Exposé pour le groupe de travail- 24 octobre 2006.

Un survol de la théorie des corps de fonctions.

d’après Stichtenoth et Dominique Le Brigand.

Table des matières

1 Eléments sur la théorie des corps de fonctions. 2 1.1 Corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Anneau de valuation et places. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Places et valuations discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Corps résiduel et degré d’une place. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Zéros et pôles d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Comptage du nombre de places, de zéros et de pôles. . . . . . . . . . 5 1.7 Le cas du corps des fonctions rationnelles : K(x). . . . . . . . . . . . 6 1.8 Diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.9 Genre d’un corps de fonctions. Riemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . 8 1.10 Des exemples : corps rationnel, corps elliptique, corps hyperelliptique. 9 1.11 Lien avec la géométrie : places versus points. . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Extensions des corps de fonctions algébriques. 11 2.1 Extensions algébriques des corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 La différente et la formule d’Hurwitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Ramification sauvage, modérée et cas particuliers de la formule d’Hur-

witz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Extensions de galoisiennes de corps de fonctions. 14 3.1 Extensions de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Un premier type d’extension galoisienne : les extensions de Kummer. 14 3.3 Des exemples d’extensions de type Kummer. . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4 Un deuxième type d’extension galoisienne : les extensions d’Artin-

Schreier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5 Exemple d’extensions de type Artin-Schreier. . . . . . . . . . . . . . . 19 3.6 Groupe de décomposition, groupe d’inertie et groupes de ramification. 20 3.7 Formule de la différente de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.8 Le conducteur d’un corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.9 L’ensemble de décomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.10 Un exemple : étude des extensions d’Artin-Schreier. . . . . . . . . . . 23

1 Eléments sur la théorie des corps de fonctions.

1.1 Corps de fonctions.

Soit K un corps.

Définition 1.1. (Corps de fonctions.) On appelle corps de fonctions algébriques en une variable sur K une extension F finie et algébrique de K(x) où x est un élément de F transcendant sur K. On dira plus simplement que F/K est un corps de fonctions.

Définition 1.2. (Corps des constantes, corps de base).

– On appelle K le corps de base de F/K.

– On appelle corps des constantes de F/K, noté K̃, l’ensemble des éléments de F algébriques sur K.

Définition 1.3. (Eléments séparants.) Soit F/K un corps de fonctions. Un élément x ∈ F − K est dit séparant si F/K(x) est une extension finie séparable.

Définition 1.4. (Corps parfaits.) Un corps K est dit parfait si toute extension algébrique L/K est séparable.

Exemples de corps parfaits :

– corps de caractéristique 0.

– corps finis.

– corps K de caractéristique p > 0 si K^{p} = K.

Proposition 1.5. (Existence d’éléments séparants.) Soit F/K un corps de fonctions avec K parfait. Il existe toujours un élément séparant. Plus précisément,

1. si car(K)=0, tout élément de F − K̃ est séparant.

2. si car(K)= p > 0, x ∈ F − K̃ est séparant si et seulement si x ∉ F^{p}.

Proposition 1.6. (Présentation d’un corps de fonctions.) Soit F/K un corps de fonctions tel qu’il existe un élément séparant x (ex : K corps parfait). Alors, il existe y ∈ F tel que F = K(x, y), x et y vérifiant f(x, y) = 0 pour f ∈ K[X][Y], polynôme unitaire en Y et irréductible.

1.2 Anneau de valuation et places.

Définition 1.7. (Anneau de valuation.) Soit F/K un corps de fonctions. On appelle anneau de valuation un anneau O ⊂ F tel que :

– K ⊂ O ⊂ F mais K ≠ O et O ≠ F.

– ∀ z ∈ F, z ∈ O ou z^{−1} ∈ O.

Proposition 1.8. (Description des anneaux de valuation.) Soit O un anneau de valuation d’un corps de fonctions F/K. Alors,

1. O est un anneau local, intègre, de corps de fractions F. On note P son unique idéal maximal.

2. P= O \ O^{∗} où O^{∗} est le groupe des unités de O.

3. Pour tout z ∈ F, z ≠ 0,

z ∈ P ⇔ z^{−1} ∉ O.

4. K̃ ⊂ O et K̃ ∩ P = {0}.

Proposition 1.9. (Anneau de valuation discrète.) Soit O l’anneau de valuation d’un corps de fonctions F/K. Soit P son unique idéal maximal.

1. P est un idéal principal. Si P=tO, on appelle t une uniformisante de P (ou paramètre local).

2. Si P=tO, tout élément non nul z ∈ F s’écrit de manière unique z = t^{n}u, où n ∈ ℤ et u ∈ O^{∗}.

3. Si P = tO, tout idéal I (≠ {0} ) de O s’écrit : I = t^{n}O, avec n ∈ N. Vérifiant ces propriétés, O est ce que l’on appelle un anneau de valuation discrète.

Définition 1.10. (Places.) On appelle place d’un corps de fonctions F/K l’idéal maximal d’un anneau de valuation O de F/K. On note P_{F} l’ensemble des places de F/K.

Remarque 1.11. On admet pour l’instant que P_{F} est non vide.

Remarque 1.12. O est uniquement déterminé par P : O = {z ∈ F, z^{−1} ∉ P }. On note donc O : O_{P} et on dit que O est l’anneau de valuation à la place P.

1.3 Places et valuations discrètes.

On a une seconde description des places en terme de valuations discrètes.

Définition 1.13. (Valuations discrètes). Soit F/K un corps de fonctions. On appelle valuation discrète une fonction

v : F → ℤ ∪ {∞}

telle que :

1. v(x) = ∞ ⇔ x = 0.

2. v(xy) = v(x) + v(y) , ∀ x, y ∈ F.

3. v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)} , ∀ x, y ∈ F.

4. Il existe un élément z de F tel que v(z) = 1.

5. v(a) = 0 , ∀ a ∈ K, a ≠ 0. N.B. : On a égalité dans 3. si v(x) ≠ v(y)

Définition 1.14. (Valuation discrète relative à une place P). Pour toute place P de F/K, on peut définir la valuation à la place P

v_{P} : F → ℤ ∪ {∞}

comme suit : si t une uniformisante de P, si z ∈ F, z ≠ 0, s’écrit z = t^{n}u (n ∈ ℤ et u ∈ O^{∗}), on pose v_{P} (z) := n. Par convention, v_{P} (0) := ∞.

Remarque 1.15. La définition de cette valuation dépend seulement du choix de P et non de celui de l’uniformisante.

Théorème 1.16. (Lien entre places et valuations discrètes.) Soit F/K un corps de fonctions.

1. Soit P une place de F/K.

La fonction v_{P} définie comme ci-dessus est une valuation discrète de F/K. De plus,

– O_{P} = {z ∈ F, v_{P} (z) ≥ 0} (anneau de valuation correspondant).

– O_{P}^{∗} = {z ∈ F, v_{P} (z) = 0}.

– P = {z ∈ F, v_{P} (z) > 0}.

– Un élément t de F est une uniformisante pour P si et seulement si v_{P} (t) = 1.

– La valuation v_{P} est triviale sur K.

