Résumé :
La théorie de
Markoff classique a été développée autour
de l’équation x²+y²+z²=3xyz dont on étudie
les solutions (x,y,z) contenues dans N*3. Elle est liée
à l’approximation diophantienne des nombres réels
irrationnels par des nombres rationnels. Elle est liée à
certaines formes quadratiques binaires entières et au
géodésiques du tore percé en un point unique.
Dans l’exposé, on montre qu’une théorie analogue très complète peut être définie pour l’équation diophantienne:
x²+y²+z²=3xyz+2x
On donne ses solutions dans Z3 et dans N3. Pour les solutions strictement positives, on montre que les solutions s’organisent en deux arbres. Avec ces dernier, on construit un autre arbre lié aux fractions continues, et à des formes quadratiques binaires entières.
On montre que dans un nombre infini de cas les constantes d’approximation sont de forme:
((m-2)/sqr(9m²-4))
Ceci fournit des constantes qui convergent vers 1/3 comme dans la théorie classique, mais de l’autre côté de cette valeur limite. On montre aussi sur cet exemple que l’équation de Cassels Zagier valable pour l’équation de Markoff classique ne vaut pas.
On montre aussi comment ces résultats se généralisent à des équations de forme:
x²+y²+z²=3xyz+nx
n>0 entier
Il est assez remarquable que pour n = 1 l’equation correspondante n’ait pas de solution en dehors du triplet (0,0,0). On donne quelques indications pour les autres valeurs positives de n.
Références:
J.W.S Cassels, An introduction to diophantine equation, Cambridge Tracts in Maths, 1957
T.W. Cusick et M.E. Flahive, The Markoff and Lagrange spectra, Maths surveys and monographs n°30, AMS 1989
S. Perrine, Un arbre de constantes d’approximation analogue à celui de l’équation diophantienne de Markoff, Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux n°10, 1998, p.321
J.O. Button, The uniqueness of the prime Markoff numbres, J. London Math. Soc.(2)58, 1998