Contraintes abéliennes pour les G-revêtements

Si $X\rightarrow k$ est une courbe définie sur un corps $k$ et $\mathbf{t}\subset X$ un diviseur $k$-rationnel sur $X$, l'existence d'un G-revêtement abélien $Y\rightarrow X$ défini sur $k$, de diviseur de ramification $\mathbf{t}$ et de degré premier à la caractéristique de $k$ impose des contraintes arithmétiques sur $X$, $\mathbf{t}$ et $\text{Pic}_{X/k}^{0}$. Ces contraintes permettent de relier l'étude de la torsion sur les jacobiennes de courbes à celle des points rationnels sur certains espaces de modules de $G$-revêtements. Je décrirai la connexion entre ces deux problématiques et certains résultats qu'elle a permis d'obtenir, notamment: \begin{itemize} \item une formulation modulaire de la conjecture de torsion forte pour les jacobiennes de courbes. \item une généralisation en dimension supérieure de la tour des courbes modulaires $(Y_{1}(p^{n+1})\rightarrow Y_{1}(p^{n}))_{n\geq 0}$ pour les jacobiennes hyperelliptiques. \item le théorème suivant: \end{itemize} \noindent\textbf{Théorème:} \textit{On se fixe un nombre premier $p$, un corps $k$ de type fini et de caractéristique $\not= p$ et un groupe profini $G$ contenant un sous-groupe ouvert $U\subset G$ tel que $U\twoheadrightarrow \mathbb {Z}_{p}$. Alors, quelque soit la courbe $X\to k$ que l'on considère, il n'existe pas d'extension galoisienne $E/\overline{k}(X)$ de groupe $G$ et de corps des modules $k$.} \noindent Ce théorème, qui est un contre-exemple à une variante faible du problème de Galois inverse régulier profini (variante vraie pour les groupes finis), a une interprétation modulaire en terme de non-existence de systèmes projectifs sur certaines tours d'espaces de modules pour les courbes avec $G$-action.