2. Réciproquement, si v est une valuation discrète de F/K, P := {z ∈ F, v_{P} (z) > 0} est une place de F/K. O := {z ∈ F, v_{P} (z) ≥ 0} est l’anneau de valuation correspondant.

3. Il y a donc une bijection entre l’ensemble des places de F/K et les valuations discrètes de F.

1.4 Corps résiduel et degré d’une place.

Définition 1.17. (Corps résiduel). Soit F/K un corps de fonctions et P une place de F/K.

1. F_{P} := O_{P} /P est appelé corps résiduel de P.

2. On appelle fonction résiduelle la surjection canonique :

\{ \begin{matrix}F → F_{P} ∪ \{∞\} \\ z → z(P) \end{matrix}

avec

z(P) =: \{ \begin{matrix}z̄ ∈ F_{P} , si z ∈ O_{P} \\ ∞ sinon \end{matrix}

Définition 1.18. (Degré d’une place.) Soit F/K un corps de fonctions et P une place de F/K.

– Comme K ⊂ O_{P} et K ∩ P = {0}, la surjection canonique définie plus haut induit un plongement de K dans F_{P}. En identifiant K avec son image par ce plongement, on peut voir F_{P} comme un K-espace vectoriel. (idem pour K̃).

– deg P := [F_{P} : K] est alors appelé le degré de la place P.

– On appelle rationnelles les places de degré 1.

Proposition 1.19. (Majoration du degré d’une place). Soit F/K un corps de fonctions et P une place de F/K. Soit x ∈ P, x ≠ 0,

deg P ≤ [F : K(x)] < ∞

N.B. : La dernière inégalité est stricte car x est transcendant sur K.

→ En particulier, le degré d’une place est toujours finie.

Remarque 1.20. (Sur les places rationnelles.)

– S’il existe une place rationnelle, K̃ = K (voir [K̃ : K] ≤ [F_{P} : K]).

– Si K est algébriquement clos, K̃ = K et toutes les places sont rationnelles.

Remarque 1.21. (Explication de la terminologie : ”corps de fonctions”, ”corps des constantes”.)

1. Pour P une place rationnelle, on a F_{P} = K et la fonction résiduelle envoie donc F dans K ∪ {∞}.

2. En particulier, si K est algébriquement clos, toutes les places sont rationnelles et on peut lire un élément z ∈ F comme une fonction :

z : \{ \begin{matrix}P_{F} → K ∪ \{∞\} \\ P → z(P) \end{matrix}

D’où le nom de ”corps de fonctions”.

3. Les éléments de K sont alors les ”fonctions constantes”, d’où le nom donné à K de ”corps des constantes”.

1.5 Zéros et pôles d’une fonction.

Définition 1.22. (Zéros et pôles). Soit F/K un corps de fonctions et P une place de F/K. Soit z ∈ F.

1. On dit que P est un zéro de z si v_{P} (z) > 0.

De plus, si v_{P} (z) = m > 0, on dit que P est un zéro d’ordre m.

2. On dit que P est un pôle de z si v_{P} (z) < 0.

De plus, si v_{P} (z) = −m < 0, on dit que P est un pôle d’ordre m.

Remarque 1.23. (Reformulation.) Soit z ∈ F, z ≠ 0.

1. P est un zéro de z si et seulement si z ∈ P.

2. P est un pôle de z si et seulement si z^{−1} ∈ P.

1.6 Comptage du nombre de places, de zéros et de pôles.

Théorème 1.24. (Théorème d’approximation- version faible). Soit F/K un corps de fonctions et soient P_{1}, …, P_{n} des places distinctes de F/K. Soient x_{1}, …, x_{n} ∈ F et r_{1}, …, r_{n} ∈ ℤ. Il existe alors x ∈ F tel que

v_{P_{i}}(x − x_{i}) = r_{i}, pour tout i.

Corollaire 1.25. (Infinité du nombre de places.) Tout corps de fonctions possède une infinité de places.

Proposition 1.26. Soit F/K un corps de fonctions. Soit x ∈ F et soient P_{1}, …, P_{r} les zéros de x. Alors,

∑_{i=1}^{r} v_{P_{i}}(x) deg(P_{i}) ≤ [F : K(x)].

Corollaire 1.27. (Finitude du nombre de zéros et de pôles.) Soit F/K un corps de fonctions. Tout élément de F non nul admet un nombre fini de zéros et de pôles.

1.7 Le cas du corps des fonctions rationnelles : K(x).

On considère le cas particulier : F = K(x), où x est transcendant sur K.

Proposition 1.28. (Où l’on introduit deux types de places pour K(x).) Soit F = K(x). On définit deux types de places pour F :

1. Soit p(x) ∈ K[x] un polynôme unitaire et irréductible dans K[x]. On pose

O_{p(x)} := \{\frac{f(x)}{g(x)}, f(x), g(x) ∈ K[x], p(x) |̸ g(x)\}

P_{p(x)} := \{\frac{f(x)}{g(x)}, f(x), g(x) ∈ K[x], p(x) | f(x), p(x) |̸ g(x)\}

– O_{p(x)} est un anneau de valuation

– P_{p(x)} est la place correspondante.

– p(x) est une uniformisante pour P.

– deg(P_{p(x)}) = deg(p(x)).

– La valuation v_{P} est définie comme suit :

Si z ∈ F, z ≠ 0 et si z s’écrit

z = p(x)^{n} \frac{f(x)}{g(x)}

où n ∈ ℤ et p(x) ne divisant ni f(x) ni g(x), alors v_{P} (z) := n.

– Si p(x) et q(x) sont deux polynômes unitaires, irréductibles et distincts, O_{p(x)} ≠ O_{q(x)}.

2. On pose

O_{∞} := \{\frac{f(x)}{g(x)}, f(x), g(x) ∈ K[x], deg(f(x)) ≤ deg(g(x))\}

P_{∞} := \{\frac{f(x)}{g(x)}, f(x), g(x) ∈ K[x], deg(f(x)) < deg(g(x))\}

– O_{∞} est un anneau de valuation.

– P_{∞} est la place correspondante, dite ”place infinie”.

– deg (P_{∞})= 1.

– \frac{1}{x} est une uniformisante pour P_{∞}.

– Pour tout polynôme p(x) irréductible, unitaire, O_{p(x)} ≠ O_{∞}.

3. K est le corps des constantes de K(x)/K.

Théorème 1.29. (Les places de K(x).) Dans le cas particulier du corps des fonctions rationnelles K(x), il n’y a que deux types de places : P_{p(x)} (places dites ”finies”) et P_{∞} (place dite ”infinie”).

Corollaire 1.30. (Equivalence places rationnelles de K(x) ↔ K̄.) Les places de K(x)/K de degré 1 sont en bijection avec K ∪ {∞}, i.e. avec les points de P^{1}(K).

Exemple 1.31. 1. Si K = 𝔽_{q},

card({P ∈ P_{K(x)}, deg P = 1}) = q + 1.

2. Si K = 𝔽_{2}, – les places de degré 1 de K(x) sont : (x), (x + 1), ∞.

– la seule place de degré 2 de K(x) est : (x^{2} + x + 1).

– les places de degré 3 de K(x) sont : (x^{3} + x + 1), (x^{3} + x^{2} + 1).

