Dans cet exposé, nous nous consacrerons à l'étude quantitative du trou spectral d'opérateurs de diffusion du type $L = \Delta - \nabla V \nabla$, où $V$ est un potentiel convexe. Une des raisons principales motivant les probabilistes s'attaquant à ce type de problème réside dans le fait que le trou spectral donne la vitesse optimale de convergence vers l'équilibre (c'est-à-dire la mesure invariante $\mu$ de densité par rapport à la mesure de Lebesgue proportionnelle à $e^{-V}$, mesure dite log-concave) de la dynamique stochastique markovienne sous-jacente. Après avoir introduit le cas classique du potentiel gaussien (i.e., $V$ est quadratique et $\mu$ est une mesure gaussienne) puis rappelé les critères usuels sur $V$ pour l'obtention de bornes sur le trou spectral, nous verrons comment les obtenir par de nouvelles méthodes dans le cas où ces critères ne s'appliquent pas. Cet exposé est basé sur une série de travaux effectués en collaboration avec Michel Bonnefont.