Algèbres de matrices euclidiennes

Soit $R$ un anneau commutatif et $n$ un entier naturel strictement positif. On montre que l'algèbre de matrices $M_n(R)$ est euclidienne si et seulement si $R$ est un anneau principal. Une preuve constructive de ce résultat donne des informations sur le type d'ordre euclidien de $M_n(R)$, comme défini par Clark. Par ailleurs, nous verrons quelles hypothèses sur $R$ permettent de calculer effectivement un algorithme d'Euclide dans $M_n(R)$. Nous verrons aussi comment obtenir des suites de divisions courtes. Enfin, nous nous intéresserons à certaines hypothèses plus faibles sur $R$ (anneau à diviseurs élémentaires ou anneau de Bézout) et nous verrons quelles propriétés euclidiennes sont vérifiées dans ces cas (euclidianité en $k$ ou $\omega$ étapes).