1.8 Diviseurs

Désormais, F/K est un corps de fonctions de corps des constantes K.

Définition 1.32. (Le groupe des diviseurs.)

1. Le groupe abélien libre engendré par les places de F/K est appelé le groupe des diviseurs de F/K. On le note D_{F}.

2. Les éléments de ce groupe sont appelés les diviseurs de F/K. Un diviseur s’écrit

sous la forme :

D = ∑_{P ∈P_{F}} n_{P} P

où n_{P} ∈ ℤ , n_{P} presque tous nuls.

3. La loi d’addition sur les diviseurs est la suivante :

soient deux diviseurs D et D′ tels que

D = ∑_{P ∈P_{F}} n_{P} P

et

D′ = ∑_{P ∈P_{F}} n′_{P} P

alors

D + D′ := ∑_{P ∈P_{F}}(n_{P} + n′_{P})P.

4. Soit D un diviseur de F s’écrivant :

D = ∑_{P ∈P_{F}} n_{P} P

Soit Q une place de F. On définit v_{Q}(D) := n_{Q}.

5. On définit un ordre partiel sur les diviseurs comme suit :

D_{1} ≤ D_{2} ⇔ v_{P} (D_{1}) ≤ v_{P} (D_{2}), ∀P ∈ P_{F} .

6. On dit qu’un diviseur D est positif (ou effectif) si D ≥ 0.

7. On appelle degré d’un diviseur

deg(D) := ∑_{P ∈P_{F}} n_{P} deg(P).

Définition 1.33. (Diviseur principal). Soit x ≠ 0 un élément de F . On appelle diviseur principal de x :

(x) := ∑_{P ∈P_{F}} v_{P} (x)P

Définition 1.34. (Groupe des classes de diviseurs.)

1. On définit le groupe des diviseurs principaux de K :

℘_{F} := {(x); x ≠ 0, x ∈ F } ⊂ D_{F} .

2. On définit le groupe des classes de diviseurs ou groupe de Picard :

C_{F} := D_{F} /℘_{F} .

Pour tout diviseur D ∈ D_{F}, on note [D] son image dans C_{F}.

3. On dit que deux diviseurs sont équivalents D ∼ D′ si [D] = [D′], i.e. si D = D′ + (x), où x ∈ F , x ≠ 0.

Définition 1.35. (La Jacobienne.) ℘_{F} est un sous-groupe du groupe des diviseurs de degré 0 : D_{F}^{0} . Le groupe quotient :

P ic_{F}^{0} := D_{F}^{0} /℘_{F}

est appelé la jacobienne du corps de fonctions F/K.

1.9 Genre d’un corps de fonctions. Riemann-Roch.

Définition 1.36. Soit A un diviseur de F. On définit :

L_{A} := {x ∈ F; (x) ≥ −A} ∪ {0}.

Lemme 1.37. (Dimension d’un diviseur.) L_{A} est un espace vectoriel de dimension finie sur K. On note sa dimension dim(A). Cet entier est appelé la dimension du diviseur A.

Proposition 1.38. (Une majoration). Il existe une constante γ ∈ ℤ, indépendante de A et ne dépendant que du corps de fonctions F/K, telle que pour tout diviseur A de F/K,

degA − dimA ≤ γ.

Définition 1.39. (Genre d’un corps de fonctions). On appelle genre de F/K l’entier (positif à cause de la proposition précédente) défini comme suit :

g := max{degA − dimA + 1, A ∈ D_{F} }.

Théorème 1.40. (Riemann-Roch.) Soit W un diviseur canonique de F/K. Alors, pour tout diviseur A de F/K,

dimA = degA + 1 − g + dim(W − A)  et  deg(W) = 2g − 2.

Corollaire 1.41. (Mieux...) Soit A un diviseur de F/K tel que degA > 2g − 2. Alors,

dimA = degA + 1 − g.

1.10 Des exemples : corps rationnel, corps elliptique, corps hyperelliptique.

Proposition 1.42. (Corps de fonctions de genre 0 et corps rationnel.) Soit F/K un corps de fonctions. Les conditions suivantes sont équivalentes :

– a/ F/K est rationnel, i.e. F=K(x), pour un certain x transcendant sur K.

– b/ F/K est de genre 0 et il existe un diviseur A de F tel que dim A = 1.

Définition 1.43. (Corps de fonctions de genre 1 et corps elliptique.) F/K est un corps de fonctions elliptiques si g = 1 et s’il existe un diviseur D de degré 1. (N.B : cette dernière condition est superflue pour K algébriquement clos ou fini.)

Proposition 1.44. (Description des corps elliptiques.) On se limite au cas : car K ≠ 2.

1. Soit F/K un corps de fonctions elliptiques.

Il existe alors x, y ∈ F tels que F=K(x, y) avec

y^{2} = f(x) ∈ K[x],

où f(x) est un polynôme sans facteur carré et de degré 3.

2. Réciproquement, soit F = K(x, y) où

y^{2} = f(x) ∈ K[x],

avec f(x) polynôme sans facteur carré et de degré 3.

Alors, F/K est un corps de fonctions elliptiques de corps de constantes K.

Définition 1.45. (Corps de fonction de genre ≥ 2 et corps hyperelliptique.) F/K est un corps de fonctions hyperelliptiques si g ≥ 2 et s’il existe un diviseur D de degré 2 avec dim D ≥ 2.

Proposition 1.46. (Description des corps hyperelliptiques.) On se limite au cas : car K ≠ 2.

1. Soit F/K un corps de fonctions hyperelliptique de genre g. Alors, il existe x, y ∈ F tels que F=K(x, y) avec

y^{2} = f(x) ∈ K[x],

où f(x) est un polynôme sans facteur carré et de degré 2g + 1 ou 2g + 2.

2. Réciproquement, si F=K(x, y) avec

y^{2} = f(x) ∈ K[x],

où f(x) est un polynôme sans facteur carré et de degré m > 4. Alors F/K est un corps de fonctions hyperelliptiques de genre :

\{ \begin{matrix}\frac{m−1}{2} si m ≡ 1 mod 2 \\ \frac{m−2}{2} si m ≡ 0 mod 2 \end{matrix}

1.11 Lien avec la géométrie : places versus points.

Définition 1.47. (Modèle affine plan et modèle projectif plan d’un corps de fonctions). Soit F/K un corps de fonctions de corps de constantes K. On écrit F = K(x, y) avec f(x, y) = 0 pour f ∈ K[X][Y] polynôme unitaire en Y et irréductible.

1. On appelle modèle affine plan de F/K la courbe affine plane γ ∈ A^{2}(K) d’équation : f(X, Y) = 0.

2. La courbe projective plane Γ d’équation F (X, Y, Z) = 0 où F ∈ K[X, Y, Z] est le polynôme obtenu à partir de f par homogénéisation, est appelée modèle projectif plan de F/K.

Proposition 1.48. (Correspondance entre places et points.) Soit F/K un corps de fonctions avec K algébriquement clos et soit Γ son modèle projectif. Si Γ est lisse, il y a correspondance biunivoque entre les points de Γ et les places de F.

