Invariants de classes (presque) sans réciprocité de Shimura

Un invariant de classes est une valeur spéciale d'une fonction modulaire qui engendre algébriquement le corps de classes de Hilbert d'un corps quadratique imaginaire. Il peut être utilisé pour obtenir des courbes elliptiques à multiplication complexe et donc à cardinal connu d'avance sur un corps fini, ce qui trouve des applications en cryptographie et pour les preuves de primalité. Classiquement, la loi de réciprocité de Shimura est utilisée pour démontrer qu'une valeur est invariant de classes et pour déterminer ses conjuguées algébriques, ce qui demande des calculs fastidieux au cas par cas. Schertz a donné une approche élégante qui encapsule la loi de réciprocité et permet d'obtenir des preuves faciles pour des fonctions modulaires pour $Gamma^0(N)$ ayant un développement en $q$ rationnel. En même temps, il en résulte une caractérisation facilement implantable des conjuguées. Dans le cadre du résultat de Schertz, je présente une généralisation aux fonctions multipliées par des racines de l'unité et donne une application à l'invariant de classes de Ramanujan.