Une conjecture a ete formulee en 1986 qui implique l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta de Dirichlet et en forme modififiee pour la fonction zeta de Euler, qui est exceptionelle et a d'une singularite. La conjecture s'applique a des espaces hilbertiens de fonctions entieres qui continuent les travaux de Stieltjes en 1894 avec les methodes axiomatiques dues a Hilbert au commencement du vingtieme siecle. De tels espaces sont associes avec les fonctions zeta de Dirichlet et avec une modification avec la fonction zeta d'Euler. On a longtemps cru que la conjecture faite pour ces espaces est fausse ce qui semble etre confirme par des calcul de Xian-Jin Li (qui a ecrit une these sur un cas elementaire de l'hypothese de Riemann du a Weil). Mais en aout 2009 une preuve a ete donnee (mais pas confirmee) de l'hypothese de Riemann pour les fonctions zeta de Hecke. Ce resultat implique l'hypothese de Riemann pour les fonctions zeta de Dirichlet et la fonctions zeta de Euler. L'application se fait par un de methode inattendue qui est le sujet de cette conference. La formule de duplication de la fonction gamma et bien connue, mais la generalisation evidente pour les fonctions zeta de Dirchlet et de Euler a echappe a l'attention des chercheurs sur l'hypothese de Riemann. En untilisant ce simple moyen on echappe au piege tendu par les calcul de Li. L'expose est base sur le travail "Riemann zeta functions" disponible à http://www.math.purdue.edu/~branges/ .