autissier

16 septembre 2002

L’objectif de ce papier est de mesurer la complexité arithmétique de la courbe modulaire X_{0}(N) en fonction du niveau N. Pour ce faire, on utilise un morphisme fini (de degré 1 sur son image) de X_{0}(N) vers une variété fixe X(1) × X(1), et on calcule la hauteur au sens d’Arakelov de l’image T_{N} de ce morphisme. La hauteur employée est directement reliée à la hauteur de Faltings des courbes elliptiques.

On a besoin pour cela de considérer une théorie d’Arakelov pour les faisceaux inversibles hermitiens L_{1}^{2}-singuliers [2] (au lieu de C^{∞} classiquement [3]) ; cf aussi les travaux de Burgos et Kühn (en préparation) à ce sujet.

On en déduit des résultats sur la hauteur (de Faltings) de courbes elliptiques isogènes, ainsi que sur des moyennes de hauteurs de courbes elliptiques à multiplication complexe (ie une formule de Kronecker arithmétique).

1 Théorie des hauteurs

1.1 Généralités

Définitions : Une variété arithmétique est un schéma X intègre, projectif et plat sur ℤ, tel que la fibre générique X_{ℚ} soit lisse sur ℚ.

Soient K un corps de nombres, et O_{K} son anneau des entiers. Une variété arithmétique sur O_{K} est un O_{K}-schéma X tel que X soit une variété arithmétique et que la fibre générique X_{K} soit géométriquement irréductible sur K.

Remarquons que si X_{1} et X_{2} sont des variétés arithmétiques sur O_{K}, alors le produit X_{1} ×_{O_{K}} X_{2} est aussi une variété arithmétique sur O_{K}.

Définitions : Soient X une variété arithmétique, et W une partie fermée de X(ℂ) stable par conjugaison complexe. Un faisceau inversible hermitien sur X singulier le long de W est un couple L̂ = (L; ∥ ∥), formé d’un faisceau inversible L sur X, et d’une famille ∥ ∥ de normes hermitiennes sur L_{ℂ} variant de manière continue sur X(ℂ) − W et invariante par conjugaison complexe.

On note ωL̂ le (1 ;1)-courant de courbure de L̂_{ℂ} sur X(ℂ) − W.

Lorsque W est vide et la famille ∥ ∥ est C^{∞} sur X(ℂ), le faisceau inversible hermitien L̂ est dit C^{∞}. Les classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens C^{∞} sur X forment un groupe P̂ic(X) pour le produit tensoriel.

Soit X une variété arithmétique. On désigne par Z_{1}(X) le groupe des 1-cycles (ie combinaisons ℤ-linéaires de sous-schémas fermés intègres de dimension 1) sur X.

Un point entier de X est un fermé intègre de X qui est horizontal (ie plat sur ℤ) et de dimension 1.

Soit L̂ un faisceau inversible hermitien singulier le long d’un W. Notons Z_{1}(X; W) le groupe des D ∈ Z_{1}(X) tels que le support de D_{ℂ} ne rencontre pas W.

Définitions : Soit Y un fermé intègre de X tel que Y ∈ Z_{1}(X; W) en tant que cycle. La hauteur de Y relativement à L̂ est le réel hL̂(Y) défini par :

- Si Y est horizontal, alors hL̂(Y) = d̂eg(L̂_{|Y}) où d̂eg est le degré arithmétique ;

- Si Y est vertical au-dessus d’un nombre premier p, alors hL̂(Y) = deg_{𝔽_{p}}(L_{|Y}) ln p.

Dans le cas Y horizontal (ie Y est un point entier), on définit la hauteur normalisée

h′ ; L̂(Y) de Y relativement à L̂ par h′ ; L̂(Y) = \frac{hL̂(Y)}{[k(Y) : ℚ]} .

En outre, par ℤ-linéarité, on définit la hauteur hL̂(D) pour tout D ∈ Z_{1}(X; W).

