Journées MAS 2010

Processus stochastiques en temps long (pdf)

Session organisée par Djalil Chafai (Université Paris Est Marne la Vallée)

Les modélisations de phénomènes d'évolution aléatoire issus de la biologie, de l'informatique, et de la physique constituent un thème riche et incontournable des mathématiques appliquées actuelles. Ces modélisations mettent en oeuvre des processus stochastiques, dont l'étude en temps long est fondamentale. Cette session parallèle est l'occasion de découvrir quelques aspects de ce vaste thème, comme la stabilité de diffusions inhomogènes, l'approximation de mesures quasi-stationnaires, ainsi que la stabilité de partages de fichiers en réseau. Cette session donne volontairement la parole à trois jeunes chercheurs, ainsi qu'à un spécialiste plus expérimenté.

Exposé de 40 minutes Florent Malrieu (Université Rennes 1) Bornes quantitatives pour la convergence en temps long de processus de Markov transparents

Si l'on sait assez bien décrire qualitativement la convergence en temps long de processus de Markov (existence et unicité d'une mesure invariante, convergence exponentielle à l'équilibre, etc), il est en général beaucoup plus difficile d'obtenir des bornes explicites pour la vitesse de convergence à l'équilibre. A partir de modèles variés (systèmes de particules en interaction, processus de Markov déterministes par morceaux), je présenterai différentes techniques qui permettent d'obtenir de telles bornes.

Exposé de 20 minutes Florian Simatos (Centrum Wiskunde Informatica) Stability properties of linear file-sharing networks

File-sharing networks are distributed systems used to disseminate files among a subset of the nodes of the Internet. A file is split into several pieces called chunks, the general simple principle is that once a node of the system has retrieved a chunk, it may become a server for this chunk. A stochastic model is considered, and one investigates the conditions under which the Markov process describing this network is ergodic. Compared to classical stochastic networks, this model is difficult to analyze because the capacity of the system is a function of the state of the system and thus evolves randomly over time. Technical estimates related to the survival of interacting branching processes are key ingredients to establish the stability of these systems. In this talk I will present the simplest case that highlights these difficulties.

Exposé de 20 minutes Denis Villemonais (Ecole Polytechnique) Approximation of quasi stationnary distributions for 1-dimensionnal killed diffusions with unbounded drift

The theory of Markov processes with an absorbing state is commonly used in stochastic models of biological population, epidemics, chemical reactions and market dynamics. But, while the long time behavior of a recurrent Markov process is well described by its stationary distribution, the stationary distribution of an absorbed Markov process is concentrated on the absorbing states, which is of poor interest. In contrast, we will explain how the limiting distribution of the process conditioned to not being absorbed when it is observed can explain some complex behavior, as the mortality plateau at advanced ages, which leads to new applications of Markov processes with absorbing states in biology. As stressed by Nassel, such distributions are in most cases not explicitely computable. We present an approximation method for the quasi-stationary distribution of multidimensional diffusions defined on an open set D with absorbing boundaries. In particular, we allow the drift of the diffusion to be unbounded and the boundary of the open set D to be irregular, as in the stochastic Lotka-Volterra model studied by Cattiaux and Méléard. The main tool of this approximation is the study of a middle field interacting particle system, whose number of particles is going to infinity. We illustrate our results by numerical simulations and some considerations on the speed of convergence of the method.

Exposé de 20 minutes Yoann Offret (Université Rennes 1) Comportement asymptotique d'une famille de diffusions inhomogènes en temps

Soit X la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un mouvement Brownien B et ayant pour drift b(t,x)=r x^a/t^b. Je commencerai par donner des résultats d'existence et d'unicité pour cette équation, en particulier quand le drift est singulier (a<0) et je décrirai le temps d'explosion de cette solution, en particulier quand (a>1). Enfin, je présenterai le comportement asymptotique de cette diffusion en fonction des paramètres r, a et b. Précisément je donnerai le diagramme de transition de phase (récurrence, transience et convergence), la distribution asymptotique d'un tel processus, des lois de types log-itéré ainsi que les vitesses de transience et de convergence.