Une introduction à la géométrie des nombres adèlique

                bertrand.meyer@math.u-bordeaux1.fr

12 avril & 9 mai 2006 ^{∗}

Les présentes notes reprennent le contenu d’un exposé présenté dans le cadre du groupe de travail des doctorants en théorie des nombres, dont l’un des objectifs est de partager ses quelques connaissances mathématiques entre étudiants, même quand elles sont fragiles. Aussi elles n’ont certainement pas la profondeur d’un texte préparé par un expert du sujet. Le lecteur sera compréhensif.

Table des matières

1 Géométrie des nombres traditionnelle 1 1.1 Le théorème fondamental de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Ses applications en théorie des nombres . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Quelques résultats complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Présentation des adèles 4 2.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Mesures et hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Géométrie des nombres adèlique 8 3.1 Théorème de Minkowski adèlique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Applications en théorie algébrique des nombres . . . . . . . . . . 8 3.3 Problèmes d’approximation diophantienne . . . . . . . . . . . . . 10

1 Géométrie des nombres traditionnelle

1.1 Le théorème fondamental de Minkowski

La géométrie des nombres est apparue historiquement dans les travaux de H. Minkowski, qui s’intéressait à des problèmes diophantiens et leur expression sous forme géométrique. S’il fallait en donner une définition, on pourrait dire que c’est l’étude de la présence de points entiers dans un certain domaine. Le théorème fondamental est le suivant :

∗compilé le 9 mai 2006

Théorème 1.1 (Premier théorème fondamental de Minkowski) Soit B un domaine (borné) convexe et symétrique par rapport à l’origine et Λ un réseau de discriminant d(Λ). Si le volume de B dépasse 2^{n}d(Λ), alors B contient un point de Λ distinct de l’origine. ([GL87])

Corolaire 1.2 Soit Q une forme quadratique réelle en n variables, définie positive. Appelons m(Q) le minimum des valeurs prises par Q sur ℤ^{n}, D le déterminant de Q et κ_{n} = π^{\frac{1}{2} n}\{Γ(1 + \frac{n}{2})\}^{−1} le volume de la spère unité de ℝ^{n}, alors

\frac{m(Q)}{D^{1/n}} ⩽ 4(κ_{n}^{−2}D)^{1/n} = \frac{4}{π} (Γ(1 + \frac{1}{2}n))^{2/n}  (1.1)

Démonstration : Le volume de B_{λ} = \{x ∈ ℝ^{n}; Q(x) ⩽ λ\} est λ^{\frac{1}{2} n}κ_{n}D^{− \frac{1}{2}} . □

1.2 Ses applications en théorie des nombres

H. Minkowski est l’auteur de cette borne (VIII. de [MH67]), qui améliore

la borne beaucoup plus grossière (\frac{4}{3})^{\frac{n−1}{2}} déjà connue par Ch. Hermite. Cette inégalité interessait les arithméticiens en raison de ses deux conséquences importantes suivantes.

Corolaire 1.3 Soient k un corps de nombre de degré d = r_{1}+2r_{2}, 𝔬 son anneau d’entier, D_{k} discriminant, λ le plongement de k dans ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}} ≃ ℝ^{d},

1. Soit 𝔞 un idéal entier non nul de k, alors 𝔞 contient un élément α de norme majorée par

N(α) ⩽ (\frac{4}{π} )^{r_{2}} \frac{n!}{n^{n}} \sqrt{D_{k}}N(𝔞).

2. Si des constantes réelles arbitraires c_{i} > 0 sont données telles que

∏_{i=1}^{r_{1}} c_{i} ∏_{i=r_{1}+1}^{r_{1}+r_{2}} c_{i}^{2} > (\frac{2}{π} )^{r_{2}} \sqrt{|D_{k}|}

alors il existe un élément α non nul de l’anneau des entiers 𝔬_{k} tel que

∀λ_{i} plongement dans une complétion de k, |λ_{i}(α)| < c_{i}  (1.2)

Remarque 1.4 Rappel de définition : le discriminant d’un corps de nombre k de degré d est le réel D_{k} obtenu comme

D_{k} = det ((Tr_{𝔬/ℤ}(ω_{i}ω_{j}))_{1⩽i,j⩽d}) = det ((λ_{i}(ω_{j}))_{1⩽i,j⩽n})

à partir de n’importe quelle base (ω_{j})_{1⩽j⩽n} de 𝔬 en tant que ℤ-module. L’ensemble λ(𝔬) forme un réseau de ℝ^{d} de volume Δ = 2^{−r_{2}} \sqrt{|D_{k}|}.