1.2 Correspondances

Commençons ce paragraphe par quelques rappels de la théorie d’Arakelov généralisée de Bost [2] dans le cas des surfaces arithmétiques (ie variétés arithmétiques de dimension 2) :

Soient X une surface arithmétique, W une partie finie de X(ℂ) stable par conjugaison complexe, et L̂ = (L; ∥ ∥) un faisceau inversible hermitien singulier le long de W. L̂ est dit L_{1}^{2}-singulier le long de W lorsque pour une (donc pour toute) famille ∥ ∥′ telle que (L; ∥ ∥′) soit C^{∞}, la fonction ln \frac{∥ ∥}{∥ ∥′} est L_{1}^{2} (cf [2] p. 254) sur X(ℂ).

La courbure ωL̂ se prolonge alors en un courant sur X(ℂ).

Les classes d’isométrie de faisceaux inversibles hermitiens L_{1}^{2}-singuliers (le long d’un certain W) forment un groupe P̂ic(X; L_{1}^{2}).

La théorie de Bost [2] (cf p. 274) définit une forme bilinéaire symétrique que l’on notera ⟨ . ⟩ : P̂ic(X; L_{1}^{2}) × P̂ic(X; L_{1}^{2}) → ℝ.

Pour L̂ ∈ P̂ic(X; L_{1}^{2}), la hauteur de X relativement à L̂ est le réel noté hL̂(X) que l’on définit par hL̂(X) = ⟨L̂.L̂⟩. On a la propriété suivante :

Proposition 1.1 : Soit L̂ un faisceau inversible hermitien L_{1}^{2}-singulier le long d’un W tel que ωL̂ soit localement L^{t} sur X(ℂ) − W pour un certain réel t > 1. Soient n ≥ 1 et s une section rationnelle globale non nulle de L^{⊗n} sur X tel que le support de div(s_{ℂ}) ne rencontre pas W. Alors on a

hL̂(X)n = hL̂(div(s)) − ∫_{X(ℂ)} ln ∥s_{ℂ}∥ωL̂ .

Démonstration : C’est la propostion 5.3 de [2], où l’on a remplacé l’hypothèse L^{∞} par l’hypothèse L^{t} grâce au lemme 5.2 de [2]. □

On a également une formule de projection :

Soit f : X_{1} → X_{2} un morphisme surjectif de surfaces arithmétiques. Il est alors génériquement fini ; soit e son degré (générique).

Si L̂ est un faisceau inversible hermitien sur X_{2} L_{1}^{2}-singulier le long d’un W, alors f^{∗}L̂ est un faisceau inversible hermitien sur X_{1} L_{1}^{2}-singulier le long de f_{ℂ}^{−1}(W). Cela induit un homomorphisme f^{∗} : P̂ic(X_{2}; L_{1}^{2}) → P̂ic(X_{1}; L_{1}^{2}).

On a alors ⟨f^{∗}L̂.f^{∗}M̂⟩ = ⟨L̂.M̂⟩e pour tout (L̂; M̂) ∈ Pic(X_{2}; L_{1}^{2})^{2}. En particulier, on a h_{f^{∗}L̂}(X_{1}) = hL̂(X_{2})e pour tout L̂ ∈ Pic(X_{2}; L_{1}^{2}).

On s’intéresse maintenant au cas particulier suivant : Soient K un corps de nombres, X une surface arithmétique sur O_{K}, et M̂ ∈ P̂ic(X; L_{1}^{2}). On pose P = X ×_{O_{K}} X, et L̂ = pr_{1}^{∗}M̂ ⊗ pr_{2}^{∗}M̂, où les pr_{i} sont les projections P → X.

Une correspondance T de X est un diviseur de Weil intègre sur P tel que les projections restreintes pr_{i} : T → X soient surjectives. On définit la hauteur hL̂(T) de T relativement à L̂ de la manière suivante :

Soit f : T′ → T un morphisme surjectif de degré 1 (ie birationnel), avec T′ surface arithmétique. On pose π_{i} = pr_{i} ∘ f. On remarque que l’on a f^{∗}L̂ = π_{1}^{∗}M̂ ⊗ π_{2}^{∗}M̂ dans P̂ic(T′; L_{1}^{2}). On pose alors hL̂(T) = h_{f^{∗}L̂}(T′). La formule de projection assure que ce réel ne dépend pas du choix de T′ et de f (et il existe toujours un tel couple (T′; f) : par exemple, la normalisation de T).

Notons que lorsque M̂ est C^{∞}, cette définition coïncide celle de [3] p. 945 (hauteur de T en tant que 2-cycle sur P).

