Suite de l’exposé pour le groupe de travail. 31 octobre 2006

Corps de classes de rayons et corps de fonctions avec beaucoup de places rationnelles.

D’après la thèse de Roland Auer.

Table des matières

1 Introduction : problématique et programme d’étude. 2

1.1 Recherche de courbes algébriques (corps de fonctions) avec beaucoup

de points (places) rationnel(le)s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bornes inférieures et supérieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Equivalence entre les domaines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Le corps de classes de rayon K_{S}^{m}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fonction zéta d’un corps de fonctions sur 𝔽_{q}. 3 2.1 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Calcul des N_{n}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Fonction zéta d’un corps de fonctions L/𝔽_{q}. . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Lien avec la fonction zéta classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Bornes supérieures pour N_{n}. 7 3.1 La borne de Hasse-Weil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 La borne de Serre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Quelques exemples de corps maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4 Etude du problème à genre donné et bornes asymptotiques. . . . . . . 8

4 Rappels sur les corps de classes de rayon et construction de K_{S}^{m}. 9 4.1 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 Idèles et groupes des classes d’idèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3 Application d’Artin et groupe des normes. . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.4 S-cycles, sous-groupes de S-congruence et groupe de S-classe. . . . . . 12 4.5 Corps de classes de S-rayon : K_{S}^{m}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.6 Une autre approche de K_{S}^{m}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.7 La S-description et la formule de récurrence sur les degrés. . . . . . . 13

5 Corps de fonctions rationnelles. 13 5.1 Le cadre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Premier cas : q = p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.3 Deuxième cas : q = p^{e}, e ∈ ℕ et S :=P_{K}^{1} − p.

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1 Introduction : problématique et programme d’étude.

1.1 Recherche de courbes algébriques (corps de fonctions) avec beaucoup de points (places) rationnel(le)s.

Rechercher des courbes algébriques sur les corps finis avec un grand nombre de points rationnels revient à chercher des corps de fonctions avec beaucoup de places rationnelles. Ce domaine d’étude a connu un nouvel essor avec les constructions des codes correcteurs d’erreurs et les travaux de Serre au début des années 80. Serre a été le premier à utiliser la théorie du corps de classes pour trouver de telles courbes. Il a également déterminé des formules explicites donnant le nombre maximal de points rationnels pour les courbes définies sur 𝔽_{q} de genre 1 et 2.

1.2 Bornes inférieures et supérieures.

A ce jour, on ne connaît pas de formules explicites donnant le nombre maximal de points rationnels pour les courbes de genre g ≥ 3. On dipose seulement de bornes inférieures et supérieures.

– Les bornes inférieures sont obtenues par des constructions plus ou moins explicites de courbes avec un grand nombre de points rationnels. Hansen et Stichtenoth, van der Ger et van der Vlugt, Niederreiter et Xing ont donné de telles équations pour ces courbes, la plupart d’entre elles étant de type ”Kummer” ou ”Artin-Schreier”.

– Les bornes supérieures proviennent quant à elles de l’étude de la fonction zéta du corps de fonctions.

1.3 Equivalence entre les domaines.

Le point de vue adopté ici pour étudier ce problème est celui de la théorie du corps de classes. En effet, en nous plaçant de ce point de vue là, nous remplaçons la courbe algébrique X définie sur un corps fini 𝔽_{q} et dôtée des ”bonnes propriétés” (lisse, projective, absolument irréductible...) par son corps de fonctions algébriques :K = 𝔽_{q}(X), K étant alors un corps de fonctions de corps des constantes 𝔽_{q}.

Les équivalences entre les deux domaines se traduisent ainsi :

– Le genre de K est celui de X.

– Les recouvrements de X correspondent aux extensions de corps de K, le degré du recouvrement étant celui de l’extension.

– A un point P de X, on associe l’ensemble p de K constitué de toutes les fonctions de K s’annulant en P et on dit alors que p est une place de K. Une place p est alors l’idéal maximal de l’anneau de valuation discrète R constitué des fonctions régulières en P.

– On peut aussi voir p comme l’orbite de P sous l’action du Frobenius (élévation à la puissance q), orbite qui compte elle aussi d points.

– d est également le degré de la place p, i.e. [R/p : 𝔽_{q}].

– En particulier, les places rationnelles de K/𝔽_{q}, c’est-à-dire les places de degré 1, sont en bijection avec les points 𝔽_{q}-rationnels de X.

1.4 Le corps de classes de rayon K_{S}^{m}.

L’objet central de notre étude est le corps des classes de rayons K_{S}^{m} où S est un ensemble non vide de places de K et m un S-cycle, c’est à dire un diviseur effectif de K à support disjoint de S. La manière de construire K_{S}^{m} exposée ici relève de la théorie du corps de classes : on définit un certain sous-groupe C_{S}^{m} d’indice fini dans le groupe des classes des idèles C_{K} de K et on obtient K_{S}^{m} comme le corps de classes associé à ce sous-groupe. Le groupe de Galois G(K_{S}^{m}/K) est alors isomorphe à C_{K}/C_{K}^{m}.

