Réseaux spéciaux

Exposé pour le Groupe de travail des étudiants de théorie des nombres de Bordeaux I par Hervé Diet, les 9 et 16/01/2007.

1 Les réseaux

Ici E désignera un espace vectoriel euclidien de dimension n.

Définition 1.0.1. Un réseau Λ est un sous-groupe de E tel qu’il existe un base (e_{1}, ..., e_{n}) de E avec Λ = ℤe_{1} ⊕ ... ⊕ ℤe_{n}.

Le plus simple des réseaux est le réseau x cubique ℤ^{n} de ℝ^{n}. Par la définition on peut voir que Λ est un sous-groupe discret de ℝ^{n} L’ensemble des x de E qui s’écrivent x = ∑ x_{i}e_{i} avec 0 ≤ x_{i} ≤ 1 s’appelle le parallélotope fondamental de Λ. Lorsqu’on parlera de norme de x, on fera référence en fait à la norme au carré x.x = x^{2} = ||x||^{2}. La norme minimale d’un réseau est alors défini par min(Λ) = min_{x∈Λ,x≠0}x^{2}. L’ensemble des vecteurs minimaux de Λ est S(Λ) = \{x ∈ Λ|x^{2} = min(Λ)\}, et on définit s(Λ) = \frac{1}{2}|S(Λ)|. Le nombre s est entier car si x est minimal −x l’est aussi. L’un des problèmes liés aux réseaux est le kissing number, il s’agit de savoir combien de sphères on peut coller à une même sphère en les prenant toutes de même rayon. Pour un réseau l’ensemble des sphères centrées sur 0 et sur les vecteurs minimaux et de rayon \frac{1}{2} \sqrt{min(Λ)} forment une configuration de kissing number qui réalise le nombre 2s(Λ).

Définition 1.0.2. Soit (e_{1}, ..., e_{n}) une famille de vecteurs alors sa matrice de Gram est la matrice G = (g_{i,j}) avec g_{i,j} = e_{i}.e_{j}.

Définition 1.0.3. Le discriminant (Δ) d’un réseau est la valeur absolue du determinant d’une de ses bases dans une base orthonomée et le déterminant (det) d’un réseau est le carré du discriminant.

Le discrimiant est donc le volume du parallélotope fondamental, il est aussi appelé le covolume. De plus le déterminant d’un réseau est égal au déterminant d’une de ses matrices de Gram. Ces deux valeurs sont bien définies car la matrice de passage entre deux bases de Λ est dans GL_{n}(ℤ) et donc son déterminant est 1. Un deuxième problème qui est lié aux réseaux est celui de l’ empilement de sphères : comment arranger des sphères de même rayon dans l’espace pour occuper le maximum de place. Un réseau procure une configuration en plaçant des sphères de rayon r = \frac{1}{2} \sqrt{min(Λ)} aux points du réseau. On se rend compte alors que la densité ainsi obtenue est :

Δ = \frac{volume d’une sphère de rayon r}{volume du parallélotope fondamental} = r^{n} \frac{volume d’une sphére de rayon 1}{discriminant du réseau} .

On s’interesse donc à la constante d’Hermite : γ(Λ) = \frac{min(Λ)}{det(Λ)^{\frac{1}{n}}}, qui s’obtient si on omet toutes les constantes dans la densité.

Propriété 1.0.4. Soit Λ un réseau et Λ′ un réseau inclu dans Λ. Alors on a :

det(Λ′) = [Λ : Λ′]^{2} det(Λ) .

Définition 1.0.5. Un réseau est dit entier si la matrice de Gram d’une de ses bases est à coefficients entiers ( en fait c’est alors le cas pour toutes). Il est de plus dit unimodulaire si son déterminant est 1. Un réseau est dit pair s’il est entier et que tous ses vecteurs sont de norme pair.

Définition 1.0.6. Soit Λ un réseau, alors son réseau dual est :

Λ^{∗} = {x ∈ E|x.y ∈ ℤ ∀y ∈ Λ} .

Propriété 1.0.7. On a toujours

det(Λ) = det(Λ^{∗})^{−1} .

Propriété 1.0.8. Soit Λ un réseau et F un sous-espace de E alors Λ ∩ F est un réseau si seulement si Λ^{∗} ∩ F^{⊥} est un réseau.