Remarque 1.49. (Des précisions sur cette correspondance.) On suppose K algébriquement clos. Soit F/K un corps de fonctions, soit x ∈ F tel que F/K(x) soit finie séparable. Soit γ : {f(X, Y) = 0} un modèle affine plan de F/K. Alors

1. Tout idéal maximal de l’anneau des coordonnées affines K[x, y] de γ est de la forme M_{P} = (x − a, y − b) où P = (a, b) est un point de γ : f(a, b) = 0.

2. Il y a ainsi une correspondance binunivoque entre les points de γ et les idéaux maximaux de K[x, y].

3. L’anneau local au point P est le localisé de K[x, y] en M_{P}, noté O_{P}.

4. L’anneau O_{P} est un anneau de valuation discrète si et seulement si P est lisse.

5. Si γ est lisse, M_{P} = (x − a, y − b) est donc une place de F pour tout (a, b) ∈ K^{2} avec f(a, b) = 0.

6. Mais, on n’obtient pas ainsi toutes les places de F. Reste encore à considérer les points à l’infini.

Proposition 1.50. (Sur le genre.) Soit F/K un corps de fonctions admettant un modèle projectif plan Γ.

1. Le genre g de F/K vérifie :

g ≤ \frac{(d − 1)(d − 2)}{2},

où d est le degré du polynôme homogène F définissant Γ.

2. Si K est parfait et si Γ est lisse, on a égalité :

g = \frac{(d − 1)(d − 2)}{2}.

2 Extensions des corps de fonctions algébriques.

2.1 Extensions algébriques des corps de fonctions.

Définition 2.1. (Extension d’un corps de fonctions.)

1. Un corps de fonctions algébrique F’/K’ est appelé extension algébrique de F/K si F ⊂ F′ , F’ extension algébrique de F, et K ⊂ K′.

2. Soit F’/K’ une extension algébrique de F/K. F’/K’ est appelé extension du corps des constantes si F’=FK’.

3. On dit que F’/ K’, extension algébrique de F/K, est une extension finie si [F′ : F] < ∞.

Définition 2.2. (Places au-dessus d’une autre.) Soit F’/K’ une extension algébrique de F/K. Soient P’∈ P_{F′} et P ∈ P_{F}. On dit que P’ est au-dessus de P (ou domine P) si P ⊂ P′. On écrit P′ | P.

Proposition 2.3. Soit F’/K’ une extension algébrique de F/K. Soient P’ une place de F’ et P une place de F. On a les équivalences suivantes :

– a/ P’ est au-dessus de P.

– b/ O_{P} ⊂ O_{P′}.

– c/ Il existe un entier e ≥ 1 tel que pour tout x de F, v_{P′}(x) = e · v_{P} (x).(∗) Dans ce cas,

P = P′ ∩ F

et

O_{P} = O_{P′} ∩ F.

Remarque 2.4. (Plongement des corps résiduels.) Si P′ | P, on a un plongement naturel du corps résiduel F_{P} dans le corps résiduel F′_{P′}. On peut donc voir F_{P} comme un sous-corps de F′_{P′}.

Définition 2.5. (Indices de ramification, degré relatif). Soit F’/K’ une extension algébrique de F/K. Soit P′ | P.

1. L’entier e(P′ | P) := e ≥ 1 vérifiant (∗) est appelé l’indice de ramification de P’ sur P. Remarque : e(P′ | P) = v_{P′}(t) pour t uniformisante quelconque de P.

2. On dit que P′ | P est ramifié si e(P′ | P) > 1.

3. On dit que P′ | P est non ramifié si e(P′ | P) = 1.

4. f(P′ | P) := [F′_{P′} : F_{P}] est appelé le degré relatif de P’ sur P. N.B. : f(P′ | P) < ∞ ⇔ [F′ : F] < ∞.

Proposition 2.6. (Nombre de places au-dessus et en dessous). Soit F’/K’ une extension algébrique de F/K.

1. Pour toute place P’ de F’, il y a exactement une place P de F telle que P′ | P. Il s’agit de P := P′ ∩ F.

2. Réciproquement, toute place P de F admet au moins une place P’ de F’ audessus d’elle. De plus, le nombre de places au-dessus de P est fini.

Théorème 2.7. (Formule liant le degré de l’extension, l’indice de ramification et le degré relatif). Soit F’/K’ une extension finie de F/K, soient P une place de F et P_{1}, …, P_{m} les places de F’ au-dessus de P. On note e_{i} := e(P_{i} | P) et f_{i} := f(P_{i} | P). Alors,

∑_{i=1}^{m} e_{i}f_{i} = [F′ : F].

Définition 2.8. (Extensions ramifiées, inertes, décomposées.) Soit F’/K’ une extension finie de F/K de degré n. Soit P ∈ P_{F}.

1. S’il existe une unique place P′ | P avec e(P′ | P) = n, f(P′ | P) = 1 et on dit que P est totalement ramifée dans F.

2. S’il existe une unique place P′ | P avec e(P′ | P) = 1, f(P′ | P) = n et on dit que P est totalement inerte dans F.

3. S’il existe exactement n places P′ | P, alors e(P′ | P) = f(P′ | P) = 1 et on dit que P est totalement décomposée dans F.

2.2 La différente et la formule d’Hurwitz.

Cadre : Soit F/K un corps algébrique de fonctions. Soit F’/F une extension finie séparable. Soit K’ le corps des constantes de F’.

Définition 2.9. (Module complémentaire sur O_{P}.) Soit P une place de F.

1. On définit O′_{P} la clôture intégrale de O_{P} dans F’, i.e.

O′_{P} = ⋂_{P′|P} O_{P′} = {z ∈ F, v_{P′}(z) ≥ 0, ∀ P′ | P }.

C’est un O_{P} -module libre de rang n = [F′ : F].

2. On définit l’ensemble

C_{P} := {z ∈ F′; T r_{F′/F} (zO′_{P}) ⊂ O_{P} }.

Cet ensemble est appelé le module complémentaire sur O_{P}.

Proposition 2.10. (Description du module complémentaire.)

1. C_{P} est un O′_{P} -module.

2. Il existe un élément t ∈ F′ (dépendant de la place P) tel que C_{P} = tO′_{P}.

3. v_{P′}(t) ≤ 0, ∀ P′ | P.

4. C_{P} = t′O′_{P} ⇔ v_{P′}(t′) = v_{P′}(t), ∀ P′ | P.

Définition 2.11. (Exposant différentiel). Mêmes hypothèses et notations que ci-avant. Soit C_{P} = tO′_{P} le module complémentaire. Alors, pour tout P′ | P, on définit l’exposant différentiel de P’ sur P comme suit :

d(P′ | P) := −v_{P′}(t) ≥ 0.

Théorème 2.12. (Estimation de l’exposant différentiel). Soit P′ | P.

1. d(P′ | P) ≥ e(P′ | P) − 1.

2. d(P′ | P) = e(P′ | P) − 1 ⇔ e(P′ | P) est non divisible par car K.

(Notamment, pour car K=0.) Définition 2.13. (La différente). On définit la différente de F’/F comme suit :

Diff(F′/F) := ∑_{P ∈P_{F}} ∑_{P′|P} d(P′ | P)P′.