Mais on peut aussi voir l’extension K_{S}^{m}/K comme la plus grande extension abélienne de conducteur ≤ m et telle que toutes les places de S se décomposent totalement dans L. Pour m = 0, on retrouve en particulier le corps des classes de Hilbert. Lorsque S est non vide, l’extension K_{S}^{m}/K est finie. Les différents K_{S}^{m}, pour m et S variables, donnent des extensions abéliennes finies de K avec des propriétés riches et remarquables. C’est parmi eux que nous allons chercher les corps de fonctions avec un grand nombre de places rationnelles.

Il faut signaler qu’il n’est encore possible de définir des équations pour les extensions K_{S}^{m}/K que dans peu de cas. La méthode la plus probante consiste à déterminer les équations successives de petites extensions type ”Kummer” ou ”Artin-Schreier” et de procéder par étapes juqu’à K_{S}^{m}/K.

Le but ici proposé est de :

1. donner les genre de K_{S}^{m}.

2. donner le degré de [K_{S}^{m} : K].

3. donner le nombre de places rationnelles de K_{S}^{m} ou d’extensions intermédiaires dans la tour.

4. donner des équations pour certaines extensions K_{S}^{m}.

2 Fonction zéta d’un corps de fonctions sur 𝔽_{q}.

Dans toute cette partie, K = 𝔽_{q} et L/K est un corps de fonctions de genre g avec K̃ = K.

2.1 Notations.

On note :

– Div_{L}^{n,+} := {D ∈ D_{L}, deg D = n, D ≥ 0}.

– L_{n}/𝔽_{q^{n}} le corps de fonctions obtenu par extension des constantes.

– N_{n} :=| P_{L_{n}}^{1} | est le nombre de places rationnelles de L_{n}.

En particulier, N_{1} est le nombre de places rationnelles de L/𝔽_{q}.

– B_{n} :=| P_{L}^{n} | est le nombre de places de degré n de L.

En particulier,

N_{n} = ∑_{d|n} dB_{d}.

– A_{n} :=| Div_{L}^{n,+} | .

En particulier, A_{1} =| P_{L}^{1} | .

Lemme 2.1. (Finitude de A_{n}.) Pour tout entier n, A_{n} est fini.

2.2 Calcul des N_{n}.

On écrit que L = 𝔽_{q}(x, y) où f(x, y) = 0 avec f ∈ 𝔽_{q}[X, Y]. L = 𝔽_{q}(x)(y) est une extension séparable de degré m du corps rationnel 𝔽_{q}(x)/𝔽_{q}. De même, pour tout entier n ≥ 1, L_{n} = 𝔽_{q^{n}}(x)(y) est une extenions séparable de degré m du corps rationnel 𝔽_{q^{n}}(x)/𝔽_{q^{n}}. Les places de degré 1 de L_{n}/𝔽_{q^{n}}, s’il y en a, sont au-dessus des q^{n} + 1 places de degré 1 de 𝔽_{q^{n}}(x)/𝔽_{q^{n}}. On doit donc compter le nombre de places de degré 1 au-dessus de (x − a) pour tout a ∈ 𝔽_{q^{n}}. Dans chaque cas, il y a au plus m solutions distinctes.

Soit C le modèle projectif plan de L/𝔽_{q} d’équation :

F (X, Y, Z) = 0, avec f(X, Y) = F (X, Y, 1)

Si C n’a pas de points singuliers dans P^{2}(F̄_{q}), on peut identifier les places de degré 1 de L_{n}/𝔽_{q} avec les points de C qui sont rationnels sur 𝔽_{q^{n}}.

– Pour tout a ∈ 𝔽_{q^{n}}, le nombre de places de degré 1 au-dessus de (x − a) sera égal au nombre de solutions y de l’équation f(a, y) = 0 dans 𝔽_{q^{n}}.

– Le nombre de places de degré 1 au dessus de ∞ sera égal au nombre de solutions y de l’équation F (1, y, 0) = 0 dans 𝔽_{q^{n}} plus une si F (0, 1, 0) = 0.

Proposition 2.2. En résumé,

N_{n} = n_{f} + n_{i} + e

avec :

1. n_{f} le nombre de solutions de :

f(x, y) = 0,  x^{q^{n}} = x  y^{q^{n}} = y

2. n_{i} le nombre de solutions de :

F (1, y, 0) = 0 y^{q^{n}−1} = 1

3. e = 1 si F (0, 1, 0) = 0 et e = 0 sinon.

2.3 Fonction zéta d’un corps de fonctions L/𝔽_{q}.

Définition 2.3. (Première forme.) La fonction zéta de L/𝔽_{q} est définie comme suit :

Z(t) := exp(∑_{n≥1} \frac{N_{n}}{n} t^{n}), t ∈ ℂ, | t |< \frac{1}{q}.

