Nouvelles bornes pour le nombre de contact et programmation semi-définie

Le nombre de contact (ou plus joliment mais en anglais \emph{kissing number}) de la dimension $n$, noté $\tau(n)$, compte le nombre maximum de sphères de rayon $1$ que l'on peut coller à une même sphère de rayon $1$. On ne connait la valeur exacte de $\tau(n)$ que pour les dimensions $n=1,2,3,4,8,24$. Pour les autres valeurs de $n$, on connait seulement une borne supérieure, obtenue en général par la méthode de la programmation linéaire (LP) due à Philippe Delsarte. Dans un travail en commun avec Frank Vallentin, nous développons une généralisation de cette methode, qui fournit une borne comme solution d'un problème de programmation semi définie (SDP). Cette nouvelle borne s'avère meilleure que la borne LP et nous permet de donner une preuve uniforme pour la valeur connue de $\tau(n)$ pour $n=3,4,8,24$, et d'ameliorer les bornes connues pour $\tau(n)$ pour toutes les autres valeurs de $n=5$ à $n=10$. Elle s'applique aussi à d'autres questions de théorie des codes et de géométrie sphérique qui seront abordées dans l'exposé.