Preuve :

– Le domaine B_{t} = \{∑_{i=1}^{r} |x_{i}|+2 ∑_{r=r_{1}+1}^{r_{1}+r_{2}} |x_{i}| ⩽ t\} a pour volume 2^{r_{1}} (\frac{π}{2} )^{r_{2}} \frac{t^{n}}{n!} , que l’on souhaite supérieur 2^{n}λ(𝔞) = 2^{n−r_{2}} \sqrt{D_{k}}N(𝔞). On conclut en appliquant le théorème de Minkowski et en utilisant l’inégalité arithméticogéométrique.

– Le volume du domaine {(x_{i}) ∈ ℝ^{r_{1}}×ℂ^{r_{2}}; |x_{i}| ⩽ c_{i}} est 2^{r_{1}}π^{r_{2}} ∏_{i=1}^{r_{1}} c_{i} ∏_{i=r_{1}+1}^{r_{1}+r_{2}} c_{i}^{2}.

Proposition 1.5 Le groupe des classes d’idéaux est fini

Preuve : En appliquant la première partie du corolaire, on peut trouver x ∈ 𝔞^{−1} vérifiant l’inégalité et en déduire que N(x𝔞) ⩽ (\frac{4}{π} )^{r_{2}} \frac{n!}{n^{n}} \sqrt{D_{k}}.

Proposition 1.6 (Dirichlet) Soit k un corps de nombre de degré d = r_{1}+2r_{2}, alors le groupe des unités de k est le produit direct du groupe cyclique fini des racines de l’unité dans k par un ℤ-module libre de rang r_{1} + r_{2} − 1.

Remarque 1.7 Plus précisément, la partie 2 du corolaire intervient dans le calcul de l’exposant r_{1} + r_{2} − 1 du groupe des unités.

Le premier théorème de Minkowski a d’autres jolies applications : on peut citer parmi elles

Application 1.8 (Théorème de Lagrange) Tout entier se décompose en somme de quatre carrés.

Preuve :

– Se limiter au cas d’un entier p sans facteur carré.

– Trouver a et b tel que a^{2} + b^{2} + 1 ≡ 0[p] par un argument de combinatoire et le lemme chinois.

– Considérer le réseau Λ de discriminant p^{2} engendré par les vecteurs :

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ a \\ −b \end{matrix}) , u_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ b \\ a \end{matrix}) , u_{3} = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ p \\ 0 \end{matrix}) , u_{4} = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ p \end{matrix})

– Choisir un vecteur g_{1}u_{1} + ⋯ + g_{4}u_{4} dans la boule de rayon r = ^{\begin{matrix}\sqrt[4]{2^{5}} & \sqrt{p} \\ √ & \overline{π} \end{matrix}}, autrement dit de norme au carré k inférieure strictement à 2p et congrue à 0 modulo p,

k = g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+(ag_{1}+bg_{2}+pg_{3})^{2}+(−bg_{1}+ag_{2}+pg_{4})^{2} ≡ (g_{1}^{2}+g_{2}^{2})(1+a^{2}+b^{2}) mod p,

ce qui détermine une expression de p = k sous la forme d’une somme de 4 carrés. (voir [HST91] ou [ST02]) □

1.3 Quelques résultats complémentaires

Parmi les autres résultats classiques de la géométrie des nombres, on peut citer

Théorème 1.9 (Second théorème fondamental de Minkowski, [Min10] Kap. V) Soit B un domaine convexe et symétrique par rapport à l’origine, soit Λ un réseau, soit λ_{i} le plus petit réel tel que λ_{i}B contient i vecteurs linéairement indépendents de Λ, alors

\frac{2^{n}d(Λ)}{n!} ⩽ λ_{1} … λ_{n}vol(B) ⩽ 2^{n}d(Λ)  (1.3)

Exemple 1.10 (Lemme de Siegel) Considérons l’ensemble des solutions entières vérifiant le système à coefficients entiers

S := \begin{cases}a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1,n}x_{n} & = & 0 \\ … \\ a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{m,n}x_{n} & = & 0 \end{cases}