N.B. : La différente est un diviseur positif de F’. Théorème 2.14. (Formule du genre d’Hurwitz.) Soit F/K un corps de fonctions algébriques de genre g. Soit F’/F une extension séparable et finie. Soit K’ le corps des constantes de F’. Soit g’ le genre de F’/K’.

2g′ − 2 = \frac{[F′ : F]}{[K′ : K]}(2g − 2) + deg(Diff(F′/F)).

2.3 Ramification sauvage, modérée et cas particuliers de la formule d’Hurwitz.

Définition 2.15. (Ramification sauvage et modérée). Soit F’/F une extension algébrique et P une place de F. Soit P’ une place de F’ au-dessus de P.

1. – On dit que P′ | P est ramifiée si e(P′ | P) > 1 .

– On dit que P′ | P est modérément ramifiée si car K ne divise pas e(P′ | P) > 1 – On dit que P′ | P est sauvagement ramifiée si car K divise e(P′ | P) > 1 .

2. – On dit que P est modérément ramifiée dans F’/F si elle est ramifiée dans

F’/F et si aucune extension P′ | P n’est sauvagement ramifiée.

– On dit que P est sauvagement ramifiée dans F’/F si elle est ramifiée dans F’/F et si au moins une extension P′ | P est sauvagement ramifiée.

3. F’/F est dit modéré si aucune place de F n’est ramifiée sauvagement dans F’/F. Proposition 2.16. (Calcul de l’exposant différentiel selon la ramification.) Soit F’/F une extension finie séparable d’un corps de fonctions. Soit P′ | P. Si P′ | P est ramifié, alors

d(P′ | P) = e(P′ | P) − 1 ⇔ P′ | P est moderement ramifiee.
d(P′ | P) ≥ e(P′ | P) ⇔ P′ | P est sauvagement ramifiee.

Proposition 2.17. (Cas particulier pour la formule d’Hurwitz.) Soit F’/F une extension finie séparable d’un corps de fonctions F/K avec le même corps des constantes K. Soient g le genre de F/K et g’ celui de F’/K.

1.

2g′ − 2 ≥ [F′ : F](2g − 2) + ∑_{P ∈P_{F}} ∑_{P′|P}(e(P′ | P) − 1)deg(P′).

2. On a égalité si et seulement si F’/F est une extension modérée (par exemple si carK = 0).

3 Extensions de galoisiennes de corps de fonctions.

3.1 Extensions de Galois.

Définition 3.1. (Extensions de Galois). Une extension F’/K’ d’un corps de fonctions F/K est dite de Galois si F’/F est une extension de Galois de degré fini.

Lemme 3.2. (Actions des automorphismes sur les places.) Soit F’/F une extension algébrique de corps de fonctions. Soit P une place de F et soit P’ une place de F’ au-dessus de P. Soit σ un automorphisme de F’/F. Alors,

1. σ(P′) := {σ(x), x ∈ P′} est une place de F’.

2. v_{σ(P′)}(y) = v_{P′}(σ^{−1}(y)), ∀ y ∈ F.

3. σ(P′) | P.

4. e(σ(P′) | P) = e(P′ | P).

5. f(σ(P′) | P) = f(P′ | P).

Théorème 3.3. (Action du groupe de Galois sur l’ensemble des places.) Soit F’/K’ une extension de Galois de F/K. Soit P ∈ P_{F} .

1. Gal(F’/F) agit sur l’ensemble des places P′ | P par l’action suivante :

σ(P′) := {σ(x), x ∈ P′}.

2. Cette action est transitive :

soient P_{1} et P_{2} deux places de F’ au-dessus d’une place P, il existe σ ∈ Gal(F′/F) tel que σ(P_{1}) = P_{2}.

Corollaire 3.4. (Indice de ramification et degré relatif dans une extension galoisienne). Soit F’/K’ une extension de Galois de F/K. Soient P_{1}, …, P_{r} les places de F’ audessus de P ∈ P_{F}. Alors,

1. ∀i, j, e(P_{i} | P) = e(P_{j} | P).

On note cet entier e(P) et on l’appelle l’indice de ramification de P dans F’/F.

2. ∀i, j, f(P_{i} | P) = f(P_{j} | P).

On note cet entier f(P) et on l’appelle le degré relatif de P dans F’/F.

3. e(P) · f(P) · r = [F′ : F].

4. ∀i, j, d(P_{i} | P) = d(P_{j} | P).

3.2 Un premier type d’extension galoisienne : les extensions de Kummer.

Définition 3.5. (Extensions de Kummer). Soit F/K un corps de fonctions algébriques tel que K contienne une racine primitive n-ième de l’unité, avec n > 1, n premier avec car. K. On suppose qu’il existe u ∈ F tel que u ≠ w^{d}, ∀ w ∈ F, ∀ d | n, d > 1. On pose F′ := F (y) où y^{n} = u. Une telle extension F’/F est appelée extension de Kummer de F.

Proposition 3.6. (Description des extensions de Kummer.) Soit F’/F une extension de Kummer. Mêmes notations que ci-avant.

1. Le polynôme Φ(T) := T^{n} − u est le polynôme minimal de y sur F.

2. L’extension F’/F est galoisienne de degré n.

3. Son groupe de Galois est cyclique.

4. Tous les automorphismes de F’/F sont de la forme σ(y) = δy, où δ ∈ K est une racine n-ième de l’unité.

Proposition 3.7. (Calcul du genre des extensions de Kummer.) Soit F’/F une extension de Kummer. Soit P′ | P. Mêmes notations que ci-avant. Soit r_{P} := pgcd(n, v_{P} (u)).

1. e(P′ | P) = \frac{n}{r_{P}} .

2. d(P′ | P) = \frac{n}{r_{P}} − 1.

3. Soit K’ le corps des constantes de F’. Soient g le genre de F/K et g’ celui de F’/K’. Alors,

g′ = 1 + \frac{n}{[K′ : K]}(g − 1 + \frac{1}{2} ∑_{P ∈P_{F}}(1 − \frac{r_{P}}{n})degP).

Exemple 3.8. On suppose que car(K) ≠ 2. Soit F := K(x, y) avec y^{2} = f(x) = p_{1}(x) … p_{s}(x) ∈ K[x], où les p_{1}(x), …, p_{s}(x) sont des polynômes unitaires, irréductibles et distincts. Soit m := degf(x). Alors,

– K est le corps des constantes de F.

– F/K a pour genre

g =: \{ \begin{matrix}\frac{m−1}{2}, si m ≡ 1 mod 2 \\ \frac{m−2}{2}, si m ≡ 0 mod 2 \end{matrix}

3.3 Des exemples d’extensions de type Kummer.

Proposition 3.9. (Corps elliptiques.) On se limite au cas :car K ≠ 2. Soit F = K(x, y) où

y^{2} = f(x) ∈ K[x],

avec f(x) polynôme sans facteur carré et de degré 3. Soit

f(x) = c ∏_{i=1}^{r} p_{i}(x), c ≠ 0, c ∈ K

la décomposition de f en polynômes unitaires irréductibles de K[x]. Soit P_{i} la place de K(x) correspondant au polynôme p_{i}(x) et soit P_{∞} la place infinie de K(x). Alors,

1. F/K est un corps de fonctions elliptiques de corps de constantes K.

2. L’extension F/K(x) est cyclique de degré 2.

3. Les places P_{1}, …, P_{r} et P_{∞} sont ramifiées dans F/K(x). Elles ont toutes une seule place de F au-dessus d’elles : Q_{1}, …, Q_{r} et Q_{∞}.

