Sur l'indice d'un sous-réseau de Minkowski

Soit $L$ un réseau d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$, de déterminant $D$. On définit des constantes $H_n$ [Hermite] (resp. $M_n$ [Minkowski]) en prenant le maximum de $(\frac{N(e_1)\cdots N(e_n)}D)^{1/n}$ sur une base (resp. sur $n$~vecteurs indépendants de $L$~; des {\sl minima successifs de $L$\/}). Il en résulte une majoration de l'indice $[L:L']$ pour tout sous-réseau $L'$ de Minkowski de $L$. Soit $d$ l'annulateur de $L/L'$. Dans un travail récent avec Achill {\sc Sch"urmann}, nous avons obtenu la classification en dimension~$9$ des codes sur $Z/dZ$ provenant d'un tel quotient, étendant les résultats connus jusqu'à la dimension~$8$ ({\small ce séminaire, 23 janvier 1998}). Nous en avons déduit la solution du problème de Louis Michel~: un réseau engendré par ses vecteurs minimaux posséde-t-il une base de vecteurs minimaux~? La réponse est toujours {\sl oui\/} si $n<9$, mais non au-delà. (Contre-exemple antérieur de Conway et Sloane pour $n=11$). Par ailleurs, je donnerai les majorations optimales des quotients des produits $\prod N(e_i)$ sur $L$ et $L'$ pour $n=6,7,8$, améliorant un travail ancien de van der Waerden (Acta Math., 1956).