Théorème 2.4. (Cas particulier du corps rationnel.) Si L est le corps rationnel,

Z(t) = \frac{1}{(1 − t)(1 − qt)}.

On peut aussi écrire Z(t) sous forme d’un produit eulérien absolument convergeant pour | t |< \frac{1}{q}.

Définition 2.5. (Deuxième forme.) La fonction zéta de L/𝔽_{q} s’écrit sous forme de produit eulérien :

Z(t) = ∏_{P ∈P_{L}} \frac{1}{1 − t^{deg P}} , t ∈ ℂ.

Définition 2.6. (Troisième forme.) La fonction zéta de L/𝔽_{q} s’écrit sous forme de série entière :

Z(t) = ∑_{n≥0} A_{n}t^{n} t ∈ ℂ.

Théorème 2.7. (Equation fonctionnelle et rationnalité.) Soit L/𝔽_{q} un corps de fonctions de genre g.

1. La fonction zéta de L/𝔽_{q} converge pour tout t < 1/q.

2. La fonction zéta de L/𝔽_{q} vérifie l’équation fonctionnelle :

Z(t) = q^{g−1}t^{2g−2}Z(\frac{1}{qt}).

3. La fonction zéta de L/𝔽_{q} est une fonction rationnelle en t :

Z(t) = \frac{P_{L}(t)}{(1 − t)(1 − qt)},

où P_{L}(t) est un polynôme de ℤ[t] de degré 2g.

4. Le polynôme P_{L}(t) s’appelle le polynôme zéta de L/𝔽_{q} et on peut l’écrire :

P_{L}(t) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − a_{i}t).

5. Pour tout 1 ≤ i ≤ 2g,

| a_{i} |= \sqrt{q}.

C’est l’hypothèse de Riemann pour les corps de fonctions démontrée par Weil en 1948.

Théorème 2.8. ( Sur le polynôme zéta.) Soit L/𝔽_{q} un corps de fonctions de genre g. On note P_{L} le polynôme zéta de L/𝔽_{q}.

1. Le nombre de classes de diviseurs (de degré 0) de L/𝔽_{q} est égal à h_{L} = P_{L}(1).

2. Le polynôme zéta vérifie l’équation fonctionnelle :

P_{L}(t) = q^{g}t^{2g}P (\frac{1}{qt}).

3. Soit n ≥ 1, soit L_{n}/𝔽_{q^{n}} l’extension de degré n obtenue par extension des constantes. Si

P_{L}(t) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − a_{i}t)

alors

P_{L_{n}}(t) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − a_{i}^{n}t).

Exemple 2.9. (Fonction zéta pour les corps elliptiques.) Soit L/𝔽_{q} un corps de fonctions elliptiques. Alors

Z(t) = \frac{1 + α_{1}t + qt^{2}}{(1 − t)(1 − qt)}

On a de plus

α_{1} = N_{1} − q − 1

et

h = P_{L}(1) = N_{1}.

Exemple 2.10. (Fonction zéta pour la quartique de Klein.) Soit L/𝔽_{2} le corps de fonctions de la quartique de Klein. On a L = 𝔽_{2}(x, y) avec

x^{3}y + y^{3} + x = 0.

Alors, g = 3, N_{1} = 3, N_{2} = 5, N_{3} = 24 et

Z(t) = \frac{1 + 5t^{2} + 8t^{6}}{(1 − t)(1 − 2t)}.

De plus, h_{L} = P_{L}(1) = 14.

2.4 Lien avec la fonction zéta classique.

Définition 2.11. (La fonction zéta classique.)

1. En théorie des nombres, on définit la fonction zéta comme suit :

ζ(s) = ∑_{n≥1} \frac{1}{n^{s}} , Re(s) > 1.

2. La fonction zéta classique admet aussi une écriture sous forme de produit eulérien :

ζ(s) = ∏_{p premier} \frac{1}{1 − p^{s}} .

3. L’hypothèse de Riemann classique conjecture que les zéros non triviaux de la fonction sont sur la droite Re(s) = 1/2.

Soit L/𝔽_{q} est un corps de fonctions. Pour D ∈ D_{L}, on définit la norme de D en posant

N(D) := q^{deg D}.

Par analogie avec la fonction zéta de Riemann classique, on pose, pour s ∈ ℂ :

ζ(s) := ∏_{P ∈P_{L}} \frac{1}{1 − N(P)^{s}} .

En posant t := q^{s}, on a donc :

ζ(s) = ∏_{P ∈P_{L}} \frac{1}{1 − t^{deg P}} = Z(t).

Ainsi, dire que les zéros de ζ(s) sont sur Re(s) = 1/2 revient à dire que les racines inverses de P (t) sont telles que | a_{i} |= \sqrt{q}.