4. ∀j, e(Q_{j} | P_{j}) = e(Q_{∞} | P_{∞}) = 2.

5. ∀j, deg Q_{j} = deg P_{j} et deg Q_{∞} = 1.

6. Les places P_{1}, …, P_{r} et P_{∞} sont les seules places de K(x) qui sont ramifiées dans F/K(x).

7. La différente de F/K(x) est :

Diff(F/K(x)) = Q_{1} + ⋯ + Q_{r} + Q_{∞}.

Proposition 3.10. (Corps hyperelliptiques.) On se limite au cas : car K ≠ 2. Soit F=K(x, y) avec

y^{2} = f(x) ∈ K[x],

où f(x) est un polynôme sans facteur carré et de degré m > 4. Alors,

1. F/K est un corps de fonctions hyperelliptiques.

2. F/K(x) est cyclique de degré 2.

3. Les places de K(x) se ramifiant dans K(x) correspondent à :

– tous les zéros de f(x) si deg f(x) ≡ 0 mod 2.

– tous les zéros de f(x) et le pôle de x si deg f(x) ≡ 1 mod 2.

Proposition 3.11. (Extensions cycliques modérées du corps de fonctions rationnel.) Soit un corps de fonctions F = K(x, y) où

y^{n} = a · ∏_{i=1}^{s} p_{i}(x)^{n_{i}} a ≠ 0, a ∈ K, n_{i} ≠ 0, n_{i} ∈ ℤ, s > 0

avec les p_{i}(x) polynômes de K[x] unitaires, irréductibles et disctincts deux à deux. On suppose en outre que carK ne divise pas n et que

pgcd(n, n_{i}) = 1, ∀i.

Soit P_{i} la place de K(x) correspondant au polynôme p_{i}(x) et soit P_{∞} la place infinie de K(x). Alors,

1. K est le corps des constantes de F.

2. [F : K[x)] = n.

3. Si K contient une racine n-ième de l’unité, F/K(x) est cyclique.

4. Les places P_{1}, ⋯, P_{s} sont totalement ramifiées dans F/K(x).

5. Toutes les places Q_{∞} de F au-dessus de P_{∞} ont pour indice de ramification :

e(Q_{∞} | P_{∞}) = \frac{n}{d},

où

d := pgcd(n, ∑_{i=1}^{s} n_{i} · deg p_{i}(x)).

6. Les places P_{1}, ⋯, P_{s} et P_{∞} sont les seules places de K(x) qui sont ramifiées dans F/K(x).

7. Le genre g de F/K est donné par la formule :

g = \frac{n − 1}{2}(−1 + ∑_{i=1}^{s} deg p_{i}(x)) − \frac{d − 1}{2}

où d est défini comme précédemment.

Exemple 3.12. (Quelques exemples.)

1. Le corps de fonctions F = K(x, y) où

ax^{m} + by^{n} = c a, b, c ∈ K − {0}

avec car K ne divisant pas mn, a pour genre :

g = \frac{1}{2}((n − 1)(m − 1) + 1 − pgcd(m, n)).

2. Le corps de fonctions type ”Fermat” : F = K(x, y) où

ax^{n} + by^{n} = c a, b, c ∈ K − {0}

avec car K ne divisant pas n, a pour genre :

g = \frac{(n − 1)(n − 2)}{2}.

3. Le corps de fonctions appelé hermitien F = 𝔽_{q^{2}}(x, y) où

x^{q+1} + y^{q+1} = 1

pour genre :

g = \frac{(q − 1)q}{2} .

3.4 Un deuxième type d’extension galoisienne : les extensions d’Artin-Schreier.

Définition 3.13. (Extensions d’Artin-Schreier.) Soit F/K un corps de fonctions algébriques de caractéristique p > 0. On suppose qu’il existe u ∈ F tel que u ≠ w^{p} − w, ∀ w ∈ F. On pose : F′ := F (y) où y^{p} − y = u. Une telle extension F’/F est appelée extension d’Artin-Schreier de F.

Lemme 3.14. Soit F/K une extension algébrique de corps de fonctions de car p > 0. Soit u ∈ F et soit P ∈ P_{F}. Alors,

1. soit il existe z ∈ F tel que

v_{P} (u − (z^{p} − z)) ≥ 0.

2. soit, pour certains z ∈ F,

v_{P} (u − (z^{p} − z =) = −m < 0

avec m ≢ 0 mod p.

Dans le dernier cas, l’entier m est uniquement déterminé par u et P :

m = − max{v_{p}(u − (z^{p} − z), z ∈ F }.

Définition 3.15. Pour toute place P de F, on définit l’entier m_{P} comme suit :

m_{p} =: \{ \begin{matrix}m s′il existe z ∈ F, v_{P} (u − (z^{p} − z)) = −m < 0 et m ≢ 0 mod p \\ −1 s′il existe z ∈ F, v_{P} (u − (z^{p} − z)) ≥ 0 \end{matrix}

Proposition 3.16. (Description des extensions d’Artin-Schreier.) Soit F’/F une extension d’Artin-Schreier. Mêmes notations que ci-avant.

1. F’/F est une extension galoisienne cyclique de degré p.

2. Tous les automorphismes de F’/F sont de la forme σ(y) = y+ν, ν ∈ {0, …, p− 1}.

3. P est non ramifiée dans F’/F si et seulement si m_{P} = −1.

4. P est totalement ramifiée dans F’/F si et seulement si m_{P} > 0.

On note alors P’ l’unique place de F’ au-dessus de F.

d(P′ | P) = (p − 1)(m_{P} + 1).

5. S’il existe au moins une place Q de F telle que m_{Q} > 0, K est algébriquement clos dans F’ et, en notant g le genre de F/K et g’ celui de F’/K,

g′ = pg + \frac{p − 1}{2}(−2 + ∑_{P ∈P_{F}}(m_{P} + 1)degP).

Proposition 3.17. (Généralisation.) Soit F/K un corps de fonctions de corps de constante K de caractéristique p > 0. Soit α(T) un polynôme additif séparable de K[T], de degré n et avec toutes ses racines dans K. Soit u ∈ F tel que, pour toute place P de F, il existe z ∈ F tel que

v_{P} (u − α(z)) ≤ 0

ou

v_{P} (u − α(z)) = −m < 0, m ≢ 0 mod p.

Dans le premier cas, on pose m_{P} := −1 et dans le second , m_{P} := m. On considère l’extension F’=F(y) , où u = α(y). On suppose en outre l’existence d’au moins une place Q de F telle que m_{Q} > 0. Alors,

1. F’/F est une extension galoisienne de degré p^{n}.

2. Gal(F′/F) est isomorphe au groupe additif {z ∈ K; α(z) = 0}, donc isomorphe à (ℤ/pℤ)^{n}. On dit que F’/F est une extension abélienne élémentaire d’exposant p et de degré p^{n}.

3. K est algébriquement clos dans F’.

4. Soit P une place de F.

– Si m_{P} = −1, P est non ramifiée dans F’/F.

