Systèmes d'Euler, conjecture de Gras, conjecture principale d'Iwasawa.

Les systèmes d'Euler ont été introduits au d'ebut des années 90. Étant donné une extension abélienne finie de corps globaux $K/k$, ils permettent dans certains cas de comparer les structures du module galoisien des $p$-classes $A_K$ et du module galoisien des unités modulo unités de Stark $MCE_K /MCSt_K$. Dans le cas où $k$ est un corps de fonctions de caractéristique $\rho$, ou dans le cas où $k$ est quadratique imaginaire, nous étendons la méthode d'eveloppée par K.\,Rubin. Nous montrons que si $p\nmid[K:k]$ (dans le cas des corps de fonctions, on suppose aussi $p\neq\rho$), alors pour tout (sauf les caractères $MBQ$-conjugués au caractère de Teichmuller dans un cas pathologique ) $MBQ_p$-caractère irréductible $\psi$ on a égalité des cardinaux des $\psi$-parties, $\#\left( A_{K,\psi} \right) = \#\left( MCE_K/MCSt_K \right)_\psi.$ Dans le cas où $k$ est quadratique imaginaire, et où le nombre premier $p\notin \{2,3\}$ est d'ecomposé dans $k$, on note $k_\infty$ l'unique $MBZ_p$-extension de $k$ non ramifiée en dehors de $MFp$. On considère une extension $K_\infty$ de $k_\infty$, abélienne sur $k$. Inspiré par les travaux de K.\,Rubin et W.\,Bley, nous montrons que pour tout $MBC_p$-caractère irréductible $\chi$ du sous-groupe de torsion de $Gal\left( K_\infty /k \right)$, on a égalité des idéaux caractéristiques des $\chi$-quotients, $\#\left( A_{\infty ,\chi} \right) = \#\left( MCE_\infty /MCSt_\infty \right)_\chi.$