3 Bornes supérieures pour N_{n}.

Dans toute cette partie, K = 𝔽_{q} et L/K est un corps de fonctions de genre g avec K̃ = K. On garde les notations du chapitre précédent.

L’hypothèse de Riemann sur les corps de fonctions donne plusieurs bornes supérieures pour N_{n}.

3.1 La borne de Hasse-Weil.

Corollaire 3.1. (Un calcul de N_{n}.) Pour tout n ≥ 1, on a

N_{n} = q^{n} + 1 − ∑_{i=1}^{2g} a_{i}^{n}.

Corollaire 3.2. (Borne de Hasse-Weil.) Pour tout n ≥ 1, on a

| N_{n} − q^{n} + 1) |≤ 2gq^{\frac{n}{2}} .

En particulier,

N_{1} ≤ q + 1 + 2g · \sqrt{q}.

Définition 3.3. Dans le cas d’égalité avec la borne de Hasse-Weil, on dit que L est maximal.

Remarque 3.4. L ne peut être maximal que si g = 0 ou si q est un carré.

Plus précisément :

Théorème 3.5. (Fuhrmann et Torres.) Si L/𝔽_{q} est maximal, alors

– soit g = \frac{(q−\sqrt{q})}{2}.

– soit g ≤ \frac{(\sqrt{q}−1)^{2}}{4} .

3.2 La borne de Serre.

Lorsque q n’est pas un carré, Serre a amélioré la borne de Hasse-Weil :

Théorème 3.6. (Serre.) Pour tout corps de fonctions L/𝔽_{q}, on a

– a) N_{1} ≤ q + 1 + g⌊2\sqrt{q}⌋, où ⌊a⌋ désigne la partie entière de a.

– b) En cas d’égalité dans l’inégalité précédente, on a g = 1 ou g = 2.

Corollaire 3.7. Si q est un carré ≥ 16 et si g ≠ \frac{(q−\sqrt{q})}{2}, g > \frac{(\sqrt{q}−1)^{2}}{4} , alors :

N_{1} ≤ q − 1 + 2g\sqrt{q}.

Définition 3.8. (Corps maximal, corps minimal.) Soit L/K un corps de fonctions de genre g avec K :=𝔽_{q^{2}}.

1. Si N_{1} = q^{2} + 1 + 2gq, on dit que le corps de fonctions est maximal sur 𝔽_{q^{2}}.

2. Si N_{1} = q^{2} + 1 − 2gq, on dit que le corps de fonctions est minimal sur 𝔽_{q^{2}}.

3.3 Quelques exemples de corps maximaux.

Exemple 3.9. (Le corps hermitien.) Si L = 𝔽_{q^{2}}(x, y) avec

y^{q} + y = x^{q+1},

on a

g = \frac{q(q − 1)}{2}

et

N_{1} = q^{2} + 1 + 2gq.

Le corps hermitien est donc maximal sur 𝔽_{q^{2}}.

Exemple 3.10. (Corps hyperelliptique maximal.) Si L := 𝔽_{16}(x, y) avec

y^{2} + y = x^{5}

on a g = 2 et N_{1} = 33. Donc L est un corps hyperelliptique maximal sur 𝔽_{16}.

Exemple 3.11. (Quartique de Klein.) Soit L/𝔽_{2} le corps de fonctions ayant pour modèle plan projectif la courbe C d’équation affine :

x^{3}y + y^{3} + x = 0.

On vérifie que C est lisse, de genre 3 et de corps de constantes 𝔽_{2}. De plus, N_{1} = 3 et la Quartique de Klein atteint la borne supérieure de Serre sur 𝔽_{8}.

3.4 Etude du problème à genre donné et bornes asymptotiques.

Définition 3.12. (La borne asymptotique.) Soit L/𝔽_{q} un corps de fonctions de genre g et de corps de contantes 𝔽_{q}. On note N_{1}(L) le nombre de places de degré 1 et on considère les nombres :

N_{q}(g) := max{N_{1}(L), g_{L} = g}

et

A(q) := lim_{g→∞} \frac{N_{q}(q)}{g}.

Définition 3.13. Le nombre maximal de places rationnelles pour un corps de fonctions de genre g donné avec pour corps de constantes 𝔽_{q} est noté N_{q}(g). On dit que L/𝔽_{q} est optimal si N_{1} = N_{q}(g).

Remarque 3.14. (Etat actuel des connaissances.)

– N_{q}(0) = q + 1 .

– On a aussi pu déterminer N_{q}(1) et N_{q}(2) (travaux de Serre).

– Pour des valeurs de g supérieures, on ne connaît pas encore de valeurs précises de N_{q}(g). (Formules de Weil et bornes d’Oesterlé...)

Proposition 3.15. (Propriétés de A(q).)

1. La borne de Weil donne : A(q) ≤ 2\sqrt{q}.

2. La borne de Serre donne

A(q) ≤ ⌊2\sqrt{q}⌋.

