Soit $D$ un domaine relativement compact d'une variété de Stein $X$. On s'intéresse au problème de Cauchy faible suivant : soit $T$ un $(r,q)$-courant $\overline\partial$-fermé à support dans $\overline D$, $q\geq 1$, existe-t-il un $(r,q-1)$ courant $S$ tel que (i) $\overline\partial S=T$ sur $X$ (ii) ${\rm supp}~ S\subset \overline D$. Nous donnerons des résultats dans différents espaces fonctionnels comme l'espace des formes $\mathcal C^\infty$ ou des formes à coefficients dans $L^p$. En utilisant la dualité de Serre nous en déduirons des théorèmes de séparation ou de non séparation pour certains groupes de cohomologie de Dolbeault.