▷ Une base de Λ∩F peut être completée en une base de E. Si on regarde la base duale associée alors par un argument de dimension d’espace vectoriel Λ^{∗} ∩ F^{⊥} est un réseau. □

Propriété 1.0.9. Soit Λ un réseau :

– Λ est entier si seulement si Λ ⊂ Λ^{∗}.

– Si c’est le cas alors [Λ^{∗} : Λ] = det(Λ).

– Λ est unimodulaire si seulement si Λ = Λ^{∗}.

Si Λ est un réseau et L un sous-réseau de Λ alors L est contenu dans un sous-espace W de E de dimension minimale. L’orthogonal de L est :

L^{⊥} = {x ∈ Λ|x.y = ∀y ∈ L} .

L est dit primitif si Λ/L est un ℤ-module libre.

Propriété 1.0.10. Soit Λ un réseau unimodulaire de ℝ^{n} et L un sous-réseau primitif de Λ alors :

det(L) = det(L^{⊥}) .

▷ Soit i l’injection de L dans Λ, i^{∗} sa fonction duale. Alors comme Λ/L est sans torsion i^{∗} est surjective. Comme Λ est unimodulaire, on en déduit une fonction surjective de Λ dans L^{∗} qui par quotient donne une fonction f de Λ/L dans L^{∗}/L. Soit I l’image de L^{⊥} dans Λ/L, alors comme i^{∗}(L^{⊥}) = 0, I ⊂ ker f. Inversement si x est un représentant d’un élément de ker f, alors il existe y ∈ L tel que i^{∗}(x − y) = 0, soit x − y ∈ L^{⊥} et donc la classe de x est dans I. On a donc une bijection entre Λ/(L ⊕ L^{⊥}) et L^{∗}/L.

Comme L est primitif L^{⊥} l’est aussi, on peut donc en échangeant les rôles de L et L^{⊥} avoir une deuxième bijection. Et alors :

det(L) = [L^{∗} : L] = [Λ : L ⊕ L^{⊥}] = [(L^{⊥})^{∗} : L^{⊥}] = det(L^{⊥}) .

□

2 Réseaux de Racines

2.1 Racines et bases

Soit Λ un réseau alors on définit :

R = {x ∈ Λ|x^{2} = 2} .

Un élément de R est appelé une racine.

Définition 2.1.1. On dit que Λ est un réseau de racines s’il est engendré par R.

Par Cauchy-Schwarz on a que si x et y sont deux racines alors x.y vaut 0, ±1, ±2 avec x.y = ±2 implique x = ±y. De plus il faut remarquer que si x.y = 1 alors (x − y)^{2} = 2 et donc x − y est une racine.

Théorème 2.1.2. Soit Λ un réseau de racines. Alors il existe une base (e_{1}, ..., e_{n}) de Λ tel que

e_{i}^{2} = 2, 1 ≤ i ≤ n ,
e_{i}.e_{j} ∈ {0, −1}, 1 ≤ i, i ≤ n, i ≠ j .

Pour démontrer cela on va montrer qu’il existe un sous-ensemble spécial de R.

Définition 2.1.3. Un sous-ensemble S de R est dit système fondamental si :

1. S est une base de Λ.

2. Tout élément β de R s’écrit comme combinaison linéaire des éléments de S avec tous les coefficients entiers et de même signe.

Si α et β sont deux éléments distincts de S alors α.β ne peut valoir 1 car sinon α − β serait racine. Pour avoir le théorème il suffit donc de prouver qu’un tel S existe. R est fini car c’est l’intersection d’un ensemble discret et d’un compact. Donc soit H_{α} = {x ∈ ℝ^{n}|x.α = 0}, ∪_{α∈R}H_{α} est différent de ℝ^{n} donc il existe t tel que t.α ≠ 0 pour tout α ∈ R. Soit

R_{t}^{+} = {α ∈ R|t.α > 0} ,

alors on a R = R_{t}^{+} ∪ (−R_{t}^{+}). Un élément α de R_{t}^{+} est dit décomposable s’il existe β, γ dans R_{t}^{+} tels que α = β + γ. Sinon α est dit indécomposable. Soit S_{t} l’ensemble des éléments indécomposables de R_{t}^{+}.

Propriété 2.1.4. L’ensemble S_{t} est un système fondamental de racines de Λ. Inversement si S est un système fondamental il existe t tel que t.α > 0 pour tout α ∈ S et S = S_{t}.

Pour cela nous allons procéder par lemmes.

Lemme 2.1.5. Chaque élément de R_{t}^{+} est une combinaison linéaire des éléments de S_{t} avec des coefficients entiers et positifs.