3. Borne de Drinfeld-Vladut :

A(q) ≤ \sqrt{q} − 1.

4. Résultat de Ihara :

siq = p^{2e}, A(q) = \sqrt{q} − 1.

4 Rappels sur les corps de classes de rayon et construction de K_{S}^{m}.

Soit K/𝔽_{q} un corps de fonctions. On fixe une clôture algébrique K’ dans laquelle vont se trouver toutes les extensions algébriques de K L’objet central de notre étude est le corps de classes de rayon : K_{S}^{m} où S est un ensemble non vide de places et m un diviseur effectif de K avec un support disjoint de S. L’existence de ce corps de classes de rayon est basée sur la théorie du corps de classes : on définit un certain sous-groupe C_{S}^{m} d’indice fini dans le groupe de classes des idèles C_{K} de K et on obtient K_{S}^{m} comme le corps des classes associé à ce sous-groupe. Le groupe de Galois G(K_{S}^{m}/K) est alors isomorphe à C_{K}/C_{K}^{m}.

Plus ”concrètement”, on peut aussi voir l’extension K_{S}^{m}/K comme la plus grande extension abélienne de K de conducteur ≤ m et telles que toutes les places de S soient totalement décomposées.

4.1 Notations.

– K est un corps de fonctions sur 𝔽_{q} où q est une puissance de la caractéristique p.

– On suppose que 𝔽_{q} est le corps des constantes de K.

– On note P_{K} l’ensemble des places de K.

– On note R_{p} l’anneau de valuation discrète d’idéal maximal la place p.

– On note F_{p} le corps résiduel : R_{p}/p.

– On note deg p le degré de la place p, i.e. la dimension de F_{p} comme 𝔽_{q}-espace vectoriel.

– On note P_{K}^{d} le nombre de places de K de degré d. Les places de degré 1 sont appelées places rationnelles.

– On note D_{K} le groupe des diviseurs.

– Si S est un ensemble de places de P_{K}, on note deg S le pgcd des degrés des places de S.

Soit L/𝔽_{q^{d}} une extension finie et séparable de K/𝔽_{q}.

– On écrit q | p pour dire que la place q de L est au-dessus de la place p de K.

– On note e(q | p) l’indice de ramification de q | p.

– On note d(q | p) la différente de q | p.

– On note δ(L/K) le discriminant de L/K, i.e. la norme de la différente d de L/K.

4.2 Idèles et groupes des classes d’idèles.

Définition 4.1. (Groupe des unités.) Soit p ∈ P_{K} et π ∈ K_{p} une uniformisante en p.

1.

U_{p}^{(0)} = U_{p} := R∗ ; p̄ = {a_{0} + a_{1}π + a_{2}π^{2} + ⋯ / a_{0} ∈ 𝔽_{p}^{∗}, a_{1}, a_{2}, ⋯ ∈ F_{p}}

est appelé le groupe des unités. 2.

U_{p}^{(n)} := 1 + p̄^{n} = {1 + a_{n}π^{n} + a_{n+1}π^{n+1} + ⋯ / a_{n}, a_{n+1}, ⋯ ∈ F_{p}}

est appelé le groupe des n-unités.

Remarque 4.2. Pour toute place p de K, le groupe multiplicatif K_{p}^{∗} est un groupe topologique dans lequel les sous-groupes U_{p}^{(n)} , n ∈ ℕ forment une base de voisinage ouvert de 1.

Définition 4.3. (Idèles, groupes des classes d’idèles.) Le groupe des idèles est défini comme suit :

I_{K} := {(a_{p})_{p∈P_{K}} ∈ ∏_{p∈P_{K}} K_{p}^{∗}, a_{p} ∈ U_{p} pour presque tout p ∈ P_{K}}.

La topologie sur I_{K} est la topologie induite par la projection canonique : I_{K} → K_{p}^{∗} Le plongement diagonal de K^{∗} dans I_{K} est considéré comme une inclusion et le groupe facteur

C_{K} := \frac{I_{K}}{K^{∗}}

est appelé le groupe des classes d’idèles de K .

Remarque 4.4. (Inclusions des idèles et des groupes de classe d’idèles.) Soit L une extension finie et séparable de K. L’inclusion K^{∗} ⊂ L^{∗} s’étend aux idèles en identifiant a = (a_{p})_{p∈P_{K}} ∈ I_{K} avec a = (a_{q})_{q∈P_{L}} ∈ I_{L}. Comme L^{∗} ∩ I_{K} = K^{∗}, cela induit une inclusion C_{K} ⊂ C_{L}. Les deux inclusions respectent les topologies respectives.