Trouver une solution x ∈ ℤ^{n} de petite taille revient à chercher un point du réseau Λ, de dimension disons ℓ, défini par S dans le domaine Q_{t} = {x ∈ ℝ^{n}, ∥x∥_{∞} ⩽ t} ∩ S(ℝ), ce qui est garanti dès que

vol(Q_{t}) ⩾ 2^{dim Λ}d(Λ)

L’inégalité du cube tranché due à Vaaler permet de contrôler le terme de gauche, la méthode de réduction de Smith donne le discriminant à droite. Le second théorème de Minkowski dit même plus, puisqu’il permet de conclure qu’il existe une base x_{1}, …, x_{ℓ} de Λ telle que

∏_{i=1}^{ℓ} ∥x_{i}∥_{∞} ⩽ \frac{2^{ℓ}d(Λ)}{κ_{ℓ}}

Théorème 1.11 (Minkowski [MH67] I p 270 ; II, p94 -Hlawka [Hla43]) Soit B un domaine étoilé, symétrique par rapport à l’origine. Si vol(B) ⩽ 2ζ(n), alors, il existe un réseau de discriminant 1 qui ne rencontre B qu’en O.

Corolaire 1.12 On dispose de la borne inférieur

(\frac{2ζ(n)}{κ_{n}})^{2/n} ⩽ max_{Q form. quad.} \frac{m(Q)}{D^{1/n}}

2 Présentation des adèles

2.1 Motivations

La généralisation de la résolution de certains problèmes traités avec les méthodes de la premiere partie, tels que celui présenté dans l’exemple (1.10), rencontre une obstruction bien connue des théoriciens des nombres : le fait que l’anneau d’un corps de nombre n’est pas, en général, principal. La parade classique consiste à localiser le problème, c’est-à-dire à l’étudier dans une (voire toute) complétion 𝔭-adique et de revenir ensuite dans le corps de nombre initial.

Le but de ce paragraphe est de construire un objet, l’anneau des adèles, qui permette de travailler simultanément dans toutes les complétions, et qui à la fois ne soit pas trop monstrueux.

Historiquement, le premier objet introduit était le groupe des idèles, c’està-dire le groupe des adèles inversibles, et ceci dans le but de faire du calcul avec des idéaux.

D’autre part, les ressemblances dans la démonstration des propositions (1.5) et (1.6) laissent à penser que ces résultats ne sont que deux facettes d’un fait plus profond encore. Nous allons voir qu’ils découlent tous deux de la structure d’un certain groupe plus général construit à partir de l’anneau des adèles.

2.2 Construction

Définition 2.1 Soient k un corps de nombre, V l’ensemble des places de k, k_{v} la complétion de k pour la place v, on appelle anneau des adèles de k l’anneau

𝔸_{k} = {α = (α_{v}) ∈ ∏_{v∈V} k_{v}; α_{v} ∈ 𝔬_{v} pour presque toute place finie v} (2.1)

On appelle groupe des idèles J_{k} l’ensemble des inversibles de 𝔸_{k}, c’est-à-dire l’ensemble des adèles telles que |α_{v}| = 1 pour presque toute place.

On munit 𝔸_{k} d’une topologie dont une base d’ouverts est fournie par les sousensembles de la forme suivante. Soit S un ensemble fini de places qui contient entre autres les places archimédiennes, soit (W_{v})_{v∈S} une famille d’ouverts W_{v} ⊂ k_{v}, alors

W_{S} = ∏_{v∈S} W_{v} × ∏_{v∉S} 𝔬_{v}  (2.2)

est un ouvert de 𝔸_{k}.

Remarque 2.2 La convergence d’une suite (α_{n})_{n∈ℕ} vers β signifie que pour tout S comme ci-dessus, et pour tout ε > 0, il existe n_{0} suffisament grand pour que

∀n ⩾ n_{0}, ∀v ∉ S,  α_{n,v} − β_{v} ∈ 𝔬_{v}
∀n ⩾ n_{0}, ∀v ∈ S,  |α_{n,v} − β_{v}| < ε

Proposition 2.3 Avec cette topologie, 𝔸_{k} est un anneau localement compact, dans lequel k est plongé continûment (par plongement diagonal). On dit que 𝔸_{k} est le produit topologique restreint des espaces topologiques k_{v}.

