##############################################################
Checking that K(y_1,w'_i)/K(y_1) has the announced conductor
##############################################################

restart;
p:=3;s:=2;q0:=p^s;q:=q0^2*p;a1:=(q^2-q*q0-q)/q0;a2:=(q^2-q0-q)/q0;b1:=a1-q*q0;b2:=a2-q*q0;
f := y243-y-x9*x243+x*x9:
x:=1/z^q+z^a1-z^a2:
y:=1/z^(q+q0)+z^b1-z^b2+z^(a1*q0-q)-z^(a2*q0-q)+z^(a1*(1+q0))+z^(a2*(1+q0))-z^(a1+a2*q0)-z^(a1*q0+a2):
yq := subs(z = z^q,  y) mod p:
xq :=subs(z = z^q, x) mod p:
xq0 := subs(z = z^q0, x) mod p:
F:=2*y*xq0*xq0*(xq-x)+xq0^3*(xq-x)^2:

# one computes F(z) in F_q((z))
series(F,z,1000000000) mod p;
# it coincides with P(z) announced
2*q^2+3*q0*q;3*q*q0+q*q+q;q+q0+2*q*q0+q*q;q+q0+q*q0-a2*q0+q*q;
# one reduces the principal part of F(z) mod (Frob_p-Id)(F_q((z)))
2691/3^2;63675/3^2;65853/3^5;124659/3^8; 
# it coincides with P(z) mod (Frob_p-Id)(F_q((z))) announced
1+2*q0;1+3*q0+q;1+p*q0+q-a2+p*q0*q;1+p*q0+2*q+p*q0*q;



restart;
p:=7;s:=2;q0:=p^s;q:=q0^2*p;a1:=(q^2-q*q0-q)/q0;a2:=(q^2-q0-q)/q0;b1:=a1-q*q0;b2:=a2-q*q0;
f:=y3125-y-x25*x3125+x*x25:
x:=1/z^q+z^a1-z^a2:
y:=1/z^(q+q0)+z^b1-z^b2+z^(a1*q0-q)-z^(a2*q0-q)+z^(a1*(1+q0))+z^(a2*(1+q0))-z^(a1+a2*q0)-z^(a1*q0+a2):
yq:=subs(z=z^q,y) mod p:
xq:=subs(z=z^q,x) mod p:
xq0:=subs(z=z^q0,x) mod p:
F:=2*y*xq0*xq0*(xq-x)+xq0^3*(xq-x)^2:
series(F,z,1000000000) mod p;
567421127/7^7;284962685/7^5;284139191/7^2;857255/7^2;
3+2*p*q0;1+3*q0+q;1+p*q0+q-a2+p*q0*q;1+p*q0+2*q+p*q0*q;


#############################################################
Checking that (X,G) is a big action
#############################################################

restart;
s:=2:p:=3:q0:=3^s:q:=p*q0*q0:
g:=evalf((q-1)/(p-1)*q/(2*q0)*(q^3*(2*p*q+2*p*q0-q0-q-1) +q^2*(2*q*p+p*q0-q0-q-1) +q*(2*q*p-q-1) + q*p+q0*p-q0-1 )- (q^4-p)/(p-1)*q*(q-1)/(2*q0)):
evalb(q^6 > 2*p/(p-1)*g);

restart;
s:=2:p:=5:q0:=p^s:q:=p*q0*q0:
g:=evalf((q-1)/(p-1)*q/(2*q0)*(q^3*(2*p*q+2*p*q0-q0-q-1) +q^2*(2*q*p+p*q0-q0-q-1) +q*(2*q*p-q-1) + q*p+q0*p-q0-1 )- (q^4-p)/(p-1)*q*(q-1)/(2*q0)):
evalb(q^6 > 2*p/(p-1)*g);