Remarque 4.5. (Normes.) La norme N_{L/K} de L^{∗} dans K^{∗} est étendue aux idèles par l’homomorphisme continu :

N_{L/K} : \{ \begin{matrix}I_{L} ⟶ I_{K} \\ (β_{q})_{q∈P_{L}} ⟼ (∏_{q|p} N_{L_{q}/K_{p}}β_{q})_{p∈P_{K}} \end{matrix}

Comme N_{L/K}L^{∗} ⊂ K^{∗}, cela induit une application norme N_{L/K} : C_{L} ⟶ C_{K} qui est elle aussi continue.

La norme est transitive : si L’ est un corps intermédiaire de L/K, N_{L/K} = N_{L′/K} ∘ N_{L/L′}.

4.3 Application d’Artin et groupe des normes.

Théorème 4.6. (Application d’Artin.) Soit L/K une extension abélienne et finie.

1. Soit S ⊂ P_{K} un ensemble fini de places de K incluant celles qui se ramifient dans L. Alors, il existe un unique homorphisme continu :

(, L/K) ⟶ G(L/K)

tel que

(K^{∗}, L/K) = 1

et, pour tout a = (a_{p})_{p∈P_{K}} ∈ I_{K} tel que ∀ p ∈ S, a_{P} = 1,

(a, L/K) = ∏_{p∈P_{K}−S} ϕ_{L,p}^{v_{p}(a_{p})}.

2. L’application (, L/K) est surjective et son noyau est K^{∗}N_{L/K}I_{L}.

3. Si L’ est un corps intermédiaire de L/K, alors

∀ a ∈ I_{K}, (a, L′/K) = (a, L/K) |_{L′} .

L’homomorphisme (, L/K) est appelé l’application d’Artin.

Définition 4.7. (Groupe des normes.) Comme K^{∗} est contenu dans le noyau, on peut aussi voir l’application d’Artin comme étant définie sur C_{K}. On note le noyau :

N_{L} := N_{L/K}C_{L} = K^{∗}N_{L/K}I_{L}/K^{∗}.

N_{L} est appelé le groupe des normes de L et réciproquement, L est appelé le corps des classes associé à ce groupe de normes.

Proposition 4.8. L’application d’Artin induit un isomorphisme :

\frac{C_{K}}{N_{L}} ≃ G(L/K).

Proposition 4.9. Soient L et L’ deux extensions abéliennes finies de K. Alors, 1. L ⊂ L′ ⇔ N_{L′} ⊂ N_{L}.

2. N_{LL′} = N_{L} ∩ N_{L′}.

3. N_{L∩L′} = N_{L}N_{L′}.

Théorème 4.10. (Théorème d’existence.) L’application : L → N_{L} induit une bijection entre les extensions abéliennes finies de K dans K’ et les sous-groupes ouverts d’indice fini de C_{K}.

4.4 S-cycles, sous-groupes de S-congruence et groupe de Sclasse.

Définition 4.11. (S-cycle.) Soit S un ensemble de places de K On appelle S-cycle un diviseur effectif de K dont le support est disjoint de S. Pour tout S-cycle

m = ∑_{p} m_{p}p

on définit les sous-groupes de S congruence mod m de I_{K} et C_{K} :

I_{S}^{m} = (∏_{p∈S} K_{p}^{∗} × ∏_{p∈P_{K}−S} U_{p}^{(mp)}) ∩ I_{K}

et

C_{S}^{m} := K^{∗}I_{S}^{m}/K^{∗}.

On suppose désormais S non vide.

Définition 4.12. (Groupe des S-classes.) On définit le groupe des S-classes mod m : Cl^{m}(O_{S}) comme le quotient du groupe des idéaux fractionnaires de O_{S} premiers avec m par le sous-groupe des idéaux principaux de la forme zO_{S} où z ∈ K^{∗} ∩ I^{m}.

Remarque 4.13. Cl^{0}(O_{S}) est le groupe des classes usuel : Cl(O_{S}).

Proposition 4.14. Soient S ∈ P_{K} et m un S-cycle.

1. Cl^{m}(O_{S}) est naturellement isomorphe à C_{K}/C_{S}^{m}.

2. (C_{K} : C_{S}^{m}) est fini.

4.5 Corps de classes de S-rayon : K_{S}^{m}.

Définition 4.15. (Corps de classe de S-rayon.) On définit K_{S}^{m} comme le corps de classes associé au sous groupe de congruence : C_{S}^{m} et on l’appelle le corps des classes de S-rayons mod m.

Proposition 4.16. On a l’isomorphisme suivant :

G(K_{S}^{m}/K) ≃ I_{K}/K^{∗}I_{S}^{m} ≃ C_{K}/C_{S}^{m} ≃ Cl^{m}(O_{S}).

Corollaire 4.17. Soit S et T deux sous ensembles non vides de P_{K} et soient m un S-cycle, n un T-cycle.