Remarque 1.2 : Soit T un diviseur de Weil intègre horizontal sur P qui n’est pas une correspondance. Alors T est nécessairement une surface arithmétique de la forme T = pr_{1}^{∗}Y = Y ×_{O_{K}} X ou T = pr_{2}^{∗}Y = X ×_{O_{K}} Y, avec Y point entier de X.

Si de plus Y ∈ Z_{1}(X; W), alors on a (par bilinéarité de la forme ⟨ . ⟩) :

hL̂_{|T} (T) = 2 deg_{K}(M_{K})hM̂(Y) + [k(Y) : K]hM̂(X) .

2 Préliminaires modulaires

Soient H le demi-plan supérieur, et \overline{H} = H ∪ ℚ ∪ \{∞\}. On note l’action du groupe modulaire Γ(1) = SL_{2}(ℤ) sur \overline{H} de la manière suivante :

Si γ = [ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] ∈ Γ(1) et τ ∈ \overline{H}, alors γτ = \frac{aτ + b}{cτ + d} .

On pose M_{1} = Γ(1)\\overline{H}. La fonction elliptique modulaire j induit un isomorphisme

j : M_{1} ⟶^{∼} ℙ^{1}(ℂ).

Soit μ = \frac{3idτ ∧ d\overline{τ}}{2π(Imτ)^{2}} = \frac{3dx ∧ dy}{πy^{2}} la (1 ;1)-forme de Poincaré, qui induit une mesure de probabilité sur M_{1}.

Pour τ ∈ H, on pose q = e^{2iπτ}, et Δ(τ) = (2π)^{12}q ∏_{n≥1}(1 − q^{n})^{24}. Soient ζ la fonction de Riemann, et κ_{0} la constante d’Euler. Dans toute la suite, on

pose κ_{1} la constante κ_{1} = \frac{6}{π^{2}} ζ′(2) − κ_{0} − ln(2π^{2}) + \frac{1}{2} = 12ζ′(−1) − ln π − \frac{1}{2}.

Pour (τ_{1}; τ_{2}) ∈ H^{2} avec τ_{1} ≠ τ_{2}, on pose y_{i} = Imτ_{i}, et

g(τ_{1}; τ_{2}) = −2 ln[|j(τ_{1}) − j(τ_{2})||Δ(τ_{1})Δ(τ_{2})|y_{1}^{6}y_{2}^{6}] .

La fonction g peut être vue comme une fonction sur (Γ(1)\H)^{2} privé de la diagonale. C’est une fonction de Green pour la mesure μ. En particulier, on a le résultat suivant :

Proposition 2.1 : Pour tout τ_{1} ∈ H, on a ∫_{M_{1}} g(τ_{1}; τ)μ(τ) = 24κ_{1}. Démonstration : Il suffit d’appliquer la «formule de Jensen modulaire» de Rohrlich

[19] à f(τ) = (2π)^{−12}(j(τ) − j(τ_{1}))Δ(τ), qui est une forme modulaire de poids 12. □ Pour un entier N ≥ 1, on pose

C_{N} = \{γ = [ \begin{matrix}a_{γ} & b_{γ} \\ 0 & d_{γ} \end{matrix} ] ∈ M_{2}(ℤ) | a_{γ}d_{γ} = N, a_{γ} ≥ 1, 0 ≤ b_{γ} ≤ d_{γ}−1, a_{γ}∧b_{γ}∧d_{γ} = 1\} .

On pose e_{N} = #C_{N} = N ∏_{{p|N \atop p premier}}(1+ \frac{1}{p}). Il existe un unique polynôme Φ_{N} ∈ ℤ[X; Y] (le polynôme modulaire d’ordre N, cf [21] p. 109-110) tel que

∀τ ∈ H Φ_{N}(X; j(τ)) = ∏_{γ∈C_{N}}(X − j(γτ)) .

On a Φ_{1} = X − Y, et pour tout N ≥ 2, on a Φ_{N}(X; Y) = Φ_{N}(Y; X).