▷ Sinon il existerait α qui ne vérifierait pas cette propriété. α est décomposable car sinon α serait dans S_{t}. Comme t.β > 0 pour tout β dans R_{t}^{+} choisissons de plus α minimal pour cette propriété. Il existe β et γ dans R_{t}^{+} tels que α = β + γ, alors

t.α = t.β + t.γ

Or les deux produits scalaires sont strictement positifs et donc strictement inférieurs à t.α. β et γ s’écrivent donc comme combinaison linéaire des éléments de S_{t} avec des coefficients entiers positifs, et c’est donc aussi le cas de α. □

Lemme 2.1.6. α.β ≤ 0 pour α, β ∈ S_{t}, α ≠ β.

▷ Sinon α.β = 1 et γ = α−β est dans R. Alors γ ou −γ est dans R_{t}^{+} et suivant le cas α = β +γ serait décomposable, ou β = α + (−γ) serait décomposable. □

Lemme 2.1.7. Les éléments de S_{t} sont linéairement indépendants.

▷ Supposons que ∑_{α∈S_{t}} a_{α}α = 0. Alors on peut transformer cette égalité en :

∑ b_{β}β = ∑ c_{γ}γ ,

avec les b_{β} et les c_{γ} tous positifs. Soit λ = ∑ b_{β}β. alors :

λ.λ = ∑_{β,γ} b_{β}c_{γ}β.γ ≤ 0 ,

donc λ = 0 et alors

0 = t.λ = ∑_{β} b_{β}t.β ,

et donc b_{β} = 0 pour tout β car t.α > 0 pour tout α dans S_{t}. De même pour les c_{γ}.□

Lemme 2.1.8. Pour toute base (γ_{1}, ..., γ_{n}) de ℝ^{n} il existe un t dans ℝ^{n} tel que t.γ_{i} > 0 pour tout i.

▷ Soit δ′_{i} la projection orthogonale de γ_{i} sur le sous-espace U_{i} engendré par tous les vecteurs de la base sauf γ_{i}. Soit δ_{i} = γ_{i} − δ′_{i}. δ_{i} est donc orthogonal aux γ_{j} pour j ≠ i et donc à δ′_{i}, et δ_{i}.γ_{i} = δ_{i}^{2} > 0. Alors il suffit de prendre n’importe quel t = ∑_{i=1}^{n} r_{i}δ_{i} avec les r_{i} > 0. □

▷ de la propriété 2.1.4 : D’après le lemme 2.1.7, les éléments de S_{t} sont indépendants. D’après le lemme 2.1.5, ils engendrent R_{t}^{+} qui engendre R qui lui-même engendre Λ. Donc S_{t} est bien une base de Λ. Le lemme 2.1.5 entraîne de plus la deuxième condition pour être un système fondamental. Inversement soit S un système fondamental alors soit t tel que t.α > 0 pour tout α dans S (cela est possible d’après le lemme 2.1.8). Soit R^{+} l’ensemble des racines qui s’écrivent comme combinaison linéaire positive des éléments de S. Alors R^{+} ⊂ R_{t}^{+} et (−R^{+}) ⊂ (−R_{t}^{+}) donc R^{+} = R_{t}^{+} car R = R^{+} ∪ (−R^{+}). Soit x un élément de S_{t} alors x = ∑_{α∈S} a_{α}α et comme t.α > 0, les a_{α} sont tous positifs. Si deux de ces coefficients sont non nuls x est alors décomposable ce qui est impossible. Donc x = a_{α_{0}}α_{0}, et ils sont tous les deux de norme 2, avec a_{α_{0}} > 0 donc x = α_{0} ∈ S. Or S_{t} engendre E et S est une base d’ou S = S_{t}. □

Il donc maintenant intéressant de regarder si on peut classifier ces bases.

2.2 Classification

A une base qui vérifie les propriétés du chapitre précendant, on peut associer un graphe avec les conventions suivantes :

– Les sommets sont les n vecteurs de la base.

– Il y a une arête entre deux sommets si le produit scalaire des deux vecteurs est −1. Le graphe G ainsi obtenu est appelé diagramme de Coxeter-Dynkin.

Lemme 2.2.1. G ne contient pas de cycle.

▷ Si G contient un cycle minimal x_{1} → ... → x_{r} → x_{1}, alors

(x_{1} + ... + x_{r})^{2} = 2r − 2r = 0 ,

ce qui est impossible. □

Lemme 2.2.2. G ne contient pas de sous-graphe en forme d’Os.

