Peut-on déterminer si deux polynômes donnés sont équivalents ?

Deux polynômes $P,Q\in \bf{C} [X_1,\ldots,X_n]$ sont dits (algébriquement) équivalents s'il existe un automorphime polynomial $\varphi$ de $\bf{C} [X_1,\ldots,X_n]$ tel que $\varphi(P)=Q$. Savoir si deux polynômes donnés sont équivalents ou non est une question naturelle mais difficile en général. Dans cet exposé, on se propose d'illustrer, par des exemples explicites, le genre de difficultés que l'on rencontre. L' étude des plongements de certaines hypersurfaces de $\bf{C}^3$, dites hypersurfaces de Danielewski, jouera un rôle important dans la construction de ces exemples.