– Si m_{P} > 0, P est totalement ramifiée dans F’/F et

d(P′ | P) = (p^{n} − 1)(m_{P} + 1).

5. Soient g’ le genre de F’ et g celui de F.

g′ = p^{n}g + \frac{p^{n} − 1}{2}(−2 + ∑_{P ∈P_{F}}(m_{P} + 1)degP).

3.5 Exemple d’extensions de type Artin-Schreier.

Proposition 3.18. (p-Extensions abéliennes élémentaires de K(x), avec car K=p > 0.) Soit un corps de fonctions F=K(x, y) avec

y^{q} + μy = f(x) ∈ K[x]

où q = p^{s} > 1 et μ ∈ K, μ ≠ 0. On suppose que m := deg(f) > 0 est premier à p et que toutes les racines de T^{q} + μT sont dans K. Alors,

1. [F : K(x)] = q.

2. K est le corps des constantes de F.

3. F/K(x) est une extension galoisienne.

4. Soit A := {γ ∈ K, γ^{q} + μγ = 0}.

– A est un sous-groupe d’ordre q du groupe additif de K.

– Pour tout σ ∈ Gal(F/K(x)), il existe un unique γ ∈ A tel que σ(y) = y + γ.

– L’application

\{ \begin{matrix}Gal(F/K(x)) → A \\ σ → γ \end{matrix}

est un isomorphisme de Gal(F/K(x)) dans A.

5. La place infinie P_{∞} de K(x) admet une unique place de F au-dessus d’elle : Q_{∞}.

6. Q_{∞}/P_{∞} est totalement ramifiée (e(Q_{∞} | P_{∞}) = q.)

7. P_{∞} est la seule place de K(x) qui se ramifie dans F/K(x).

8. Le genre de F/K est

g = \frac{(q − 1)(m − 1)}{2}.

9. Soit α ∈ K. On est dans l’un des deux cas suivants.

– cas 1/ L’équation T^{q} + μT = f(α) a q racines distinctes dans K.

– cas 2/ L’équation T^{q} + μT = f(α) n’a aucune racine dans K.

Alors,

– Dans le cas 1, pour tout β tel que β^{q} + μβ = f(α), il existe une unique place de F P_{α,β} | P_{α} avec y(P_{α,β}) = β. P_{α} a donc q extensions distinctes dans F/K(x), toutes de degré 1.

– Dans le cas 2, toutes les places au-dessus de P_{α} dans F sont de degré > 1.

Exemple 3.19. (Corps de fonctions hermitien.) Soit le corps de fonctions H = 𝔽_{q^{2}}(x, y) avec

y^{q} + y = x^{q+1}.

Alors, 1. Le genre de H est

g = \frac{q(q − 1)}{2}.

2. H a q^{3} + 1 places de degré 1 sur 𝔽_{q^{2}} :

– le pôle Q_{∞} de x et y.

– pour tout a ∈ 𝔽_{q^{2}}, il y a q éléments b ∈ 𝔽_{q^{2}} tels que

b^{q} + b = a^{q+1}.

Et pour toute paire (a, b) il y a une unique place P_{(a,b)} de H de degré 1 telle que

x(P_{(a,b)}) = a y(P_{(a,b)}) = b.

Exemple 3.20. (Second exemple.) Soit le corps de fonctions F = 𝔽_{q^{2}}(x, y) avec

y^{q} + y = x^{m} m | q + 1.

Alors, 1. Le genre de F est

g = \frac{(m − 1)(q − 1)}{2}.

2. H a 1 + q · (1 + m(q − 1)) places de degré 1 sur 𝔽_{q^{2}} :

– le pôle Q_{∞} de x.

– il s’agit ensuite de compter les racines dans 𝔽_{q^{2}} de l’équation

T^{q} + T = a^{m} a ∈ F_{q^{2}}.

L’application b → b^{q} + b est une trace de F_{q^{2}} dans F_{q} et est donc surjective. Donc l’équation a des solutions ssi a^{m} ∈ F_{q} et

a^{m} ∈ F_{q} ⇔ a ∈ U − {0}

où U est le sous groupe de 𝔽_{q^{2}} d’ordre (q-1)m.

3.6 Groupe de décomposition, groupe d’inertie et groupes de ramification.

Définition 3.21. (Groupe de décomposition et groupe d’inertie.) Soit F’/K’ une extension galoisienne du corps de fonctions F/K et de groupe G = Gal(F′/F). Soient P′ ∈ P_{F′} et P ∈ P_{F} avec P′ | P.

1. G_{Z}(P′ | P) := {σ ∈ G; σ(P′) = P′} est appelé le groupe de décomposition de P’ sur P. (Z pour ”Zerlegung”)

2. G_{T} (P′ | P) := {σ ∈ G; v_{P′}(σz −z) > 0, ∀z ∈ O_{P′}} est appelé le groupe d’inertie de P′ | P. (T pour ”Tragheit”)

3. Le corps fixé par G_{Z}(P′ | P), Z(P′ | P) ,est appelé corps de décomposition de P′ | P.

4. Le corps fixé par G_{T} (P′ | P), T (P′ | P), est appelé corps d’inertie de P′ | P. N.B. : G_{T} (P′ | P) ⊂ G_{Z}(P′ | P) et ce sont des sous-groupes de G.

Théorème 3.22. (Isomorphisme canonique.) En conservant les notations précédentes,

1. Le groupe de décomposition G_{Z}(P′ | P) est d’ordre e(P′ | P) · f(P′ | P).

2. Le groupe d’inertie G_{T} (P′ | P) est un sous groupe normal de G_{Z}(P′ | P) d’ordre e(P′ | P).

3. F′_{P′}/F_{P} est une extension de Galois. Plus particulièrement, tout automorphisme σ ∈ G_{Z}(P′ | P) induit un automorphisme σ′ de F′_{P′} sur F_{P} défini comme suit :

∀ z ∈ O_{P′}, σ′(z(P′)) := σ(z)(P′).

4. L’application

\{ \begin{matrix}G_{Z}(P′ | P) → Gal(F′_{P′}/F_{P}) \\ σ → σ′ \end{matrix}

est un homomorphisme surjectif de noyau : le groupe d’inertie : G_{T} (P′ | P). En particulier,

Gal(F′_{P′}/F_{P}) ≃ \frac{G_{Z}(P′ | P)}{G_{T} (P′ | P)}.

Définition 3.23. (Groupes de ramification inférieure.) Soit F’/K’ une extension galoisienne du corps de fonctions F/K et de groupe G = Gal(F′/F). Soient P′ ∈ P_{F′} et P ∈ P_{F} avec P′ | P. Pour tout i ≤ −1, on appelle i-ème groupe de ramification de P′ | P le sous-groupe de G suivant :

G_{i} := G_{i}(P′ | P) := {σ ∈ G, v_{P′}(σz − z) ≥ i + 1, ∀z ∈ O_{P′}}.

Proposition 3.24. (Lien avec les groupes de décomposition et d’inertie.) Mêmes hypothèses et notations.

1. G_{−1} = G_{Z}(P′ | P).

2. G_{0} = G_{T} (P′ | P).

Proposition 3.25. (Description de la suite des G_{i}.) Mêmes hypothèses et notations.

