Fonctions zêta de Weil et cohomologies p-adiques

\def\Q{\mathbb{Q}} \def\D{\mathcal{D}} Le calcul des fonctions zêta de Weil d'une variété algébrique $X$ sur un corps fini de caractéristique $p$ permet d'obtenir des applications cryptographiques. Nous rappellerons leurs différentes interprétations cohomologiques via des méthodes $l$-adiques ($l$ est un premier différent de $p$) ou $p$-adiques (i.e., on travaille sur $\Q_l$ ou $\Q_p$). Ces fonctions se généralisent de multiples façons en considérant en plus de la variété $X$, un objet $E$ (e.g. $\Q_l$-faisceaux constructibles, $F$-cristaux, $F$-isocristaux, $F$-complexes de $\D$-modules arithmétiques) vivant sur $X$. On définit ainsi des fonctions $L$ associées à $E$ (la fonction $L$ du coefficient «constant» redonne la fonction zeta de Weil). Afin d'obtenir une bonne cohomologie $p$-adique sur $X$, i.e., satisfaisant toutes les conditions requises pour devenir une «cohomologie de Weil», l'idée de Berthelot fut de construire une théorie arithmétique des $\D$-modules. Nous donnerons une formule cohomologique des fonctions $L$ associées aux $F$-complexes de $\D$-modules arithmétiques. Nous expliquerons comment cela résulte ou s'inspire des précédentes interprétations cohomologiques.