Représentations galoisiennes associées aux variétés abéliennes : quelques aspects effectifs

Soit $A$ une variété abélienne définie sur un corps de nombres $K$. Associées à $A$ on a des représentations galoisiennes $\ell$-adiques dont on note $G_\ell$ les images. Sous certaines hypothèses sur la dimension et sur les endomorphismes de $A$ on sait décrire les groupes $G_\ell$ à indice fini près : ils sont des ouverts dans les groupes des points entiers $\ell$-adiques du groupe de Mumford-Tate de $A$ (travaux de Serre, Pink, Ribet, Chi...). De plus, dans certains cas on sait même prouver que l'on a l'égalité $G_\ell=\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ pour tout $\ell$ suffisamment grand. Dans cet exposé je m'intéresserai au problème de rendre effective cette description, en donnant une borne explicite $B(A/K)$ (dépendante de $A$ et $K$) telle que l'on ait $G_\ell=\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ pour tout $\ell>B(A/K)$. Je me concentrerai surtout sur le cas des surfaces abéliennes et, si le temps le permet, je chercherai aussi à décrire les problèmes qui surviennent en dimension supérieure.