Les résultats combinatoires suivants nous seront utiles dans la suite : Lemme 2.2 : Pour tout N ≥ 2 et tout τ ∈ H, on a ∏_{γ∈C_{N}} Δ(γτ) = [−Δ(τ)]^{e_{N}}. Démonstration : Le quotient des deux membres est une fonction méromorphe sur M_{1}

sans zéro ni pôle sur M_{1} −{∞}, donc est une constante. On calcule alors cette constante en comparant le premier terme non nul (ie celui de degré e_{N}) du q-développement de chaque membre. □

Soient N ≥ 1, et N = ∏_{i} p_{i}^{r_{i}} sa décomposition en facteurs premiers. Posons

λ_{N} = ∑_{i} \frac{p_{i}^{r_{i}} − 1}{p_{i}^{r_{i}−1}(p_{i}^{2} − 1)} ln p_{i} .

On remarque que l’on a λ_{N} = O(ln ln N).

Lemme 2.3 : Avec ces notations, on a ∑_{γ∈C_{N}} ln \frac{d_{γ}}{a_{γ}} = e_{N}(ln N − 2λ_{N}).

Démonstration : Notons S_{N} le membre de gauche. On vérifie aisément que pour M et N premiers entre eux, on a S_{MN} = e_{N}S_{M} + e_{M}S_{N}. Il reste donc à calculer S_{p^{r}} pour p premier et r ≥ 1. On trouve S_{p^{r}} = [p^{r−1}(p + 1)r − 2\frac{p^{r} − 1}{p − 1}] ln p. On en déduit le résultat. □

3 Hauteur de T_{N}

Soit X(1) le schéma de modules grossier des courbes elliptiques généralisées. L’invariant modulaire j induit un isomorphisme j : X(1) ⟶^{∼} ℙ_{ℤ}^{1}. Par ailleurs, X(1)(ℂ) s’identifie à M_{1}.

Pour un entier N ≥ 1, soit X_{0}(N) la compactification de Deligne-Rapoport du schéma de modules grossier des isogénies cycliques de degré N entre courbes elliptiques (cf [9], [13]). X_{0}(N) est une surface arithmétique normale.

On pose P = X(1) ×_{ℤ} X(1). On a un morphisme i_{N} : X_{0}(N) → P fini (de degré 1 sur son image), induit par le foncteur qui à une isogénie α : E → E′ associe le couple (E; E′). Soit T_{N} l’image de i_{N} (qui est birationnelle à X_{0}(N)). T_{N} est un diviseur intègre sur P, appelé la correspondance de Hecke d’ordre N.

Soit [∞] le diviseur associé à la pointe ∞ ∈ X(1)(ℤ). On pose M = O_{X(1)}([∞]) = j^{∗}O_{ℙ^{1}}(1). On munit le faisceau inversible M de la métrique ∥ ∥_{m} telle que ∥1∥_{m}(τ) = |Δ(τ)|(Imτ)^{6}. On pose M̂ = (M; ∥ ∥_{m}). Ce faisceau inversible hermitien sur X(1) (L_{1}^{2}- singulier le long de ∞_{ℂ}) a la propriété suivante :

Soit E une courbe elliptique sur \overline{ℚ}. E définit un point x ∈ X(1)(\overline{ℚ}). Soit Y l’adhérence de l’image de x. Notons h̃(E) la hauteur de Faltings (stable) de E. Alors on a

h̃(E) = \frac{1}{12}h′ ; M̂(Y).

On pose L̂ = pr_{1}^{∗}M̂ ⊗ pr_{2}^{∗}M̂ où les pr_{i} sont les projections P → X(1).

On peut relier T_{N} et le polynôme modulaire Φ_{N} de la façon suivante : Soient Φ̃_{N} le polynôme bi-homogène associé à Φ_{N}, vu comme section globale de O(e_{N}; e_{N}) sur ℙ^{1} ×_{ℤ}ℙ^{1}, et ϕ_{N} = (j × j)^{∗}Φ̃_{N} section globale de L^{⊗e_{N}}. On a alors la relation T_{N} = div(ϕ_{N}) (cf [9] p. 283).

Proposition 3.1 : On a hM̂(X(1)) = 12κ_{1}.