Remarque 2.4 Le produit topologique ∏_{v∈V} k_{v} serait trop gros pour être localement compact.

Proposition 2.5 Le plongement de k est discret et co-compact, c’est-à-dire que 𝔸_{k}/k est compact. Si (ω_{1}, …, ω_{n}) est une base de 𝔬 sur ℤ, soit ℱ_{∞} le sous espace de ∏_{v|∞} k_{v}

engendré par ∑_{i=1}^{d} t_{i}ω_{i} avec 0 ⩽ t_{i} < 1. Alors

ℱ = ℱ_{∞} × ∏_{v∤∞} 𝔬_{v}  (2.3)

est un domaine fondamental de 𝔸_{k} modulo k.

Preuve : Soit α ∈ k. Dire que α est proche de zéro, signifie d’après la remarque que α ∈ 𝔬_{v} pour presque tout v et que de plus pour un nombre fini de places, dont entre autres les places archimédiennes, |α|_{v} ⩽ ε. D’après la formule du produit, seul α = 0 peut satisfaire à ces exigences. Soit 𝔸_{k,∞} = ∏_{v|∞} k_{v} ×∏_{v∤∞} 𝔬_{v}. Nous commençons par montrer que k+𝔸_{k,∞} = 𝔸_{k}. Soit x ∈ 𝔸_{k}, on peut multiplier x un certain entier (naturel) m pour que toutes les composantes mx_{v} soient des entiers de 𝔬_{v}. Soit S l’ensemble des places au dessus des diviseurs premiers de m. Pour ν ∈ ℕ^{∗}, d’après le lemme chinois, il existe un entier α ∈ 𝔬 tel que

∀v ∈ S, mx ≡ α [𝔭_{v}^{ν}]

Alors x − \frac{α}{m} est entier pour tout v quand ν est choisi suffisamment grand, d’où la décomposition attendue. Montrons que 𝔸_{k}/k est compact. On sait déjà que par une translation de k, on peut se ramener à un représentant dans 𝔸_{k,∞}. De plus, le plongement de 𝔬 dans ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}} forme un réseau de rang maximal. Aussi, à une translation de 𝔬 près, on peut se ramener à un unique élément du domaine ℱ qui est lui même inclus dans un compact.

Remarque 2.6 On peut interprèter 𝔸_{k}/k comme le groupe des caractères k̂ = Hom_{cont.}(k, 𝕊^{1}). Aussi, par la théorie de la dualité de Pontryagin, k est discret si et seulement si k est co-compact. On a une analogie

ℝ = ℝ̂ localement compact 𝔸_{k} = 𝔸̂_{k}
ℤ = ℝ̂/ℤ  discret  k = { \atop 𝔸_{k}/k}
ℝ/ℤ = ℤ̂  compact  𝔸_{k}/k = k̂

Exemple 2.7 (Description en détail du cas de ℚ) Pour α_{v} ∈ ℚ_{v}, on note {α_{v}} la partie fractionnaire de α_{v}. Si α ∈ 𝔸_{ℚ} (autrement dit, dans le développement de α_{v} en base p, on ne garde que la partie avant la virgule). Pour presque tout v, {α_{v}} est nul. On définit le caractère χ par la formule suivante :

χ : β ↦ exp(−2iπ{β_{∞}}) ∏_{v∤∞} exp(2iπ{β_{v}})  (2.4)

L’ensemble des caractères 𝔸̂_{ℚ} est isomorphe à 𝔸_{ℚ} et l’isomorphisme peut se décrire par

\begin{matrix}𝔸_{ℚ} & → & 𝔸̂_{ℚ} = Hom_{cont.}(ℚ, 𝕊^{1}) \\ α & ↦ & β ↦ χ(αβ) \end{matrix}

Ceci est cohérent avec le fait que si l’on restreint χ à un quasi-facteur ℚ_{v}, on tombe sur le caractère χ_{v} = (β ↦ exp(2iπ{β_{v}}), qui permet lui aussi d’exprimer l’isomorphisme entre ℚ_{v} et ℚ̂_{v}.

Remarquons aussi que lorsque β ∈ ℚ, χ(β) = 1. Notons {α} = ∑_{v≠∞}{α_{v}} qui est un rationnel. La description du groupe quotient 𝔸_{ℚ}/ℚ peut se voir comme le fait de retrancher à α ∈ 𝔸_{ℚ} sa partie fractionnaire {α}.

