Rencontre ANR Cyclades à Bordeaux

Dans un travail en commun avec Dragos Fratila et Alberto Vezzani, nous construisons des courbes hyperelliptiques de genre grand, définies sur des corps quadratiques qui sont isomorphes à leur conjuguées galoisiens mais qui ne descendent pas sur Q, même à isogénie près. L’obstruction à la descente est nouvelle et nous l’appelons « périodes ramifiées ». Il s’agit de nombres p-adiques qui proviennent de la comparaison entre cohomologie de de Rham et cohomologie cristalline (d’où le mot périodes). Ces nombres peuvent lire des informations intéressantes si p ramifie dans le corps quadratique.

Let X be a smooth projective variety over a field of characteristic 0. We show that every cycle in the degree d algebraic cobordism group Ω_d(X) of X is smoothable when d is smaller than half of the dimension of X. That is, it can be written as a linear combination of cycles represented by smooth closed subvarieties of X. This generalizes a result of Kollár and Voisin from Chow groups to algebraic cobordism groups.

Soit X une variété sur un corps fini. On dira qu'un complexe constructible l-adique (l différent de la caractéristique du corps de base) est algébrique si ses facteurs L-locaux ont des coefficients algébriques, et que deux complexes constructibles l- et l'-adiques sont compatibles s'ils sont algébriques et que leurs facteurs L-locaux coincident. On s'attend en général à ce que deux tels complexes soient l'incarnation d'un même "motif" et vérifient donc des conditions de compatibilité beaucoup plus fortes. Lorsque X est lisse et que l'on se restreint aux systèmes locaux algébriques semisimples, un célèbre théorème de Chin et Drinfeld dit que la monodromie d'un tel système local ne dépend que de sa classe de compatibilité. Si X est une variété abélienne, on sait encore associer à un faisceau pervers l-adique sur X un groupe de monodromie qui, comme pour les systèmes locaux, est un groupe algébrique sur la clôture algébrique de Q_l. On expliquera comment étendre le résultat de Drinfeld à la composante neutre de la monodromie des faisceaux pervers semisimples algébriques et obtenir des résultats partiels pour le groupe des composante connexes. La preuve suit la stratégie de Chin-Drinfeld, utilisant notamment la conjecture des compagnons et un théorème de reconstruction tannakien du à Kazhdan, Larsen et Varshavsky.

Un ensemble de Sidon est un sous-ensemble S d’un groupe abélien A ayant la propriété qu’il n’existe pas deux façons distinctes d’obtenir un même élément de A comme somme de deux éléments de S. À un tel ensemble, on peut associer un graphe de type Cayley qui évite certains sous-graphes donnés, contrairement à un graphe aléatoire. Cependant, pour certains ensembles de Sidon d’origine algébro-géométrique (par exemple, une courbe plongée dans sa jacobienne), on peut montrer que les graphes correspondants se comportent, du point de vue spectral, comme des graphes aléatoires : les valeurs propres de leur matrice d’adjacence s’équirépartissent selon la mesure de Sato-Tate. J’expliquerai le rôle que jouent les sommes exponentielles et l’alternative de Larsen dans la démonstration de ces résultats. Il s’agit d’un travail en commun avec Arthur Forey, Emmanuel Kowalski et Yuval Wigderson.

Dans cet exposé, nous considérons les valeurs zêta multiples qui sont des périodes de motifs de Tate mixtes sur Z. Pour une multizêta ζ donnée, il existe un unique motif minimal tel que ζ soit une période de ce motif. En général, ce motif est difficile à calculer. Dans le cas précis des doubles zêtas, on peut le calculer. Cela passera par le formalisme Tannakien. Nous donnerons ce motif minimal, son groupe Tannakien et discuterons de sa dimension. Nous en tirerons des conjectures de transcendance pour les multizêtas de faible profondeur.

Paršin et Arakelov ont démontré la finitude de l'ensemble des familles de courbes non isotriviales paramétrisées par une courbe algébrique complexe (un énoncé conjecturé par Shafarevich). L'énoncé analogue est faux pour les familles de variétés abéliennes. Cependant, Faltings a démontré la finitude de l'ensemble des familles non déformables de variétés abéliennes, et a donné une condition nécessaire et suffisante de déformabilité. Le développement de la théorie des inégalités d'Arakelov pour les variations de structure de Hodge permet de multiples généralisations de ce théorème en géométrie complexe. Dans cet exposé, on donne des analogues partiels en caractéristique positive. On donne une condition sur l'application de Kodaira-Spencer qui n'est vérifiée que pour un nombre fini de familles de variétés. Cela résulte de propriétés d'hyperbolicité des espaces de modules, sur lesquels il est possible de construire de nombreuses formes différentielles symétriques logarithmiques.

Définis par Ivorra et Morel, les motifs de Nori pervers sont une généralisation faisceautique des motifs de Nori sur un corps. Ils sont munis des six opérations de Grothendieck, ainsi que d'une réalisation de Betti qui commute aux opérations. Je vais donner une propriété universelle des motifs de Nori, en tant que formalisme des 6 foncteurs, et expliquer comment cela permet de construire des foncteurs de réalisation (de Rham et Hodge) sur la catégorie dérivée bornée des motifs de Nori pervers sans avoir à revenir à la construction des opérations de Grothendieck sur les motifs de Nori pervers, qui est très délicate. S'il me reste du temps, j'expliquerai comment en déduire la construction de la construction canonique pour les motifs de Nori pervers sur une variété de Shimura de type Hodge.

Contrairement à la cohomologie de Betti, la cohomologie l-adique d'une variété est un invariant purement algébrique. Plus précisément, étant donné une variété algébrique X sur un corps de type fini k de caractéristique 0, il est nécessaire de choisir un plongement complexe de k pour définir la cohomologie de Betti de X. En effet, Charles puis Schreieder ont fourni des exemples explicitant que le résultat dépendait crucialement de ce choix (structures d'anneaux non isomorphes). Dans cet exposé, nous proposons de donner des critères d'annulations de nombres de Hodge sur X qui garantissent que la cohomologie de Betti réelle soit indépendante du plongement complexe de k.

Soit Y/X une famille de variétés propres et lisses sur un corps p-adique F, et X' un modèle lisse de X sur l'anneau d'entiers. Si (presque) toutes les fibres fermées de la famille ont bonne réduction, peut-on en déduire que Y tout entier admet un modèle propre et lisse sur X' ? Cette question est motivée par des travaux récents de Cadoret-Tamagawa, qui y répondent positivement dans certains cas. Je commencerai par donner une obstruction dans le cas des schémas abéliens: si F est assez ramifié, des contre-exemples existent. Dans le cas non ramifié, j'énoncerai un résultat positif pour des schémas abéliens et surfaces K3 polarisés avec structures de niveau. Je présenterai la stratégie de preuve, en expliquant le rôle joué par les modèles entiers canoniques de variétés de Shimura. Dans ce contexte, l'obstruction due à la ramification de F traduit la non-existence de ces modèles.