Démonstration : C’est le théorème 6.1 de [14] p. 229. Cela peut aussi se démontrer à partir de la proposition 2.1. □

Soient Y un diviseur de Weil intègre sur X(1), et n = [k(Y) : ℚ]. Il existe une section globale s de M^{⊗n} sur X(1) telle que div(s) = Y. Posons π_{i} = pr_{i} ∘ i_{N} : X_{0}(N) → X(1). Le morphisme π_{2} induit un homomorphisme π_{2∗} : Z_{1}(X_{0}(N)) → Z_{1}(X(1)) (cf [11]). On pose alors T_{N∗}Y = π_{2∗}(div(π_{1}^{∗}s)) ; c’est un 1-cycle sur X(1).

On peut décrire T_{N∗}Y d’une autre manière : Notons Y′ le diviseur de Weil intègre Y′ = pr_{1}^{∗}Y = Y ×_{ℤ} X(1). Le diviseur T_{N} étant en fait un diviseur de Cartier, on peut considérer le 1-cycle intersection T_{N}.Y′ = div(ϕ_{N|Y′}). Alors T_{N∗}Y = pr_{2∗}(T_{N}.Y′).

Remarquons que deg_{ℚ}((T_{N∗}Y)_{ℚ}) = e_{N}n. On remarque également que si Y est vertical au-dessus d’un premier p, alors Y = X(1)_{𝔽_{p}} et T_{N∗}Y = e_{N}Y.

On se propose de calculer la hauteur de T_{N} relativement à L̂, ainsi que la hauteur de T_{N∗}Y relativement à M̂ lorsque Y est horizontal.

Théorème 3.2 : Soient N ≥ 1, et Y un point entier de X(1) tel que Y_{ℂ} ne rencontre pas ∞_{ℂ}. Posons n = [k(Y) : ℚ]. On a alors

hL̂(T_{N}) = 12e_{N}(ln N − 2λ_{N} + 4κ_{1}) et \frac{1}{e_{N}n}hM̂(T_{N∗}Y) = h′ ; M̂(Y) + 6 ln N − 12λ_{N} .

Démonstration : Posons Y′ = pr_{1}^{∗}Y. D’après la proposition 1.1, on a la formule

hL̂_{|Y′} (div(ϕ_{N|Y′})) = hL̂_{|Y′} (Y′)e_{N} + ∫_{Y′(ℂ)} ln ∥ϕ_{Nℂ}∥ωL̂_{|Y′} . (∗)

D’autre part, on a

∥ϕ_{Nℂ}∥(τ; τ′) = |Φ_{N}(j(τ); j(τ′))||Δ(τ)Δ(τ′)|^{e_{N}} ((Imτ)(Imτ′))^{6e_{N}} .

En utilisant le lemme 2.2 et le fait que pour γ ∈ C_{N}, on a Im(γτ′) = \frac{a_{γ}}{d_{γ}} Imτ′, on obtient

2 ln ∥ϕ_{Nℂ}∥(τ; τ′) = 12S_{N} − ∑_{γ∈C_{N}} g(γτ; τ′) où l’on a posé S_{N} = ∑_{γ∈C_{N}} ln \frac{d_{γ}}{a_{γ}} .

L’ensemble Y (ℂ), vu comme partie de M_{1}, peut s’écrire Y (ℂ) = {τ_{1}; …; τ_{n}} pour des τ_{i} ∈ Γ(1)\H. La formule (∗) donne alors

hL̂_{|Y′} (T_{N}.Y′) = hL̂_{|Y′} (Y′)e_{N} + ∑_{i=1}^{n} ∫_{M_{1}}(6S_{N} − \frac{1}{2} ∑_{γ∈C_{N}} g(γτ; τ′))μ(τ′) .

Grâce à la proposition 2.1 et au lemme 2.3, on en déduit l’égalité suivante : hL̂_{|Y′} (T_{N}.Y′) = hL̂_{|Y′} (Y′)e_{N} + 6e_{N}n(ln N − 2λ_{N} − 2κ_{1}).

Or, d’après la remarque 1.2 et la proposition 3.1, on a d’une part hL̂_{|Y′} (Y′) =

2hM̂(Y)+12κ_{1}n. D’autre part, en écrivant L̂ = pr_{1}^{∗}M̂⊗pr_{2}^{∗}M̂ et la formule de projection pour les 1-cycles, on trouve hL̂_{|Y′} (T_{N}.Y′) = e_{N}hM̂(Y) + hM̂(T_{N∗}Y).

On en déduit le résultat : hM̂(T_{|N∗}Y) = e_{N}n(h′ ; M̂(Y) + 6 ln N − 12λ_{N}).