▷ Si G contient deux chemins de la forme :

x_{r+1} → x_{1} → ... → x_{r} → x_{r+3}
x_{r+2} → x_{1} → ... → x_{r} → x_{r+4}

alors on a :

(2x_{1} + ... + 2x_{r} + x_{r+1} + ... + x_{r+4})^{2} = 8r + 8 − 8(r − 1) − 16 = 0 ,

ce qui est impossible. □

Supposons maintenant que G est connexe, sinon le réseau serait décomposable en deux sousréseaux orthogonaux. Alors G est composé de trois chemins de la forme :

c → x_{1} → ... → x_{p−1}
c → y_{1} → ... → x_{q−1}
c → z_{1} → ... → z_{r−1}

Soit alors :

w = c +\frac{1}{p}[(p − 1)x_{1} + (p − 2)x_{2} + ... + x_{p−1}]
+\frac{1}{q}[(q − 1)y_{1} + (q − 2)y_{2} + ... + y_{q−1}]
+\frac{1}{r}[(r − 1)z_{1} + (r − 2)z_{2} + ... + z_{r−1}] .

Les familles de vecteurs x, y et z sont deux à deux orthogonales et orthogonales à w en effet :

w.x_{1} = c.x_{1} + \frac{(p − 1)2 − (p − 2)}{p} = 0

w.x_{i} = \frac{(p − i)2 − (p − i + 1) − (p − i − 1)}{p} = 0 si 2 ≤ i ≤ p − 2 ,

w.x_{p−1} = \frac{2 − (p − (p − 2))}{p} = 0 ,

et de même pour y et z et donc ces trois familles plus w forment une base de Λ ⊗ ℚ sur ℚ. De plus

w^{2} = w.c = 2 − \frac{p − 1}{p} − \frac{q − 1}{q} − \frac{r − 1}{r} .

Or w^{2} > 0 donc on en deduit :

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1 .

Si on suppose que p ≥ q ≥ r alors les seules solutions sont :

(p, q, r) = (1, q, r) avec q, r quelconques

(2, 2, r) avec r quelconque (2, 3, 3) (2, 3, 4) (2, 3, 5) .

Théorème 2.2.3. Tout réseau de racines est une somme orthogonale des réseaux de racines irréductibles qui ont les diagrammes précédents.

Il s’agit maintenant de montrer l’existence de tels réseaux.

2.3 Réseaux de racines

2.3.1 Le réseau A_{n}

Regardons ℝ^{n+1} muni de la base canonique (ε_{1}, ..., ε_{n+1}). On pose alors e = ∑ ε_{i} et :

Γ = {x ∈ ℤ^{n+1}|e.x = 0}

Ceci revient à prendre les vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle. Γ est engendré par ses n(n + 1) racines qui sont les ε_{i} − ε_{j} avec i ≠ j. Une bases de Γ est (e_{i} = ε_{i+1} − ε_{i}) et correspond au triplet (p, q, r) = (1, q, r).

Soit A la matrice de Gram alors

A = ( \begin{matrix}2 & −1 & & & 0 \\ −1 & 2 & −1 \\ & −1 & 2 & ... \\ & & ... & ... & −1 \\ 0 & & & −1 & 2 \end{matrix} ) .

On a alors :

– det(A_{n}) = n + 1 par récurrence.

– min(A_{n}) = 2 .

– γ(A_{n}) = \frac{2}{(n+1)^{1/n}}, est c’est optimal pour n=1,2 et 3.

– |S(A_{n})| = n(n + 1) qui est optimal pour n=1,2 et 3.

– pour n=2 on parle de réseau hexagonal et n=3 de cubique face centrée.

2.3.2 L’échiquier D_{n}

Pour n ≥ 3 soit :

Γ = {(x_{1}, ..., x_{n}) ∈ ℤ^{n}|x_{1} + ...x_{n} pair} .

Alors Γ est engendré par ses 2n(n − 1) racines ±ε_{i} ± ε_{j} et ±ε_{i} ∓ ε_{j} avec i ≠ j. L’ensemble {ε_{2} − ε_{1}, ε_{3} − ε_{2}, ..., ε_{n} − ε_{n−1}, ε_{1} + ε_{2}} est une base de Γ. Son diagramme est celui associé au triplet (p, q, r) = (2, 2, r). soit D sa matrice de Gram alors :

D = ( \begin{matrix}2 & −1 & & & 0 & 0 \\ −1 & 2 & −1 & & & −1 \\ & −1 & 2 & ... & & 0 \\ & & ... & ... & −1 & ⋮ \\ 0 & & & −1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & … & 0 & 2 \end{matrix} ) .