1. Si T ⊂ S et si m ≤ n, alors K_{S}^{m} ⊂ K_{T}^{n}.

2. K_{S}^{m} ∩ K_{T}^{n} = K_{S∪T}^{min{m,n}}.

3. Si T ⊂ S, si m ≤ n, et si n est aussi un S-cycle, alors [K_{S}^{n} : K_{S}^{m}] ≤ [K_{T}^{n} : K_{T}^{m}].

Lemme 4.18. Soit L/K une extension finie abélienne et soit S un sous ensemble non vide de S(L/K). Alors, le conducteur f(L/K) est aussi le plus petit S-cycle m telle que L soit contenu dans K_{S}^{m}.

4.6 Une autre approche de K_{S}^{m}.

Proposition 4.19. (Une autre définition.) Soit S un ensemble non vide de places de K et soit m un S-cycle. Alors, K_{S}^{m} est la plus grande extension abélienne L de K telle que S ⊂ S(L/K) et f(L/K) ≤ m. De plus, si on note d := degS, 𝔽_{q^{d}} est le corps des constantes de K_{S}^{m}.

Proposition 4.20. (Formule pour le genre). Soit S ⊂ P_{K} un sous-ensemble non vide de places de K. Soit p ∈ P_{K} − S et soit L un corps intermédiaire de K_{S}^{mp}/K_{S}^{(m−1)p} pour un certain m ∈ ℕ. Alors, en notant g_{K} le genre de K et g_{L} celui de L, on a la relation suivante :

(g_{L} − 1)degS = [L : K](g_{K} − 1 + \frac{m}{2}deg p) − \frac{1}{2} ∑_{n=0}^{m−1}[K_{S}^{np} : K]deg p.

4.7 La S-description et la formule de récurrence sur les degrés.

Théorème 4.21. Soit p ∈ P_{K} − S. Soit s :=| S | −1. Alors, il existe s entiers naturels : n_{1}, ⋯, n_{s} ne dépendant que de S et de p tels que, pour tout m ∈ ℕ, :

[K_{S}^{mp} : K_{S}^{p}] = \frac{q^{(m−1)degp}}{∏_{i=1}^{s}⌈\frac{m}{n_{i}} ⌉_{p}} .

Définition 4.22. (La S-description.) Avec les n_{i} définis dans le théorème, on forme le polynôme :

δ := \frac{q^{deg p} − 1}{(q − 1)[K_{S}^{p} : K_{S}^{0}]} + ∑_{i=1}^{s} t^{n_{i}} = ∑_{n≥0} δ_{n}t^{n} ∈ ℤ[t].

δ ne dépend que de S et p et on le note δ_{S,p}. Ce polynôme est appelé la S-description en p.

On définit aussi, pour tout m ∈ ℕ, m > 0 :

δ^{(m)} := ∑_{l=0}^{v_{p}(m)} δ_{\frac{m}{p^{l}}} .

Par convention :

δ^{(0)} := δ_{0}.

Proposition 4.23. (Formule de récurrence sur les degrés.) On trouve une formule de récurrence sur les degrés successifs :

[K_{S}^{(m+1)℘} : K_{S}^{m℘}] = \frac{q^{deg℘}}{p^{δ^{(m)}}} .

5 Corps de fonctions rationnelles.

5.1 Le cadre.

Soit K = 𝔽_{q}(x) où x est un indéterminé sur 𝔽_{q}. On fixe une clôture algébrique K′ dans laquelle se trouvent toutes les extensions algébriques de K. Dans toute cette section on suppose que S ⊂ P_{K}^{1} est non vide et que p ∈ P_{K}^{1} − S est une place rationnelle en dehors de S.

Remarque 5.1. Sous ces hypothèses, h_{K} = 1 et K_{S}^{p} = K.

Pour tout α ∈ 𝔽_{q} , on note p_{α} le zéro de x−α. Après une éventuelle transformation de la variable x, on peut supposer que p = ∞ (i.e. le pôle de x) et que p_{0} ∈ S. On va d’abord considérer le cas où q = p puis on étudiera le cas où q est une puissance de p avec cependant la restriction : | S |= q. Dans les deux cas, le but est de donner des équations pour quelques corps de classes de rayon, des formules pour calculer le genre et le nombre de places rationnelles.

5.2 Premier cas : q = p.

Théorème 5.2. (S-description.) Sous les conditions mentionnées précédemment, la S-description en p est :

δ_{S,℘} = ∑_{n=0}^{s} t^{n}.

Remarque 5.3. Puisque K_{S}^{0} = K est le corps d’inertie de p en K_{S}^{mp}, p est totalement ramifié dans K_{S}^{m℘} pour tout m ∈ ℕ, m > 0.

Proposition 5.4. (Nombre de places rationnelles.) On peut calculer le nombre de places rationnelles de K_{S}^{mp} :

N_{K_{S}^{mp}} = 1 + [K_{S}^{mp} : K](s + 1).

Proposition 5.5. (Equations.) Pour tout s < n ∈ ℕ, on pose :

u_{n} := x^{n−s} ∏_{α∈A}(x − α).