2.3 Mesures et hauteurs

On peut mettre une mesure de Haar sur 𝔸_{k} de la manière suivante :

μ(W_{S}) = |D_{k}|^{−1/2} ∏_{v∈S} μ_{v}(W_{v})  (2.5)

où μ_{v} = dx est la mesure de Lebesgue quand k_{v} = ℝ, μ_{v} = 2 dx dy = | dz ∧ d\overline{z}| k_{v} = ℂ et μ_{v} est la mesure de Haar normalisée par μ_{v}(𝔬_{v}) = 1 quand v est une place ultra-métrique. Par μ_{∞}, on entend la mesure produit sur ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}}.

Remarque 2.8 Avec cette normalisation de la mesure, on a l’égalité

μ(𝔸_{k}/k) = 1(= μ(ℱ))

où par définition, la mesure du quotient est la mesure d’un domaine fondamental pour l’action de k sur 𝔸_{k}.

Sur 𝔸_{k}^{n}, on utilise la mesure μ^{n} obtenue comme mesure produit de μ.

Remarque 2.9 A partir des mesures de Haar, on peut déterminer la normalisation des valeurs absolues pour toute place v de la manière suivante. Etant donné un scalaire a ∈ k et C ⊂ k_{v} un compact de mesure non nulle, on note |a|_{v} = \frac{μ_{v}(aC)}{μ_{v}(C)}. De plus, on note

∀β ∈ 𝔸_{k},  ∥β∥_{𝔸_{k}} = ∏_{v∈V} |β_{v}|_{v}  (2.6)

De cette façon la formule du produit est vérifiée, c’est-à-dire ∥a∥_{𝔸_{k}} = 1 pour a ∈ k, car

∀a ∈ k, μ(𝔸_{k}/k) = μ(a𝔸_{k}/k) = ∥a∥_{𝔸_{k}}μ(𝔸_{k}/k)

Pour travailler dans k_{v}^{n}, nous utiliserons la norme ou hauteur locale

|x|_{v} = \begin{cases}(|x_{1}| + |x_{2}| + ⋯ + |x_{n}|)^{1/2} si v est réelle \\ |x_{1}| + |x_{2}| + ⋯ + |x_{n}| si v est complexe \\ max_{i} |x_{i}| si v est ultramétrique \end{cases}  (2.7)

où x = x_{1}e_{1} + ⋯ + x_{n}e_{n}. Nous appelons hauteur globale

∀x ∈ k_{𝔸}^{n}, H(x) = ∥x∥_{k_{𝔸}^{n}} = ∏_{v} |x_{v}|_{v}  (2.8)

3 Géométrie des nombres adèlique

3.1 Théorème de Minkowski adèlique

Fixons (e_{1}, …, e_{n}) une base de k^{n}. Par plongement, c’est également une base de 𝔸_{k}^{n} ou de k_{v}^{n}. On note L le réseau

L = 𝔬e_{1} ⊕ ⋯ ⊕ 𝔬e_{n}  (3.1)

et L_{v} son localisé

L_{v} = L ⊗ 𝔬_{v} = 𝔬_{v}e_{1} ⊕ ⋯ ⊕ 𝔬_{v}e_{n}  (3.2)

Soit g ∈ GL(𝔸_{k}) et C_{∞} = ∏_{v|∞} C_{v} un produit de domaines convexes et symétriques par rapport à l’origine, la notation S(C_{∞}, g) désigne le domaine compact suivant

S(C_{∞}, g) = C_{∞} × ∏_{v place ultram.} g_{v}L_{v} ⊂ 𝔸_{k}^{n}  (3.3)

L’ensemble S(C_{∞}, g) est un analogue raisonable du domaine convexe de la première partie. On peut d’ores et déjà noter que

μ^{n}(S(C_{∞}, g)) = |D_{k}|^{−n/2}| det g|_{𝔸_{k}}μ_{∞}^{n}(C_{∞})

Théorème 3.1 ([McF71], [Thu96]) Dès lors que la condition

2^{n[k:ℚ]} ⩽ μ^{n}(S(C_{∞}, g))

est remplie, il existe un élément de S(C_{∞}, g) ∩ k^{n} ⊂ 𝔸_{k}^{n} qui est distinct de 0.