Maintenant, soit s une section globale de M^{⊗n} sur X(1) vérifiant div(s) = Y. Posons s′ = (π_{1}^{∗}s ⊗ π_{2}^{∗}s) ; c’est une section globale de i_{N}^{∗}L^{⊗n} sur X_{0}(N). D’après la proposition 1.1, on a l’égalité

hL̂(T_{N})n = h_{i_{N}^{∗} L̂}(X_{0}(N))n = h_{i_{N}^{∗} L̂}(div(s′)) − ∫_{X_{0}(N)(ℂ)} ln ∥s′_{ℂ}∥ω_{i_{N}^{∗} L̂} . (∗∗)

Par la symétrie de T_{N}, on a h_{i_{N}^{∗} L̂}(div(s′)) = 2e_{N}hM̂(Y) + 2hM̂(T_{N∗}Y) = 4e_{N}hM̂(Y) + 12e_{N}n(ln N − 2λ_{N}).

Par ailleurs, on a ∥s′_{ℂ}∥ = ∥π_{1}^{∗}s_{ℂ}∥∥π_{2}^{∗}s_{ℂ}∥. On vérifie également que l’on a ω_{i_{N}^{∗} L̂} = 2π_{1}^{∗}μ = 2π_{2}^{∗}μ sur M_{N} = X_{0}(N)(ℂ) = Γ_{0}(N)\\overline{H}. On en déduit que

∫_{M_{N}} ln ∥s′_{ℂ}∥ω_{i_{N}^{∗} L̂} = 2 ∫_{M_{N}} ln ∥π_{1}^{∗}s_{ℂ}∥π_{1}^{∗}μ + 2 ∫_{M_{N}} ln ∥π_{2}^{∗}s_{ℂ}∥π_{2}^{∗}μ = 4e_{N} ∫_{M_{1}} ln ∥s_{ℂ}∥μ .

En utilisant de nouveau la proposition 1.1, la formule (∗∗) donne alors : hL̂(T_{N})n = 4hM̂(X(1))e_{N}n + 12e_{N}n(ln N − 2λ_{N}).

D’où la formule pour hL̂(T_{N}). □

On en déduit le résultat suivant sur la hauteur de Faltings de courbes elliptiques isogènes :

Corollaire 3.3 : Soient E une courbe elliptique sur \overline{ℚ}, G_{1}; …; G_{e_{N}} les sous-groupes cycliques d’ordre N de E (il y a e_{N} tels sous-groupes), et E_{i} = E/G_{i}. Alors on a

\frac{1}{e_{N}} ∑_{i=1}^{e_{N}} h̃(E_{i}) = h̃(E) + \frac{1}{2} ln N − λ_{N} .

Démonstration : Soient x ∈ X(1)(\overline{ℚ}) le point défini par E, et Y l’adhérence de

l’image de x. On a alors h̃(E) = \frac{1}{12}h′ ; M̂(Y), et ∑_{i=1}^{e_{N}} h̃(E_{i}) = \frac{1}{12n}hM̂(T_{N∗}Y). Il suffit donc

d’appliquer le théorème 3.2. □

Remarque 3.4 : Lorsque E est sans multiplication complexe, le théorème de l’image ouverte de Serre [20] implique qu’il existe un entier n_{0} ≥ 1 (ne dépendant que de E) tel que :

N ∧ n_{0} = 1 ⇒ h̃(E_{i}) est indépendant de i .

Alors pour toute isogénie α : E → E′ cyclique de degré N premier à n_{0}, on a h̃(E′) = h̃(E) + \frac{1}{2} ln N − λ_{N}.

Remarque 3.5 : La première formule du théorème 3.2 précise un résultat asymptotique de Cohen [5] sur la hauteur de Weil (au lieu d’Arakelov) du polynôme Φ_{N}, résultat qui peut se traduire de la manière suivante :

Soit ∥ ∥_{1} une métrique telle que L̂_{1} = (L; ∥ ∥_{1}) soit C^{∞} et à courbure définie positive ; alors on a \frac{1}{e_{N}} hL̂_{1}(T_{N}) = 12 ln N − 24λ_{N} + O(1) .