On a – D_{n} étant d’indice 2 dans ℤ^{n} on obtient de suite que det(D) = 4 .

– min(D_{n}) = 2 .

– Soit γ(D_{n}) = \frac{2}{4^{1/n}} qui est optimal pour n=3, et n=4 et 5 si on ne considère que les réseaux.

– |S(D_{n})| = 2n(n − 1) qui est optimal pour n=3,4,5.

– Il faut remarquer que A_{3} et D_{3} sont isomorphes.

2.3.3 D_{n}^{+} et E_{8}

Considérons le réseau D_{n} avec n ≥ 8. On peut alors définir l’ensemble D_{n}^{+} comme

D_{n}^{+} = D_{n} ∪ (e + D_{n}) ,

avec e = \frac{1}{2} ∑ ε_{i}. Les éléments de (e + D_{n}) sont de la forme x = \frac{1}{2} ∑ x_{i}ε_{i} avec la somme des x_{i} congrue à n mod 4. Le minimum des normes au carré sur cette ensemble est donc de \frac{n}{4} et il est atteint 2^{n−1} fois lorsque x = \frac{1}{2} ∑ ±ε_{i} avec un nombre pair de signe -. D_{n}^{+} est un réseau si seulement si 2e est dans D_{n} ce qui équivaut à n pair. On supposera n pair, alors D_{n} est d’indice 2 dans D_{n}^{+} donc det(D_{n}^{+}) = 1. De plus il est entier si n est divisible par 4. On pose donc E_{8} = D_{8}^{+} qui est un réseau unimodulaire pair. Si on pose e′ = ε_{1} + ε_{8} − e alors {e_{1} = e′, e_{2} = ε_{1} + ε_{2}, e_{3} = ε_{2} − ε_{1}, ..., e_{8} = ε_{7} − ε_{6}} forme un système fondamental de E_{8}.

– On a det(E_{8}) = 1.

– min(E_{8}) = 2 .

– Soit γ(E_{8}) = 2 qui est optimal pour les réseaux.

– S(E_{8}) est constitué des 112 vecteurs de S(D_{8}) (±ε_{i} ± ε_{j}) et des 128 de la forme \frac{1}{2} ∑ ±ε_{i} avec un nombre pair de -. Soit un kissing number de 240 qui est optimal.

2.3.4 E_{7}

Partons de E_{8} et f_{8} = ε_{7} + ε_{8}.

Γ = {x ∈ E_{8}|x.f_{8} = 0} .

Comme E_{8} est unimodulaire E_{7} = Γ est un réseau de dimension 7.

– Dans E_{8} l’orthogonal de E_{7} est A_{1} donc det(E_{7}) = det(A_{1}) = 2

– min(E_{7}) = 2 .

– Soit γ(E_{7}) = \frac{2}{2^{1/7}} qui est optimal pour les réseaux.

– S(E_{7}) est constitué des 60 vecteurs de S(D_{6}) (±ε_{i} ± ε_{j} i ≠ j ≤ 6), 2 vecteurs ±(ε_{7} − ε_{8}) et des 64 de la forme ±\frac{1}{2}(ε_{8} − ε_{7} + ∑_{i≤6} ±ε_{i} avec un nombre pair de -. Soit un kissing number de 126 qui est optimal.

2.3.5 E_{6}

Partons à nouveau de E_{8} et on pose de plus f_{7} = ε_{6} + ε_{8}, alors posons

Γ = {x ∈ E_{8}|x.f_{8} = x.f_{7} = 0} .

De même Γ = E_{6} est donc un réseau de dimension 6.

– Dans E_{8} l’orthogonal de E_{6} est A_{2} donc det(E_{6}) = det(A_{2}) = 3 .

– min(E_{7}) = 2 .

– Soit γ(E_{7}) = \frac{2}{3^{1/6}} qui est optimal pour les réseaux.

– S(E_{6}) est constitué des 40 vecteurs de S(D_{5}) (±ε_{i} ± ε_{j} i ≠ j ≤ 5) et des 32 de la forme ±\frac{1}{2}(ε_{8} − ε_{7} − ε_{6} + ∑_{i≤6} ±ε_{i} avec un nombre pair de -. Soit un kissing number de 72 qui est optimal.

