Géométrie birationnelle équivariante des grassmanniennes

Soient $K$ un corps, et $A$ une $K$-algèbre de dimension finie $n$ sur $K$. Soit $G$ le groupe algébrique $GL_1(A)$, dont les $K$-points sont les éléments inversibles de $A$. Soit $p<n$ un entier naturel. Le groupe $G$ agit naturellement, par multiplication à gauche, sur la grassmannienne $Gr(p,A)$ des $p$-sous espaces vectoriels de $A$. Sous certaines hypothèses sur $A$ (satisfaites si $A/K$ est étale), nous construisons explicitement un isomorphisme birationnel $G$-équivariant entre $Gr(p,A)$ et le produit de $Gr(pgcd(p,n),A)$ par un espace affine. De nombreux corollaires s'en déduisent alors par torsion, liés à la conjecture d'Amitsur. Par exemple, si $B$ et $C$ sont deux $K$-algèbres simples centrales de degrés premiers entre eux, alors la variété de Severi-Brauer $SB(A \otimes B)$ est birationnelle au produit de $SB(A) \times SB(B)$ par un espace affine de dimension convenable. Jusqu'à présent, il était seulement connu que ces deux variétés sont stablement birationnelles.