Séminaire de Théorie Analytique des Nombres et Problèmes Diophantiens

Le 14 décembre 2000

Bernard de Mathan


Sur la méthode de Peck pour les séries formelles sur un corps fini.


 
 Résumé :

La conjecture de Littlewood est que pour tout couple $ (\alpha ,\beta )$ de nombres réels, et tout $ \epsilon >0$, il existe un entier positif q tel que $ q\Vert q\alpha \Vert \Vert q\beta \Vert \leq \epsilon $ (où pour x réel, on note $ \Vert x\Vert =\min \ \{\vert x-n\vert ;\ n\in {\bf Z}\} $). On peut aussi énoncer ce problème en dimension $ n\geq 2$: existe-t'il pour tout $ (\alpha _{1} ,...,\alpha _{n} )\in {\mathbb R}^{n}$, et tout $ \epsilon >0$, un entier positif q tel que $ q\Vert q\alpha _{1} \Vert ...\Vert q\alpha _{n} \Vert \leq \epsilon $? La réponse à ce problème n'est connue pour aucune dimension $ n\geq 2$. Le seul exemple connu est celui d'un couple de nombres d'un même corps cubique, d'abord obtenu par Cassels et Swinnerton-Dyer, puis généralisé en 1961 par L. G. Peck, qui montre que la réponse est positive en dimension $ n\geq 2$ pour un n-uple $ (\alpha _{1} ,...,\alpha _{n} )$ d'éléments d'un corps de nombres réel de degré n+1. Plus précisément, Peck montre qu'il existe une infinité d'entiers positifs Q tels que $ \Vert Q\alpha _{i} \Vert <<Q^{-1/n} (\ln Q)^{-1/(n-1)}$ pour $ 1\leq i\leq n-1$ et $ \Vert Q\alpha _{n} \Vert \leq Q^{-1/n}$.

Nous adaptons la méthode de Peck à $ {\bf F}_{q} ((T^{-1} ))$, mais le résultat obtenu est meilleur, le facteur $ (\ln Q)^{-1/(n-1)}$pouvant être remplacé par un facteur $ \vert Q\vert ^{-\delta }$, $ \delta $ étant un nombre réel positif dont la détermination est effective. Il est bien connu que, tout comme le théorème de Roth, le théorème de Schmidt limitant l'approximation simultanée des nombres algébriques, ne s'applique pas à $ {\bf F}_{q} ((T^{-1} ))$, mais assez curieusement, on voit ici que le théorème de Schmidt est toujours en défaut pour l'approximation simultanée de n éléments d'un corps de fonctions de degré n+1 ayant un plongement dans $ {\bf F}_{q} ((T^{-1} ))$.


 
 

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