Par ailleurs, le corollaire 3.3 était connu de Szpiro et Ullmo [23] pour N sans facteur carré (cf aussi Silverman [22] pour une formule asymptotique en termes de hauteurs de Weil).

4 Formule de Kronecker arithmétique

On commence ce paragraphe par quelques rappels de la théorie de la multiplication complexe des courbes elliptiques (cf par exemple [8] et [15]) :

On désigne par QuIm l’ensemble des classes d’isomorphie d’ordres quadratiques imaginaires.

Soit A ∈ QuIm un tel ordre, de nombre de classe H_{A} = #Pic(A). Les classes de \overline{ℚ}- isomorphie de courbes elliptiques E sur \overline{ℚ} telles que End\overline{ℚ}(E) ≃ A forment un ensemble Ell(A) de cardinal H_{A}. Le polynôme Q_{A}(X) = ∏_{E∈Ell(A)}(X −j(E)) est alors à coefficients

entiers, et irréductible sur ℚ.

Pour N ≥ 1, on note R_{A;N} l’ensemble (fini) des x ∈ A tels que A/xA soit un groupe cyclique d’ordre N, et r_{A;N} = #(R_{A;N}/A^{∗}) ; on pose également f_{N} = ∑_{γ∈C_{N}} max(\frac{a_{γ}}{d_{γ}}; 1)

et f′_{N} = ∑_{γ∈C_{N}} min(\frac{a_{γ}}{d_{γ}}; 1). On a f_{N} = 2e_{N} −f′_{N}, et on peut montrer que f′_{N} = O_{ε}(N^{1/2+ε})

pour tout ε > 0.

Fixons maintenant N ≥ 2. Le polynôme Φ_{N}(X; X) est de degré f_{N}. On a la relation de Kronecker (cf [15] p. 144, [8] p. 287) :

Il existe un entier c_{N} tel que Φ_{N}(X; X) = c_{N} ∏_{A∈QuIm} Q_{A}(X)^{r_{A;N}}. En particulier, en

considérant le degré des deux membres, on obtient f_{N} = ∑_{A∈QuIm} r_{A;N}H_{A}.

Par ailleurs, on a |c_{N}| = \begin{cases}p & si N = p^{2r} avec p premier et r ≥ 1; \\ 1 & sinon. \end{cases}

On peut traduire géométriquement la relation de Kronecker : Pour A ∈ QuIm, soit Y_{A} le point entier de X(1) ≃ ℙ^{1} défini par le polynôme homogène associé à Q_{A}. Par l’interprétation modulaire de X(1), on a Y_{A}(\overline{ℚ}) ≃ Ell(A).

Posons ψ = pr_{1}^{∗}1 ⊗ pr_{2}^{∗}1, où 1 est vue commme section globale de O_{X(1)}([∞]) sur X(1) ; ψ est une section globale de L sur P. On pose s_{N} = ϕ_{N}^{⊗2}/ψ^{⊗f′_{N}} section rationnelle globale de L^{⊗f_{N}} sur P, de diviseur 2T_{N} −f′_{N}pr_{1}^{∗}[∞]−f′_{N}pr_{2}^{∗}[∞]. Soit δ = i_{1} : X(1) → P le plongement diagonal.

On pose V_{N} = \begin{cases}X(1)_{𝔽_{p}} & si N = p^{2r} avec p premier et r ≥ 1; \\ 0 & sinon. \end{cases}

On a alors : div(δ^{∗}s_{N}) = 2V_{N} + 2 ∑_{A∈QuIm} r_{A;N}Y_{A} dans Z_{1}(X(1)).

Cette formulation géométrique permet de démontrer le résultat suivant sur des sommes de hauteurs de Faltings de courbes elliptiques à multiplication complexe :

Proposition 4.1 : Pour tout A ∈ QuIm, choisissons E_{A} ∈ Ell(A). Alors pour tout N ≥ 2, on a

12 ∑_{A∈QuIm} r_{A;N}H_{A}h̃(E_{A}) = 6e_{N}(ln N − 2λ_{N}) + 12f_{N}κ_{1} − ln |c_{N}|

− ∫_{M_{1}}[f′_{N} ln |Δ(τ)(Imτ)^{6}| + \frac{1}{2} ∑_{γ∈C_{N}} g(τ; γτ)]μ(τ) .