1. La suite G_{i} est décroissante pour l’inclusion et stationnaire à partir d’un certain rang.

2. Soient σ ∈ G_{0}, i ≥ 0 et t une uniformisante de P′. Alors,

σ ∈ G_{i} ⇔ v_{P′}(σt − t) ≥ i + 1.

3. Si car F=0, – ∀ i ≥ 1, G_{i} = {id}.

– G_{0} = G_{T} (P′ | P) est cyclique.

4. Si car F =p > 0, – G_{1} est un sous-groupe normal de G_{0}.

– G_{1} est d’ordre une puissance de p.

– G_{0}/G_{1} est cyclique d’ordre premier à p.

– Pour tout i ≥ 1, G_{i+1} est un sous-groupe normal de G_{i}.

– Pour tout i ≥ 1,G_{i}/G_{i+1} est un p-groupe abélien élémentaire d’exposant p.

Définition 3.26. (Groupes de ramification supérieure.) Mêmes hypothèses et notations que précédemment.

1. On définit la fonction de Herbrandt :

ν : \{ \begin{matrix}[−1, ∞) ⟶ [−1, ∞) \\ i ⟼ ∫_{0}^{i} \frac{|G_{x}(P′|P)|}{|G_{0}(P′|P)|}dx \end{matrix}

La fonction est continue, linéaire par morceaux, croissante et concave..

2. On définit les groupes de ramification supérieure en renumérotant de la manière

suivante :

G^{ν(i)}(P′ | P) = G_{i}(P′ | P)

Théorème 3.27. (Hasse-Arf.) Si G est abélien, si ν est un saut dans la filtration supérieure G^{i}, alors ν est un entier.

Remarque 3.28.

∀ σ ∈ G(F′/F), ∀ i ≥ 1, G_{i}(σP′ | P) = σG_{i}(P′ | P)σ^{−1}

Ainsi, les ordres des groupes de ramification inférieurs et supérieurs ne dépendent pas du choix de P′ | P.

3.7 Formule de la différente de Hilbert.

Cadre :

– Soit F’/K’ une extension galoisienne finie du corps de fonctions F/K et de groupe G = Gal(F′/F).

– Les groupes de ramification ne dépendant pas de P’, on écrira : G^{i}(F′, P) au lieu de G^{i}(P′ | P).

Définition 3.29. (Corps de ramification). Le sous-corps de F’ fixé par G^{i}(F′, P) est appelé le i-ième corps de ramification supérieure de P dans F’. Il est noté L^{i}(P) .

Remarque 3.30. (Liens avec les corps de décomposition et d’inertie.) L^{−1}(P) est le corps de décomposition et L^{0}(P) est le corps d’inertie de P dans F’.

Proposition 3.31. (Formule de la différente de Hilbert.) Mêmes notations et hypothèses que ci-avant.

1. En ramification inférieure :

d(P′ | P) = ∑_{n=0}^{∞}(| G_{n}(F′, P) | −1).

2. En ramification supérieure (en supposant F′/F abélien) :

d(P′ | P) = ∑_{n=0}^{∞}(| G^{0}(F′, P) | −[G^{0}(F′, P) : G^{n}(F′, P)]) = ∑_{n=0}^{∞}([F′ : L^{0}(P)]−[L^{n}(P) : L^{0}(P)]).

3.8 Le conducteur d’un corps de fonctions.

Cadre :

– Soit F’/K’ une extension galoisienne finie du corps de fonctions F/K et de groupe G = Gal(F′/F).

– Les groupes de ramification ne dépendant pas de P’, on écrira : G^{i}(F′, P) au lieu de G^{i}(P′ | P).

Définition 3.32. (Le conducteur.) Soit P ∈ P_{F} .

1. On définit l’exposant conducteur : f(F′, P) comme étant le plus petit entier m ≥ 0 tel que G^{m}(F′, P) soit trivial.

2. On définit le conducteur de F’/F :

f(F′/F) := ∑_{P ∈P_{F}} f(F′, P)P.

C’est un diviseur effectif de F.

Remarque 3.33. (Sur les places apparaissant dans le support du conducteur.) Comme G^{0}(P′ | P) est le groupe d’inertie de P′ | P, les places de F qui apparaissent dans f(F’/F) sont exactement celles qui se ramifient dans F’.

3.9 L’ensemble de décomposition.

Cadre : Soit F’/K’ une extension galoisienne du corps de fonctions F/K et de groupe G = Gal(F′/F).

Définition 3.34. (L’ensemble de décomposition.) On définit l’ensemble de décomposition de F’/F : S(F′/F) ⊂ P_{F} comme étant le sous-ensemble des places de F qui se décomposent totalement dans F’.

Remarque 3.35. (Reformulation.)

S(F′/F) = {P ∈ P_{F} , G^{−1}(P′ | P) = 1, ∀ P′ ∈ P_{F′}, P′ | P }.

Proposition 3.36. (Inclusions des extensions : conséquences sur le conducteur et l’ensemble de décomposition.) Soient F” et F’ deux extensions galoisiennes finies du corps de fonctions F/K.

1. Si F′ ⊂ F ”, alors S(F ”/F) ⊂ S(F′/F) et f(F′/F) ≤ f(F ”/F).

2. F′ ⊂ F ” ⇔ S(F ”/F) ⊂ S(F′/F).

3. Si L = F′F ”, alors S(L/F) = S(F ”/F)∩S(F′/F) et f(L/F) = max{f(F ”/F), f(F′/F)}, où le maximum est pris coefficient par coefficient.

3.10 Un exemple : étude des extensions d’Artin-Schreier.

Cadre : Soit F/𝔽_{q} un corps de fonctions de corps de constantes : 𝔽_{q}. Soit F̄ une clotûre algébrique de F.

Exemple 3.37. (Extensions d’Artin Schreier). Soit

℘ : \{ \begin{matrix}F̄ ⟶ F̄ \\ z ⟼ z^{p} − z \end{matrix}

On définit la valuation réduite d’Artin-Schreier pour une fonction u ∈ F en une place P ∈ P_{F} comme suit :

v_{P}^{∗} (u) := max{v_{P} (u − ℘t), t ∈ F } ∈ ℤ ∪ {∞}.

Soit U ⊂ F, U fini, et soit F’ :=K(℘^{−}U) ⊂ F̄.

1. Pour tout u ∈ F avec v_{P} (u) < 0, on a l’équivalence :

v_{P} (u) = v_{P}^{∗} (u) ⇔ v_{P} (u) ≠ 0 mod p.

2. L’extension F’/F a pour conducteur :

f(F′/F) = ∑_{m_{P} >0}(m_{P} + 1)p

où

m_{p} := − min_{u∈U,P ∈P_{F}} v_{P}^{∗} (u).

3. L’ensemble de décomposition de F’/F est :

S(F′/F) = {P ∈ P_{F} , v_{P}^{∗} (u) > 0, ∀ u ∈ U}.

4. Le degré de F’/F est

[F′ : F] = (V + ℘F; ℘F)

où

V := ∑_{u∈U} 𝔽_{p}u

est le 𝔽_{p}-sous-espace de F engendré par U.