3.2 Applications en théorie algébrique des nombres

Définition 3.2 On rappelle que le groupe J_{k} des idèles de k désigne l’ensemble des éléments inversibles de 𝔸_{k} et on note de plus J_{k}^{ρ} le sous-groupe fermé des idèles de norme ρ (ρ est un réel strictement positif).

Théorème 3.3 Le groupe C^{1} = J_{k}^{1}/k^{×} est compact.

Démonstration : L’application ∥ · ∥_{𝔸_{k}} est bien définie sur le groupe C^{1} = J_{k}^{1}/k^{×} à cause de la formule du produit. On note également, pour un réel ρ strictement positif, J^{ρ} et C^{ρ} les ensembles

J^{ρ} = {x ∈ J_{k}, ∥x∥_{𝔸_{k}} = ρ}

C^{ρ} = J^{ρ}/k^{×}.

L’ensemble C^{1} est topologiquement isomorphe à C^{ρ}. En effet, en nommant

a = (\underbrace{ρ^{1/d}, …, ρ^{1/d}}_{places infinies}, \underbrace{1, …, 1}_{places finies})

on a C^{ρ} = aC^{1}. Il suffit de montrer que C^{ρ} est compact pour un certain ρ suffisament grand. Pour cela, nous allons définir un certain domaine compact Ω de J^{ρ} et montrer que J^{ρ} est recouvert par l’ensemble k^{×}Ω des translatés de Ω par k^{×}.

Pour x ∈ J_{k}^{ρ}, on note W (x) l’ensemble

W (x) = {y ∈ J_{k}; ∀v place , |y_{v}|_{v} ⩽ |x_{v}|_{v}}  (3.4)

Pour tout α ∈ k^{×}, soit

Y (α) = {x ∈ J_{k}^{ρ}; α ∈ W (x)}  (3.5)

Y (α) est compact, car les conditions portant sur x ∈ Y (α) impliquent

\begin{cases}|α|_{v} ⩽ |x_{v}|_{v} \\ ∥x∥_{𝔸_{k}} = ∏_{v} |x_{v}|_{v} = ρ \\ ∥α∥_{𝔸_{k}} = 1 \end{cases} ⇒ |x_{v}|_{v} ⩽ \frac{ρ}{∏_{w≠v} |x_{w}|_{w}} ⩽ \frac{ρ|α|_{v}}{∥a∥_{𝔸_{k}}} = ρ|α|_{v}

On peut remarquer que pour α dans k^{×}, Y (α) = αY (1). De plus, le volume de W (x) se calcule comme suit : μ^{(1)}(W (x)) = D_{k}^{−1/2}2^{r_{1}}π^{r_{2}}ρ. Ainsi, si ρ > (\frac{4}{π} )^{r_{2}} \sqrt{|D_{k}|}, lorsque x ∈ J_{k}^{ρ}, W (x) contient toujours un certain α ∈ k^{×}, autrement dit, x appartient à Y (α) = αY (1). □

La preuve de ce théorème ressemble très fortement à la démonstration classique du théorème sur les structures des unités de Dirichlet. A vrai dire, il est possible de montrer que ce théorème est équivalent à la conjonction du théorème de finitude des classes d’idéaux et du théorème de structure des unités. En voici l’illustration.

Application 3.4 Le groupe des classes d’idéaux Cl(k) du corps de nombre k est fini.

Preuve : Soit I_{k} le groupe des idéaux fractionnaires de k muni de la topologie discrète. Pour toute place finie v, on note 𝔭_{v} = {x ∈ k; val_{v}(x) ⩾ 1} l’idéal premier associé. On dispose d’une application naturelle

Id : \begin{cases}J_{k}^{1} & → & I_{k} \\ a & ↦ & ∏_{v place finie} 𝔭_{v}^{val_{v}(a_{v})} \end{cases}

L’application Id est bien évidemment un morphisme surjectif. De plus, l’image par Id de k^{×} ⊂ J_{k}^{1} est égale exactement à P_{k}, l’ensemble des idéaux principaux de k. L’application Id reste définie sur le quotient Id : J_{k}^{1}/P_{k} → I_{k}/P_{k} = Cl(k) et conserve son caractère surjectif et continu. Mais l’image d’un compact étant compacte, le groupe des classes ne peut qu’être fini. □

Application 3.5 Soit k un corps de nombre de degré d = r_{1} + 2r_{2} et λ = (λ_{i})_{1⩽i⩽r_{1}+r_{2}} son plongement dans ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}}. La notation log(k^{×}) désigne l’image de k^{×} par le plongement logarithmique de k dans ℝ^{r_{1}+r_{2}} via les applications (ln(|λ_{i}|))_{1⩽i⩽r_{1}+r_{2}}. L’image log(k) est un réseau de dimension r_{1} + r_{2} − 1.