3 Réseaux de Leech

3.0.6 Unicité

Le réseau de Leech est la solution de ce problème universel.

Théorème 3.0.1. Si Λ est un réseau unimodulaire pair de ℝ^{n} avec n < 32 et pas de vecteurs de norme 2, alors :

– n = 24 .

– Il a 196560 vecteurs de norme 4 (minimaux), 16773120 de norme 6 et 398034000 de norme 8.

Ces conditions définissent donc un unique réseau à isomorphisme près : le réseau de Leech.

La démonstration repose sur l’utilisation de série θ d’un réseau : θ(Λ) = ∑_{x∈Λ} z^{x.x}.

3.1 Construction (Bayer, Bachoc, Batut)

Soit ζ = ζ_{35} une racine de l’unité d’ordre 35. On pose K = ℚ(ζ) et F = ℚ(ζ +ζ^{−1}) son souscorps réel maximal. D’après les résultats sur les corps cyclotomiques la différente D de F/ℚ possède un générateur α totalement positif. Comme K/F n’est ramifié qu’à l’infini la forme h (x, y) ↦ T r_{K/ℚ}(α^{−1}xy) est de discriminant unité , et il en est donc de même pour la forme hermitienne (x, y) ↦ T r_{K/ℚ}(α^{−1}x\overline{y}). Cette forme est paire car h(x, x) = 2T r_{F/ℚ}(α^{−1}N_{K/F} (x)). Donc ℤ_{K}, l’anneau des entiers de K, est un réseau unimodulaire pair de ℝ ⊗ K, de dimension n = [K : ℚ] = 24. L’ensemble R de ses racines ne peut être qu’une réunion orthogonale des systèmes de racines A_{n}, D_{n}, E_{6}, E_{7}, E_{8}. On peut ensuite considérer l’automorphisme sur R défini par la multiplication par ζ et on le compare aux automorphismes possibles pour des systèmes de racines de rang 24 (regarder l’ordre). C’est impossible et donc le réseau n’a pas de racine. D’après le théorème précédent c’est donc le réseau de Leech. Grâce au calcul de α une construction du réseau a pu être faite.

Théorème 3.1.1. Soit K et F définis comme précédemment.

1. La matrice de Gram A = (a_{i,j}) vérifie a_{i,j} = b_{|j−i|} avec :

b = (4, 1, −1, 0, 0, 0, 1, −1, −2, −1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, 1, 2, 2, 1, −1, −1, 1, 1) .

2. Λ est isometrique au réseau de Leech.

3. Il possède une base de vecteurs minimaux et s = 98280 couples de vecteurs minimaux.

Il a aussi été démontré que ce réseau maximise la densité des empilements issus de réseaux.

3.2 Autre construction : Réseaux Laminés

On parle de réseaux laminés lorsqu’on construit une famille de réseaux couche par couche.

Définition 3.2.1. Soit Λ_{1} le réseau 2ℤ. On construit alors par récurrence le réseau Λ_{n+1} Ainsi : – Dans ℝ^{n+1}, on recopie le réseau Λ_{n} sur l’hyperplan x_{n+1} = 0.

– On place ensuite des translatés de ce réseau relatif pour que l’empilement de sphères de

rayon 1 qui s’en déduit soit le plus dense possible. On obtient ainsi le réseau Λ_{n+1}.

On obtient ainsi Λ_{2} = A_{2}, Λ_{3} = D_{3}, puis D_{4}, D_{5}, E_{6}, E_{7}, E_{8}. Pour n ≤ 24 et n ≠ 11, 12, 13, il y a unicité de Λ_{n}, il y a 2 cas pour 11 et 3 pour 12 et 13 (ils sont classés en fonction de leur kissing number). On peut donc regarder la séquence de sous-réseau de Λ_{24} :

Λ_{1}, ..., Λ_{10}, Λ_{11}^{max}, Λ_{12}^{max}, Λ_{13}^{max}, Λ_{14}, ..., Λ_{24}

Théorème 3.2.2. Λ_{24} est le réseau de Leech.

Bibliographie :

– J. Martinet, Les réseaux parfaits des espaces euclidiens, Masson, 1996.

– W. Ebeling, Lattices and Codes, Vieweg, Advanced Lectures in Mathematics, 2002.

– J.H. Conway, N.J.A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, Grundlehren n˚ 290, 1993.