Dans cet exposé, on sintéressera aux propriétés de contrôlabilité à zéro de trois équations diffusives, posées sur $\mathbb R^n$ ou $\mathbb R^n\times\mathbb T^n$. On commencera par présenter le cas parabolique de l'équation de la chaleur fractionnaire, dont les propriétés de contrôlabilité à zéro sont liées à la notion d'épaisseur. On sintéressera ensuite à deux équations paraboliques dégénérées de type hypoelliptique présentant des phénomènes nouveaux par rapport au cas parabolique (existence de temps minimaux notamment). La première est associée à un opérateur de type Baouendi-Grushin (un laplacien dégénéré autoadjoint). L'étude de ce modèle nécessite notamment d'obtenir des inégalités spectrales précises pour les oscillateurs anharmoniques, que l'on présentera. On considérera ensuite l'équation de Kolmogorov, dont le caractère non-autoadjoint influe sur la géométrie des supports de contrôle à considérer, comme on le verra. Ces résultats sont issus dune série de travaux avec J. Bernier (LMJL), J. Martin (LJLL), A. Koenig (IMT) et A. Seelmann (TU Dortmund).