Contrôle continu oral L2

Ensembles convexes et jauge

Un ensemble convexe C est un ensemble tel que, si x,y appartiennent à C, alors tout le segment est inclus dans C. Un exemple type d'ensemble convexe est la boule unité d'une norme de R^d. Le but de ce sujet est de montrer que réciproquement, si C est convexe (et symétrique), alors on peut construire une norme dont C est la boule unité. Référence: Chap. 1.1 et 1.3 du document suivant: Cours de Rozenn Texier-Picard

Ensembles connexes

Un ensemble connexe est un ensemble d'un seul tenant. La définition la plus simple est A est connexe si, quand A=UuV avec U,V deux ouverts disjoints alors soit U soit V est vide. Le but est d'étudier les propriés de base des ensembles connexes.

Référence: Chap 2.3 des notes de cours de Raphael Danchin

Extrema Locaux en plusieurs variables

Il s'agit ici de revoir en détail les liens entre extrema locaux, points critique et Hessienne. Un prolongement vers les extrema sous contrainte est envisageable.

Référence: Chap 5.2 des notes de cours de Paul Broussou

TER L3

Lemme d'applatissement de Johnson-Lindenstrauss

On considère un ensemble V de points dans R^D tres grand. Peut-on repreésenter cet ensemble par un ensemble W de points dans un espace de dimension plus petit R^d sans trop le distordre, c'est-à-dire envoyer chaque point v de V en un point f(v) de W de telle sorte que la distance entre f(v)> et f(w) soit approximativement la distance de v à w.

Référence:

Problème de Littlewood Offord

Le probllème de Littlewood Offord consiste à fixer des vecteurs v₁,... v_N et d'étudier les sommes +/-v₁+/-... +/-v_N La question qu'on se pose est de savoir quelle fraction de ces sommes peut appartenir à un ensemble donné. Le but de ce TER est de voir quelques unes des techniques qui peuvent servir pour résoudre ce problème (analyse de Fourier, combinatoire...)

Référence: Ato et Wu, Additive combinatorics, Chap 7.

Master 2 TDSI