Générateurs de l'anneau des entiers d'une extension cyclotomique

Soit $n$ un entier naturel non-nul. Notons $\zeta_n$ une racine primitive $n$-\`{e}me de l'unit'{e} et $\alpha$ un g'{e}n'{e}rateur de $\mathbb{Z}[\zeta_n]$. On dit que $\alpha\sim\beta$ s'il existe $\sigma$ dans $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)\vert\mathbb{Q})$ et un entier relatif $k$ tels que $\beta=\pm\sigma(\alpha)+k$. Dans ce cas, $\mathbb{Z}[\beta]=\mathbb{Z}[\zeta_n]$. Soit $p$ un nombre premier. Nous connaissons deux classes d''{e}quivalence de $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ \`{a} savoir la classe de $\zeta_p$ et la classe de $\omega:=(\zeta_p+1)^{-1}$. Nous savons '{e}galement que celles-ci sont distinctes si $p>3$ et que $\omega+\overline{\omega}=1$. En 1988, Bremner conjecture qu'il n'existe pas d'autres classes de g'{e}n'{e}rateurs. En 1998, Robertson donne une r'{e}ponse partielle \`{a} cette conjecture en d'{e}montrant que si $\alpha$ est un g'{e}n'{e}rateur alors soit il est '{e}quivalent \`{a} $\zeta_p$ soit $\alpha+\overline{\alpha}$ est un entier impair. Soit $q$ une puissance de $p$ et $h_q^+$ l'ordre du groupe des classes de $\mathbb{Q}(\zeta_q+\overline{\zeta_q})$. En 2006, Gaal et Robertson obtiennent un r'{e}sultat similaire \`{a} celui de Robertson avec l'hypoth\`{e}se suppl'{e}mentaire $h_q^+$ premier avec $p(p-1)/2$. Dans cet expos'{e}, nous montrons qu'il est possible d''{e}liminer celle-ci.