Séminaire de Théorie Analytique des Nombres et Problèmes Diophantiens

Le 15 février 2001

Olivier Robert (Nancy)


Points entiers associés à une courbe de classe C3



Soit M un entier grand et $f:[1,M]\to {\Bbb R}$ une fonction de classe Ck, avec k=3. On cherche à majorer la somme $\sum_{m=1}^M\psi(f(m))$, où $\psi(x)=x-[x]-1/2$, sous la seule hypothèse

\begin{displaymath}\lambda_k\le f^{(k)}(x)\ll \lambda_k \ (1\le x\le M)\end{displaymath}

où $\lambda_k$ est un réel positif petit. Plus précisément, on cherche à améliorer l'exposant 1/7 dans la majoration classique de van der Corput

\begin{displaymath}\sum_{m=1}^M\psi(f(m))\ll M\lambda_3^{1/7},\ {\rm pour \ } M \ {\rm assez\ grand}.\end{displaymath}


Pour comparaison, dans le cas k=2, l'exposant 1/3 dans la majoration classique de van der Corput

\begin{displaymath}\sum_{m=1}^M\psi(f(m))\ll M\lambda_2^{1/3},\ {\rm pour \ } M \ {\rm assez\ grand}\end{displaymath}

ne peut pas être améliorée, comme le montre un exemple non trivial de Grekos.
 
 

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