RECHERCHES RECENTES OU ACTUELLES
- Equations de Naviers-Stokes :
En collaboration avec Ph. Angot et Ch.-H. Bruneau nous avons étudié aussi bien du point de vue numérique que théorique les effets de la méthode de pénalistion pour la prise en compte des obstacles dans le cas des écoulements incompressibles. Il s'agit la d'une méthode générale aussi bien adaptée !l a des maillages structurés que non structurés.
Dans un travail en préparation avec C.
Galusinski on étudie l'erreur commise en utilisant la méthode
de compressibilité artificielle pour le calcul des écoulements
de Navier-Stokes incompressibles. Nous établissons en particulier
l'amortissement de la partie non a divergence nulle de la condition initiale
et dans un cas particulier nous precisont le comportement oscillant du
terme d'erreur en pression. Ces résultats sont nouveaux et peuvent
déboucher sur de nouveaux algorithmes.
- Ensembles inertiels pour des systèmes partiellement dissipatifs :
Avec A. Miranville nous avons étendu la
notion d'ensembles inertiels au cas des systèmes non-autonomes.
Le premier travaille a consité à définir cette notion
pour les systèmes dissipatifs, puis dans un second travail, avec
C. Galusinski nous avons étudié la continuité de tels
ensembles pour l'quation des ondes faiblement amortie aussi bien dans le
cas autonome que non-autonome.
- Problèmes dispersifs :
On présente deux schémas de discrétisation temporelle de l'équation
pour lesquels on établit rigoureusement
des résultats de convergence. Des tests numériques valident
le comportement qualitatif de ces schémas.
- Etude d'un modèle de micromagnétisme :
Récemment nous avons étudié
avec Gilles Carbou un modèle de micromagnétisme obtenu en
couplant les équations de Maxwell et l'équation de Landau-lifschitz.
Pour ce modèle, dont, il est etabli qu'il n'y a pas unicité
des solutions faibles, nous démontrons que tout point de l'ensemble
-limite d'une trajectoire est solution du problème stationnaire.
Nous justifions également le modèle quasi-stationnaire. Enfin
nous établissons l'existence locale de solutions régulières
lorsque le problème est posé dans . Dans un travail non encore
complètement rédigé, nous montrons que le temps de
vie des solutions régulières est asymptotique à où
est un coefficient de viscosité. En fait pour ce problème,
les solutions régulières sans viscosité (plus précisément
sans énérgie d'échange) ont un temps de vie infini,
alors qu'on arrive seulement à montrer que les solutions avec viscosité
sont bornées sur un temps asymptotique à .
- Etudes de systèmes paraboliques - elliptiques à données mesure.
Ce travail en cours, en collaboration avec T. Gallouët a pour but d'étudier la prise en compte de certaines conditions aux limites par des masses ponctuelles mises au second membre des modèles étudiés. Un premier résultat consiste à établir l'existence d'une solution au problème d'écoulement en milieux poreux lorsqu'on modélise les puits d'injection ou de récupération par des masses de Dirac.