Quelques pensées sur le théorème d'Ax

Le théorème d'Ax, souvent appelé théorème d'Ax, Borel et Grothendieck, séxprime comme suit. Théorème. (Ax, 1969) Soient Y un schéma et X un schéma de type fini sur Y. Soit f: X --> X un Y-endomorphisme injectif. Alors f est bijectif. Il généralise un résultat de D. J. Newman sur le cas X=R^2, déjà généralisé au cas X=R^n avec n quelconque par Bialynicki-Birula et Rosenlicht. Ce théorème a récemment attiré beaucoup d'attention en géométrie algébrique affine, en liaison avec la conjecture Jacobienne. Nous allons le revisiter et considérer ses variantes. Le thème principal de l'exposé sera les endomorphismes des variétés algébriques, pas nécessairement injectifs.