Preuve : Le plongement logarithmique est défini pour tout élément de J_{k}^{1}, et son image est incluse dans l’hyperplan défini par

H = {(ξ_{1}, …, ξ_{r_{1}+r_{2}}) ∈ ℝ^{r_{1}+r_{2}}; ξ_{1} + … ξ_{r_{1}+r_{2}} = 0}

De plus, l’image de J_{k}^{1} contient une base de H car on a tout loisir de choisir les r_{1} + r_{2} − 1 premières coordonnées aux places archimédiennes et d’ajuster la dernière pour que le produit fasse 1. Notons W le sous-espace engendré par log(k^{×}). On obtient un homomorphisme continu

C^{1} = J_{k}^{1}/k^{×} → H/W

et l’image de cet homomorphisme engendre le ℝ-espace vectoriel H/W. Mais comme J_{k}^{1}/k^{×} est compacte, son image l’est aussi. Donc W = H, ce qui prouve notre assertion. □

3.3 Problèmes d’approximation diophantienne

Il est possible de formuler également une version adèlique du second théorème de Minkowski.

On définit les minima successifs par

λ_{i}(S(C_{∞}, g)) = inf{λ > 0; S(λC_{∞}, g) ∩ k^{n} contient i vecteurs lin. indep.}

(3.6)

On dispose du théorème suivant :

Théorème 3.6 ([McF71], [BV83]) L’inégalité

(λ_{1} … λ_{n})^{d}μ^{n}(S(C_{∞}, g)) ⩽ 2^{dn}  (3.7)

est vérifiée.

Ce théorème peut se démontrer en adaptant simplement l’une des preuves connue dans le cas classique au contexte des adèles.

A titre d’application, nous présentons une amélioration du lemme de Siegel (voir l’exemple (1.10)).

On peut noter que si B_{n} désigne la boule unité

B_{n} = {x ∈ k_{𝔸}^{n}; ∀v, ∥x_{v}∥_{v} ⩽ 1}

on a alors

μ^{n}(B_{n}) = |D_{k}|^{−n/2}κ_{n}^{r_{1}}κ_{2n}^{r_{2}}2^{r_{2}n}  (3.8)

où (petite piqûre de rappel) κ_{n} est le volume de la boule unité de ℝ^{n}.

κ_{n} = \frac{π^{n/2}}{Γ(1 + \frac{n}{2})}  (3.9)

Définition 3.7 Nous définissons la hauteur d’une matrice A ∈ M_{m,n}(k) par sa hauteur dans la base de ses coordonnées grassmanniennes. Plus précisément, on sait que ⋀^{m}(k^{n}) admet pour base les vecteurs e_{I} = (e_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{m}}) quand I décrit les ensembles {i_{1} < ⋯ < i_{m}}, ce qui nous permet de définir une hauteur sur ⋀^{m}(k^{n}). La hauteur d’une matrice m × n est simplement la hauteur du produit extérieur de ses vecteurs lignes dans ⋀^{m}(k^{n}).

Exemple 3.8 ([BV83], [Thu96]) Soit A une matrice de M_{m,n}(k) de rang m < n. Alors il existe ℓ = n − m vecteurs (w_{s})_{1⩽s⩽ℓ} de (𝔬_{k})^{n} qui vérifient

∀1 ⩽ s ⩽ ℓ, Aw_{s} = 0  (3.10)

et

H(w_{1}) … H(w_{ℓ}) ⩽ \frac{2^{ℓ}}{μ^{ℓ}(B_{ℓ})^{1/d}} H(A) = (\frac{2^{(ℓ)(r_{1}+r_{2})}\sqrt{|D_{k}|^{ℓ}}}{κ_{ℓ}^{r_{1}}κ_{2ℓ}^{r_{2}}} )^{1/d} H(A) (3.11)

Références

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