On pose

s′ := s si s < p − 1  et  s′ := p si s = p − 1.

Alors, pour tout m ∈ {s′ + 1, ⋯, p(s′ + 1)},

K_{S}^{m∞} = K(℘^{−1}u_{n}, n ∈ ℕ_{p}^{∗}, s′ < n < m).

avec ℕ_{p}^{∗} := ℕ − pℕ.

Remarque 5.6. (Remarque importante.) Si m est supérieur aux valeurs traitées dans la proposition précédente, G(K_{S}^{m}/K) n’est plus d’exposant p et on ne peut plus écrire K_{S}^{m}/K comme une extension du type ”Artin Schreier” classique. Il faut introduire les vecteurs de Witt et considérer des équations dites d’”Artin-Schreier-Witt”.

5.3 Deuxième cas : q = p^{e}, e ∈ ℕ et S :=P_{K}^{1} − p.

Soit Q := {1, ⋯, q − 1} ∈ ℤ, un ensemble de représentations du groupe cyclique ℤ/(q − 1)ℤ ≃ 𝔽_{q}^{∗}. Le groupe de Galois de 𝔽_{q}/𝔽_{p} agit sur Q. On note alors G_{n} l’orbite de n.

Définition 5.7. Pour tout n ∈ ℕ, on pose e_{n} :=| G_{n} | si n ∈ Q et n = min G_{n} et e_{n} = 0 sinon.

Théorème 5.8. (Lauter : S-description) La S-description de p dans le cas décrit ci-dessus est :

δ_{S,p} := 1 + ∑_{n∈ℕ}e_{n}t^{n}.

Corollaire 5.9. (Formule de récurrence sur les degrés.) La formule de récurrence sur les degrés devient, pour tout m ∈ ℕ :

[K_{S}^{(m+1)p} : K_{S}^{mp}] = \frac{q}{p^{e_{m^{∗}}}} .

La théorie de Galois nous dit que pour tout l ∈ ℕ, on peut trouver une extension L_{l} de K de degré p^{l} tel que L_{l} soit un corps intermédiaire de K_{S}^{(m+1)p}/K_{S}^{m} pour un certain m ∈ ℕ.

Proposition 5.10. (Calcul du genre.) Le genre de L_{l} peut être calculé grâce à la formule suivante :

(g_{L} − 1)deg S = [L : K](g_{K} − 1 + \frac{m}{2}deg p) − \frac{1}{2} ∑_{n=0}^{m−1}[K_{S}^{np} : K]deg p.

Proposition 5.11. (Nombre de places rationnelles.)

N_{L} = 1 + p^{l}q.

Lemme 5.12. (Détermination des e_{n}.) Soit q = p^{e}, e ∈ ℕ.

1. e_{q−1} = 1.

2. e_{q−1−q/p} = e.

3. Pour tout n tel que q − q/p ≤ n ≤ q − 1, e_{n} = 0.

4. Si e est pair et si on note r := \sqrt{q}.

– Alors, pour tout n ∈ {1, ⋯, 2r} − (pℤ ∪ {r + 1}, e_{n} = e.

– De plus, e_{r+1} = e/2 et e_{2r+1} = 0.

5. Si e est impair et si on note r := \sqrt{pq}.

– Alors pour tout n ∈ {1, ⋯, r} − pℤ, e_{n} = e.

– De plus, pour tout n ∈ {r, ⋯, r + p}, e_{n} = 0.

Proposition 5.13. (Formules pour le genre). Soit q = p^{e}, e ∈ ℕ.

1. Si e est pair, on pose r := \sqrt{q}.

– Si 0 ≤ l ≤ e/2,

g_{L_{l}} = \frac{r}{2}(p^{l} − 1).

– Si e/2 ≤ l ≤ 3e/2,

g_{L_{l}} = \frac{r}{2}(2p^{l} − r − 1).

2. Si e est impair et si on pose r := \sqrt{pq}, alors, pour tout (i − 1)e ≤ l ≤ ie où 1 ≤ i < p,

g_{L_{l}} = \frac{1}{2}(p^{l}(r + i − 1) − r − \frac{q^{i} − q}{q − 1} ).

Proposition 5.14. (Equations.)

1. Si e est pair et si r := \sqrt{q}, soient y et z ∈ K′ tels que

y^{r} + y = x^{r+1}  et  z^{q} − z = x^{2r}(x^{q} − x).

Alors,

K_{S}^{(2r+1)∞} = K(y)  et  K_{S}^{(2r+2)∞} = K(y, z).

2. Si e est impair et si r := \sqrt{pq}, soient y_{1}, ⋯, y_{p−1} ∈ K′ tels que

y_{i}^{q} − y_{i} = x^{\frac{ir}{p}} (x^{q} − x).

Alors, pour tout i ∈ {1, ⋯, p − 1},

K_{S}^{(r+i+1)∞} = K(y_{1}, ⋯, y_{i}).