Démonstration : On a, par la relation de Kronecker :

24 ∑_{A∈QuIm} r_{A;N}H_{A}h̃(E_{A}) = hM̂(div(δ^{∗}s_{N})) − 2 ln |c_{N}| .

Or δ^{∗}s_{N} est une section rationnelle globale de δ^{∗}L^{⊗f_{N}} = M^{⊗2f_{N}} sur X(1). Donc, d’après la proposition 1.1, on a

hM̂(div(δ^{∗}s_{N})) = 2f_{N}hM̂(X(1)) + ∫_{M_{1}} ln ∥s_{Nℂ}∥(τ; τ)μ(τ) .

Posons y_{i} = Imτ_{i}. Alors on a

∥s_{Nℂ}∥(τ_{1}; τ_{2}) = |Φ_{N}(j(τ_{1}); j(τ_{2}))|^{2}|Δ(τ_{1})Δ(τ_{2})y_{1}^{6}y_{2}^{6}|^{f_{N}} .

Par les lemmes 2.2 et 2.3, on trouve

ln ∥s_{Nℂ}∥(τ_{1}; τ_{2}) = 12e_{N}(ln N − 2λ_{N}) − f′_{N} ln |Δ(τ_{1})Δ(τ_{2})y_{1}^{6}y_{2}^{6}| − ∑_{γ∈C_{N}} g(τ_{1}; γτ_{2}) .

On en déduit la formule énoncée. □

Proposition 4.2 : Il existe une constante θ ∈ ℝ telle que pour tout N ≥ 2, on ait

\frac{1}{f_{N}} ∑_{A∈QuIm} r_{A;N}H_{A}h̃(E_{A}) ≤ \frac{1}{4} ln N − \frac{λ_{N}}{2} + θ .

Démonstration : Soit ∥ ∥′ une métrique telle que M̂′ = (M; ∥ ∥′) soit C^{∞} et que la courbure ωM̂′ soit définie positive sur M_{1}. On pose L̂′ = pr_{1}^{∗}M̂′ ⊗ pr_{2}^{∗}M̂′.

La fonction ln \frac{∥ ∥′}{∥ ∥_{m}} est uniformément majorée sur M_{1}, disons par une constante θ_{0}. Alors pour tout point entier Y de X(1) autre que [∞], on obtient h′ ; M̂(Y) ≤ h′ ; M̂′(Y)+θ_{0}.

Par ailleurs, d’après un théorème de Bézout arithmétique (cf [3], [17]), il existe une constante θ_{1} telle que pour tout N ≥ 2, on ait hL̂′(T_{1}.T_{N}) ≤ e_{N}hL̂′(T_{1})+hL̂′(T_{N})+θ_{1}e_{N}.

Or on a, par la relation de Kronecker, l’égalité

hL̂′(T_{1}.T_{N}) = 2 ∑_{A∈QuIm} r_{A;N}hM̂′(Y_{A}) + 2f′_{N}hM̂′([∞]) + 2 ln |c_{N}| .

En posant θ_{2} = hL̂′(T_{1}) et θ_{3} = hM̂′([∞]), on trouve donc

24 ∑_{A∈QuIm} r_{A;N}H_{A}h̃(E_{A}) ≤ hL̂′(T_{N}) + (θ_{1} + θ_{2})e_{N} + 2θ_{0}f_{N} − 2θ_{3}f′_{N} .

En utilisant le résultat de Cohen [5] rappelé dans la remarque 3.5, on en déduit la proposition. □

Remarque 4.3 : Pour A ∈ QuIm, notons d_{A} l’opposé du discriminant de A. La formule de la proposition 4.2 a pour membre de gauche une moyenne de hauteurs de Faltings de courbes elliptiques à multiplication complexe par des ordres A tels que 3 ≤ d_{A} ≤ 4N (car r_{A;N} ≠ 0 implique d_{A} ≤ 4N).

Cet énoncé est à comparer avec les estimations individuelles de Colmez [6] : il existe des constantes a > 0 et b ∈ ℝ telles que pour tout A ∈ QuIm, on ait h̃(E_{A}) ≥ a ln d_{A} +b. Par ailleurs, pour tout ε > 0, on a ∀A ∈ QuIm h̃(E_{A}) = O_{ε}(d_{A}^{ε}).

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