Paramétrisation des cubiques planes à l'aide d'un radical cubique

Étant donnée une cubique lisse projective plane $C$ sur un corps $K$ de caractéristique première à $6$, on cherche des morphismes finis $f : D\rightarrow C$ où $D$ est un revêtement radiciel de $P1/K$ de degré $3$. On dit que $f$ est une paramétrisation de $C$ à l'aide d'un radical cubique. Ces paramétrisations présentent un intérêt cryptographique. Icart, Kammerer, Lercier, Renault and Farashahi en ont donné quelques exemples. J'expliquerai pourquoi ces paramétrisations correspondent à des courbes rationnelles dans le plan dual, ayant des propriétés remarquables d'intersection avec la duale $\hat C$ de $C$. De telles courbes se relèvent en des courbes rationnelles sur le revêtement de degré $2$ du plan dual ramifié le long de $\hat C$. Ce revêtement est une surface K3 de rang générique $19$. L'étude de son groupe de Néron-Séveri met de l'ordre dans les paramétrisations connues et permet d'en produire de nouvelles. Travail en commun avec Jean-Gabriel Kammerer. Je ferai un pot ensuite.